Theorem harmonicubnd 26514

Description: A bound on the harmonic series, as compared to the natural logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
harmonicubnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘𝐴) + 1))

Distinct variable group:   𝐴,𝑚

Proof of Theorem harmonicubnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13938	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
2		elfznn 13530	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
3	2	adantl 483	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
4	3	nnrecred 12263	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
5	1, 4	fsumrecl 15680	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
6		flge1nn 13786	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
7	6	nnrpd 13014	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ+)
8	7	relogcld 26131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
9		peano2re 11387	. . 3 ⊢ ((log‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ → ((log‘(⌊‘𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(⌊‘𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
11		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		0red 11217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
13		1re 11214	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
15		0lt1 11736	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 1)
17		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ 𝐴)
18	12, 14, 11, 16, 17	ltletrd 11374	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴)
19	11, 18	elrpd 13013	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
20	19	relogcld 26131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
21		peano2re 11387	. . 3 ⊢ ((log‘𝐴) ∈ ℝ → ((log‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
23		harmonicbnd 26508	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∈ (γ[,]1))
24	6, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∈ (γ[,]1))
25		emre 26510	. . . . . 6 ⊢ γ ∈ ℝ
26	25, 13	elicc2i 13390	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∧ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ 1))
27	26	simp3bi 1148	. . . 4 ⊢ ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∈ (γ[,]1) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ 1)
28	24, 27	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ 1)
29	5, 8, 14	lesubadd2d 11813	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ 1 ↔ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘(⌊‘𝐴)) + 1)))
30	28, 29	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘(⌊‘𝐴)) + 1))
31		flle 13764	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
32	31	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
33	7, 19	logled 26135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ↔ (log‘(⌊‘𝐴)) ≤ (log‘𝐴)))
34	32, 33	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(⌊‘𝐴)) ≤ (log‘𝐴))
35	8, 20, 14, 34	leadd1dd 11828	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(⌊‘𝐴)) + 1) ≤ ((log‘𝐴) + 1))
36	5, 10, 22, 30, 35	letrd 11371	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘𝐴) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444   / cdiv 11871  ℕcn 12212  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  ⌊cfl 13755  Σcsu 15632  logclog 26063  γcem 26496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-em 26497

This theorem is referenced by:  fsumharmonic  26516  logfaclbnd  26725  vmalogdivsum2  27041  logdivbnd  27059  pntrsumo1  27068  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem5  27084  pntrlog2bndlem6  27086