Theorem efif1olem3 26884

Description: Lemma for efif1o 26886. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efif1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
efif1o.2	⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})

Assertion

Ref	Expression
efif1olem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ( -1[,]1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑤,𝑥   𝑤,𝐷,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem efif1olem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
2		efif1o.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
3	1, 2	eleqtrdi 2873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (◡abs “ {1}))
4		absf 15517	. . . . . . 7 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
5		ffn 6717	. . . . . . 7 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
6		fniniseg 7067	. . . . . . 7 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1)))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (◡abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
8	3, 7	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
9	8	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
10	9	sqrtcld 15619	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
11	10	imcld 15374	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
12		absimle 15488	. . . . . 6 ⊢ ((√‘𝑥) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
13	10, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
14	9	sqsqrtd 15621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
15	14	fveq2d 6897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = (abs‘𝑥))
16		2nn0 12633	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17		absexp 15483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
18	10, 16, 17	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
19	8	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘𝑥) = 1)
20	15, 18, 19	3eqtr3d 2806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = 1)
21		sq1 14348	. . . . . . 7 ⊢ (1↑2) = 1
22	20, 21	eqtr4di 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2))
23	10	abscld 15618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
24	10	absge0d 15626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
25		1re 11318	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		0le1 11849	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
27		sq11 14284	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
28	25, 26, 27	mpanr12 718	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥))) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
29	23, 24, 28	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
30	22, 29	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(√‘𝑥)) = 1)
31	13, 30	breqtrd 5133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1)
32		absle 15495	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1 ↔ ( -1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)))
33	11, 25, 32	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1 ↔ ( -1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)))
34	31, 33	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ( -1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1))
35	34	simpld 500	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → -1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)))
36	34	simprd 501	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)
37		neg1rr 12316	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℝ
38	37, 25	elicc2i 13553	. 2 ⊢ ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ( -1[,]1) ↔ ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1))
39	11, 35, 36, 38	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ( -1[,]1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {csn 4587   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657   Fn wfn 6541  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211  ici 11212   · cmul 11215   ≤ cle 11354   -cneg 11552  2c2 12407  ℕ₀cn0 12616  [,]cicc 13489  ↑cexp 14214  ℑcim 15277  √csqrt 15412  abscabs 15413  expce 16239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-icc 13493  df-seq 14155  df-exp 14215  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415

This theorem is used by:  efif1olem4  26885