Theorem efif1olem3 26510

Description: Lemma for efif1o 26512. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efif1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
efif1o.2	⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})

Assertion

Ref	Expression
efif1olem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑤,𝑥   𝑤,𝐷,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem efif1olem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
2		efif1o.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
3	1, 2	eleqtrdi 2845	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (◡abs “ {1}))
4		absf 15361	. . . . . . 7 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
5		ffn 6711	. . . . . . 7 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
6		fniniseg 7055	. . . . . . 7 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1)))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (◡abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
8	3, 7	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
9	8	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
10	9	sqrtcld 15461	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
11	10	imcld 15219	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
12		absimle 15333	. . . . . 6 ⊢ ((√‘𝑥) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
14	9	sqsqrtd 15463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
15	14	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = (abs‘𝑥))
16		2nn0 12523	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17		absexp 15328	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
18	10, 16, 17	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
19	8	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘𝑥) = 1)
20	15, 18, 19	3eqtr3d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = 1)
21		sq1 14218	. . . . . . 7 ⊢ (1↑2) = 1
22	20, 21	eqtr4di 2789	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2))
23	10	abscld 15460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
24	10	absge0d 15468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
25		1re 11240	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		0le1 11765	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
27		sq11 14154	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
28	25, 26, 27	mpanr12 705	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥))) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
29	23, 24, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
30	22, 29	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(√‘𝑥)) = 1)
31	13, 30	breqtrd 5150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1)
32		absle 15339	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)))
33	11, 25, 32	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)))
34	31, 33	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1))
35	34	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → -1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)))
36	34	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)
37		neg1rr 12360	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℝ
38	37, 25	elicc2i 13434	. 2 ⊢ ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1) ↔ ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1))
39	11, 35, 36, 38	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4606   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135  ici 11136   · cmul 11139   ≤ cle 11275  -cneg 11472  2c2 12300  ℕ₀cn0 12506  [,]cicc 13370  ↑cexp 14084  ℑcim 15122  √csqrt 15257  abscabs 15258  expce 16082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-icc 13374  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260

This theorem is referenced by:  efif1olem4  26511