MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efif1olem3 26494
Description: Lemma for efif1o 26496. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efif1o.1 𝐹 = (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑀)))
efif1o.2 𝐢 = (β—‘abs β€œ {1})
Assertion
Ref Expression
efif1olem3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ (-1[,]1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝐢   π‘₯,𝐹   πœ‘,𝑀,π‘₯   𝑀,𝐷,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑀)

Proof of Theorem efif1olem3
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
2 efif1o.2 . . . . . . 7 𝐢 = (β—‘abs β€œ {1})
31, 2eleqtrdi 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ {1}))
4 absf 15314 . . . . . . 7 abs:β„‚βŸΆβ„
5 ffn 6716 . . . . . . 7 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
6 fniniseg 7063 . . . . . . 7 (abs Fn β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) = 1)))
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) = 1))
83, 7sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) = 1))
98simpld 493 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
109sqrtcld 15414 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1110imcld 15172 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
12 absimle 15286 . . . . . 6 ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ≀ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ≀ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))
149sqsqrtd 15416 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯)↑2) = π‘₯)
1514fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜((βˆšβ€˜π‘₯)↑2)) = (absβ€˜π‘₯))
16 2nn0 12517 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•0
17 absexp 15281 . . . . . . . . 9 (((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((βˆšβ€˜π‘₯)↑2)) = ((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2))
1810, 16, 17sylancl 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜((βˆšβ€˜π‘₯)↑2)) = ((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2))
198simprd 494 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜π‘₯) = 1)
2015, 18, 193eqtr3d 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2) = 1)
21 sq1 14188 . . . . . . 7 (1↑2) = 1
2220, 21eqtr4di 2783 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2) = (1↑2))
2310abscld 15413 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2410absge0d 15421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))
25 1re 11242 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
26 0le1 11765 . . . . . . . 8 0 ≀ 1
27 sq11 14125 . . . . . . . 8 ((((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1)) β†’ (((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2) = (1↑2) ↔ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) = 1))
2825, 26, 27mpanr12 703 . . . . . . 7 (((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) β†’ (((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2) = (1↑2) ↔ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) = 1))
2923, 24, 28syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (((absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯))↑2) = (1↑2) ↔ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) = 1))
3022, 29mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) = 1)
3113, 30breqtrd 5169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ≀ 1)
32 absle 15292 . . . . 5 (((β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ≀ 1 ↔ (-1 ≀ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∧ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ 1)))
3311, 25, 32sylancl 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ ((absβ€˜(β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯))) ≀ 1 ↔ (-1 ≀ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∧ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ 1)))
3431, 33mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (-1 ≀ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∧ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ 1))
3534simpld 493 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ -1 ≀ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)))
3634simprd 494 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ 1)
37 neg1rr 12355 . . 3 -1 ∈ ℝ
3837, 25elicc2i 13420 . 2 ((β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ (-1[,]1) ↔ ((β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ -1 ≀ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∧ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ 1))
3911, 35, 36, 38syl3anbrc 1340 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (β„‘β€˜(βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ (-1[,]1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137  ici 11138   Β· cmul 11141   ≀ cle 11277  -cneg 11473  2c2 12295  β„•0cn0 12500  [,]cicc 13357  β†‘cexp 14056  β„‘cim 15075  βˆšcsqrt 15210  abscabs 15211  expce 16035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-icc 13361  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213
This theorem is referenced by:  efif1olem4  26495
  Copyright terms: Public domain W3C validator