MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efif1olem3 25916
Description: Lemma for efif1o 25918. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efif1o.1 𝐹 = (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑀)))
efif1o.2 𝐢 = (β—‘abs β€œ {1})
Assertion
Ref Expression
efif1olem3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ (-1[,]1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝐢   π‘₯,𝐹   πœ‘,𝑀,π‘₯   𝑀,𝐷,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑀)

Proof of Theorem efif1olem3
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
2 efif1o.2 . . . . . . 7 𝐢 = (β—‘abs β€œ {1})
31, 2eleqtrdi 2844 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ {1}))
4 absf 15228 . . . . . . 7 abs:β„‚βŸΆβ„
5 ffn 6669 . . . . . . 7 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
6 fniniseg 7011 . . . . . . 7 (abs Fn β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) = 1)))
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) = 1))
83, 7sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) = 1))
98simpld 496 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
109sqrtcld 15328 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1110imcld 15086 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
12 absimle 15200 . . . . . 6 ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ≀ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ≀ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))
149sqsqrtd 15330 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯)↑2) = π‘₯)
1514fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜((βˆšβ€˜π‘₯)↑2)) = (absβ€˜π‘₯))
16 2nn0 12435 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•0
17 absexp 15195 . . . . . . . . 9 (((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((βˆšβ€˜π‘₯)↑2)) = ((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2))
1810, 16, 17sylancl 587 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜((βˆšβ€˜π‘₯)↑2)) = ((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2))
198simprd 497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜π‘₯) = 1)
2015, 18, 193eqtr3d 2781 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2) = 1)
21 sq1 14105 . . . . . . 7 (1↑2) = 1
2220, 21eqtr4di 2791 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2) = (1↑2))
2310abscld 15327 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2410absge0d 15335 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))
25 1re 11160 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
26 0le1 11683 . . . . . . . 8 0 ≀ 1
27 sq11 14042 . . . . . . . 8 ((((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1)) β†’ (((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2) = (1↑2) ↔ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) = 1))
2825, 26, 27mpanr12 704 . . . . . . 7 (((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ (((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2) = (1↑2) ↔ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) = 1))
2923, 24, 28syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2) = (1↑2) ↔ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) = 1))
3022, 29mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) = 1)
3113, 30breqtrd 5132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ≀ 1)
32 absle 15206 . . . . 5 (((β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ≀ 1 ↔ (-1 ≀ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∧ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ 1)))
3311, 25, 32sylancl 587 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((absβ€˜(β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ≀ 1 ↔ (-1 ≀ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∧ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ 1)))
3431, 33mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (-1 ≀ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∧ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ 1))
3534simpld 496 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ -1 ≀ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))
3634simprd 497 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ 1)
37 neg1rr 12273 . . 3 -1 ∈ ℝ
3837, 25elicc2i 13336 . 2 ((β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ (-1[,]1) ↔ ((β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ -1 ≀ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∧ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ 1))
3911, 35, 36, 38syl3anbrc 1344 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ (-1[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4587   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057  ici 11058   Β· cmul 11061   ≀ cle 11195  -cneg 11391  2c2 12213  β„•0cn0 12418  [,]cicc 13273  β†‘cexp 13973  β„‘cim 14989  βˆšcsqrt 15124  abscabs 15125  expce 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-icc 13277  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127
This theorem is referenced by:  efif1olem4  25917
  Copyright terms: Public domain W3C validator