MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  argrege0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem argrege0 26352
Description: Closure of the argument of a complex number with nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
argrege0 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)))

Proof of Theorem argrege0
StepHypRef Expression
1 logcl 26310 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
213adant3 1131 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
32imcld 15147 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
4 simp3 1137 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด))
5 simp1 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
65abscld 15388 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
76recnd 11247 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
87mul01d 11418 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 0) = 0)
9 absrpcl 15240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
1093adant3 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
1110rpne0d 13026 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰  0)
125, 7, 11divcld 11995 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ด / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
136, 12remul2d 15179 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((absโ€˜๐ด) ยท (๐ด / (absโ€˜๐ด)))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด)))))
145, 7, 11divcan2d 11997 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (๐ด / (absโ€˜๐ด))) = ๐ด)
1514fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((absโ€˜๐ด) ยท (๐ด / (absโ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜๐ด))
1613, 15eqtr3d 2773 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜๐ด))
174, 8, 163brtr4d 5181 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 0) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด)))))
18 0re 11221 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2012recld 15146 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
2119, 20, 10lemul2d 13065 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))) โ†” ((absโ€˜๐ด) ยท 0) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))))))
2217, 21mpbird 256 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))))
23 efiarg 26348 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (๐ด / (absโ€˜๐ด)))
24233adant3 1131 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (๐ด / (absโ€˜๐ด)))
2524fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) = (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))))
2622, 25breqtrrd 5177 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
27 recosval 16084 . . . . . . 7 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
283, 27syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
2926, 28breqtrrd 5177 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
30 halfpire 26207 . . . . . . . . . 10 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
31 pirp 26204 . . . . . . . . . . 11 ฯ€ โˆˆ โ„+
32 rphalfcl 13006 . . . . . . . . . . 11 (ฯ€ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+)
33 rpge0 12992 . . . . . . . . . . 11 ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (ฯ€ / 2))
3431, 32, 33mp2b 10 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค (ฯ€ / 2)
35 pire 26201 . . . . . . . . . . 11 ฯ€ โˆˆ โ„
36 rphalflt 13008 . . . . . . . . . . . 12 (ฯ€ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯ€ / 2) < ฯ€)
3731, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ฯ€ / 2) < ฯ€
3830, 35, 37ltleii 11342 . . . . . . . . . 10 (ฯ€ / 2) โ‰ค ฯ€
3918, 35elicc2i 13395 . . . . . . . . . 10 ((ฯ€ / 2) โˆˆ (0[,]ฯ€) โ†” ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (ฯ€ / 2) โˆง (ฯ€ / 2) โ‰ค ฯ€))
4030, 34, 38, 39mpbir3an 1340 . . . . . . . . 9 (ฯ€ / 2) โˆˆ (0[,]ฯ€)
413recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
4241abscld 15388 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
4341absge0d 15396 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
44 logimcl 26311 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
45443adant3 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
4645simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
4735renegcli 11526 . . . . . . . . . . . . 13 -ฯ€ โˆˆ โ„
48 ltle 11307 . . . . . . . . . . . . 13 ((-ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
4947, 3, 48sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
5046, 49mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
5145simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)
52 absle 15267 . . . . . . . . . . . 12 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€ โ†” (-ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)))
533, 35, 52sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€ โ†” (-ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)))
5450, 51, 53mpbir2and 710 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€)
5518, 35elicc2i 13395 . . . . . . . . . 10 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ (0[,]ฯ€) โ†” ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆง (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€))
5642, 43, 54, 55syl3anbrc 1342 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ (0[,]ฯ€))
57 cosord 26273 . . . . . . . . 9 (((ฯ€ / 2) โˆˆ (0[,]ฯ€) โˆง (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ (0[,]ฯ€)) โ†’ ((ฯ€ / 2) < (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) < (cosโ€˜(ฯ€ / 2))))
5840, 56, 57sylancr 586 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((ฯ€ / 2) < (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) < (cosโ€˜(ฯ€ / 2))))
59 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
6059a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
61 cosneg 16095 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
6241, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
63 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ ((cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” (cosโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
6462, 63syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
653absord 15367 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆจ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
6660, 64, 65mpjaod 857 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
67 coshalfpi 26212 . . . . . . . . . 10 (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) = 0
6867a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) = 0)
6966, 68breq12d 5162 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) < (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) โ†” (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < 0))
7058, 69bitrd 278 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((ฯ€ / 2) < (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < 0))
7170notbid 317 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (ยฌ (ฯ€ / 2) < (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” ยฌ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < 0))
72 lenlt 11297 . . . . . . 7 (((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค (ฯ€ / 2) โ†” ยฌ (ฯ€ / 2) < (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
7342, 30, 72sylancl 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค (ฯ€ / 2) โ†” ยฌ (ฯ€ / 2) < (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
743recoscld 16092 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
75 lenlt 11297 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” ยฌ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < 0))
7618, 74, 75sylancr 586 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 โ‰ค (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” ยฌ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < 0))
7771, 73, 763bitr4d 310 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค (ฯ€ / 2) โ†” 0 โ‰ค (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
7829, 77mpbird 256 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค (ฯ€ / 2))
79 absle 15267 . . . . 5 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค (ฯ€ / 2) โ†” (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฯ€ / 2))))
803, 30, 79sylancl 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค (ฯ€ / 2) โ†” (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฯ€ / 2))))
8178, 80mpbid 231 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฯ€ / 2)))
8281simpld 494 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -(ฯ€ / 2) โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
8381simprd 495 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฯ€ / 2))
8430renegcli 11526 . . 3 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
8584, 30elicc2i 13395 . 2 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)) โ†” ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง -(ฯ€ / 2) โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฯ€ / 2)))
863, 82, 83, 85syl3anbrc 1342 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113  ici 11115   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254  -cneg 11450   / cdiv 11876  2c2 12272  โ„+crp 12979  [,]cicc 13332  โ„œcre 15049  โ„‘cim 15050  abscabs 15186  expce 16010  cosccos 16013  ฯ€cpi 16015  logclog 26296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26298
This theorem is referenced by:  logimul  26355  isosctrlem1  26556  asinbnd  26637  isosctrlem1ALT  43998
  Copyright terms: Public domain W3C validator