Theorem harmonicubnd 27051

Description: A bound on the harmonic series, as compared to the natural logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
harmonicubnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘𝐴) + 1))

Distinct variable group:   𝐴,𝑚

Proof of Theorem harmonicubnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13983	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
2		elfznn 13555	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
3	2	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
4	3	nnrecred 12261	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
5	1, 4	fsumrecl 15744	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
6		flge1nn 13828	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
7	6	nnrpd 13032	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ+)
8	7	relogcld 26665	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
9		peano2re 11353	. . 3 ⊢ ((log‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ → ((log‘(⌊‘𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(⌊‘𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
11		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		0red 11181	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
13		1re 11178	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
15		0lt1 11706	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 1)
17		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ 𝐴)
18	12, 14, 11, 16, 17	ltletrd 11340	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴)
19	11, 18	elrpd 13031	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
20	19	relogcld 26665	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
21		peano2re 11353	. . 3 ⊢ ((log‘𝐴) ∈ ℝ → ((log‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
23		harmonicbnd 27045	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∈ (γ[,]1))
24	6, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∈ (γ[,]1))
25		emre 27047	. . . . . 6 ⊢ γ ∈ ℝ
26	25, 13	elicc2i 13413	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∧ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ 1))
27	26	simp3bi 1159	. . . 4 ⊢ ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∈ (γ[,]1) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ 1)
28	24, 27	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ 1)
29	5, 8, 14	lesubadd2d 11783	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ 1 ↔ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘(⌊‘𝐴)) + 1)))
30	28, 29	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘(⌊‘𝐴)) + 1))
31		flle 13806	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
32	31	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
33	7, 19	logled 26669	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ↔ (log‘(⌊‘𝐴)) ≤ (log‘𝐴)))
34	32, 33	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(⌊‘𝐴)) ≤ (log‘𝐴))
35	8, 20, 14, 34	leadd1dd 11798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(⌊‘𝐴)) + 1) ≤ ((log‘𝐴) + 1))
36	5, 10, 22, 30, 35	letrd 11337	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘𝐴) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411   / cdiv 11841  ℕcn 12207  [,]cicc 13349  ...cfz 13509  ⌊cfl 13797  Σcsu 15696  logclog 26596  γcem 27033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-ef 16080  df-sin 16082  df-cos 16083  df-pi 16085  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-limc 25908  df-dv 25909  df-log 26598  df-em 27034

This theorem is referenced by:  fsumharmonic  27053  logfaclbnd  27263  vmalogdivsum2  27579  logdivbnd  27597  pntrsumo1  27606  pntrlog2bndlem2  27619  pntrlog2bndlem5  27622  pntrlog2bndlem6  27624