MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efif1olem3 26433
Description: Lemma for efif1o 26435. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efif1o.1 𝐹 = (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑀)))
efif1o.2 𝐢 = (β—‘abs β€œ {1})
Assertion
Ref Expression
efif1olem3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ (-1[,]1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝐢   π‘₯,𝐹   πœ‘,𝑀,π‘₯   𝑀,𝐷,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑀)

Proof of Theorem efif1olem3
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
2 efif1o.2 . . . . . . 7 𝐢 = (β—‘abs β€œ {1})
31, 2eleqtrdi 2837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ {1}))
4 absf 15290 . . . . . . 7 abs:β„‚βŸΆβ„
5 ffn 6711 . . . . . . 7 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
6 fniniseg 7055 . . . . . . 7 (abs Fn β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) = 1)))
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) = 1))
83, 7sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) = 1))
98simpld 494 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
109sqrtcld 15390 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1110imcld 15148 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
12 absimle 15262 . . . . . 6 ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ≀ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ≀ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))
149sqsqrtd 15392 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯)↑2) = π‘₯)
1514fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜((βˆšβ€˜π‘₯)↑2)) = (absβ€˜π‘₯))
16 2nn0 12493 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•0
17 absexp 15257 . . . . . . . . 9 (((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((βˆšβ€˜π‘₯)↑2)) = ((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2))
1810, 16, 17sylancl 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜((βˆšβ€˜π‘₯)↑2)) = ((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2))
198simprd 495 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜π‘₯) = 1)
2015, 18, 193eqtr3d 2774 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2) = 1)
21 sq1 14164 . . . . . . 7 (1↑2) = 1
2220, 21eqtr4di 2784 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2) = (1↑2))
2310abscld 15389 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2410absge0d 15397 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))
25 1re 11218 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
26 0le1 11741 . . . . . . . 8 0 ≀ 1
27 sq11 14101 . . . . . . . 8 ((((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1)) β†’ (((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2) = (1↑2) ↔ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) = 1))
2825, 26, 27mpanr12 702 . . . . . . 7 (((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ (((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2) = (1↑2) ↔ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) = 1))
2923, 24, 28syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2) = (1↑2) ↔ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) = 1))
3022, 29mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) = 1)
3113, 30breqtrd 5167 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ≀ 1)
32 absle 15268 . . . . 5 (((β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ≀ 1 ↔ (-1 ≀ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∧ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ 1)))
3311, 25, 32sylancl 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((absβ€˜(β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ≀ 1 ↔ (-1 ≀ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∧ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ 1)))
3431, 33mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (-1 ≀ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∧ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ 1))
3534simpld 494 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ -1 ≀ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))
3634simprd 495 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ 1)
37 neg1rr 12331 . . 3 -1 ∈ ℝ
3837, 25elicc2i 13396 . 2 ((β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ (-1[,]1) ↔ ((β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ -1 ≀ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∧ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ 1))
3911, 35, 36, 38syl3anbrc 1340 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ (-1[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253  -cneg 11449  2c2 12271  β„•0cn0 12476  [,]cicc 13333  β†‘cexp 14032  β„‘cim 15051  βˆšcsqrt 15186  abscabs 15187  expce 16011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-icc 13337  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189
This theorem is referenced by:  efif1olem4  26434
  Copyright terms: Public domain W3C validator