Theorem efif1olem3 26513

Description: Lemma for efif1o 26515. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efif1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
efif1o.2	⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})

Assertion

Ref	Expression
efif1olem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑤,𝑥   𝑤,𝐷,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem efif1olem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
2		efif1o.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
3	1, 2	eleqtrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (◡abs “ {1}))
4		absf 15265	. . . . . . 7 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
5		ffn 6663	. . . . . . 7 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
6		fniniseg 7007	. . . . . . 7 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1)))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (◡abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
8	3, 7	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
9	8	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
10	9	sqrtcld 15367	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
11	10	imcld 15122	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
12		absimle 15236	. . . . . 6 ⊢ ((√‘𝑥) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
14	9	sqsqrtd 15369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
15	14	fveq2d 6839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = (abs‘𝑥))
16		2nn0 12422	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17		absexp 15231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
18	10, 16, 17	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
19	8	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘𝑥) = 1)
20	15, 18, 19	3eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = 1)
21		sq1 14122	. . . . . . 7 ⊢ (1↑2) = 1
22	20, 21	eqtr4di 2790	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2))
23	10	abscld 15366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
24	10	absge0d 15374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
25		1re 11136	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		0le1 11664	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
27		sq11 14058	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
28	25, 26, 27	mpanr12 706	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥))) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
29	23, 24, 28	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
30	22, 29	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(√‘𝑥)) = 1)
31	13, 30	breqtrd 5125	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1)
32		absle 15243	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)))
33	11, 25, 32	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)))
34	31, 33	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1))
35	34	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → -1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)))
36	34	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)
37		neg1rr 12135	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℝ
38	37, 25	elicc2i 13332	. 2 ⊢ ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1) ↔ ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1))
39	11, 35, 36, 38	syl3anbrc 1345	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4581   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031  ici 11032   · cmul 11035   ≤ cle 11171  -cneg 11369  2c2 12204  ℕ₀cn0 12405  [,]cicc 13268  ↑cexp 13988  ℑcim 15025  √csqrt 15160  abscabs 15161  expce 15988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-icc 13272  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163

This theorem is referenced by:  efif1olem4  26514