MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  argrege0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem argrege0 26119
Description: Closure of the argument of a complex number with nonnegative real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
argrege0 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)))

Proof of Theorem argrege0
StepHypRef Expression
1 logcl 26077 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
213adant3 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
32imcld 15142 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
4 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด))
5 simp1 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
65abscld 15383 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
76recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
87mul01d 11413 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 0) = 0)
9 absrpcl 15235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
1093adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
1110rpne0d 13021 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰  0)
125, 7, 11divcld 11990 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ด / (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
136, 12remul2d 15174 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((absโ€˜๐ด) ยท (๐ด / (absโ€˜๐ด)))) = ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด)))))
145, 7, 11divcan2d 11992 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (๐ด / (absโ€˜๐ด))) = ๐ด)
1514fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜((absโ€˜๐ด) ยท (๐ด / (absโ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜๐ด))
1613, 15eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜๐ด))
174, 8, 163brtr4d 5181 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 0) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด)))))
18 0re 11216 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2012recld 15141 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
2119, 20, 10lemul2d 13060 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))) โ†” ((absโ€˜๐ด) ยท 0) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))))))
2217, 21mpbird 257 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))))
23 efiarg 26115 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (๐ด / (absโ€˜๐ด)))
24233adant3 1133 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (๐ด / (absโ€˜๐ด)))
2524fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) = (โ„œโ€˜(๐ด / (absโ€˜๐ด))))
2622, 25breqtrrd 5177 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
27 recosval 16079 . . . . . . 7 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
283, 27syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„œโ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
2926, 28breqtrrd 5177 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
30 halfpire 25974 . . . . . . . . . 10 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
31 pirp 25971 . . . . . . . . . . 11 ฯ€ โˆˆ โ„+
32 rphalfcl 13001 . . . . . . . . . . 11 (ฯ€ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+)
33 rpge0 12987 . . . . . . . . . . 11 ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (ฯ€ / 2))
3431, 32, 33mp2b 10 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค (ฯ€ / 2)
35 pire 25968 . . . . . . . . . . 11 ฯ€ โˆˆ โ„
36 rphalflt 13003 . . . . . . . . . . . 12 (ฯ€ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯ€ / 2) < ฯ€)
3731, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ฯ€ / 2) < ฯ€
3830, 35, 37ltleii 11337 . . . . . . . . . 10 (ฯ€ / 2) โ‰ค ฯ€
3918, 35elicc2i 13390 . . . . . . . . . 10 ((ฯ€ / 2) โˆˆ (0[,]ฯ€) โ†” ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (ฯ€ / 2) โˆง (ฯ€ / 2) โ‰ค ฯ€))
4030, 34, 38, 39mpbir3an 1342 . . . . . . . . 9 (ฯ€ / 2) โˆˆ (0[,]ฯ€)
413recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
4241abscld 15383 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
4341absge0d 15391 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
44 logimcl 26078 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
45443adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
4645simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
4735renegcli 11521 . . . . . . . . . . . . 13 -ฯ€ โˆˆ โ„
48 ltle 11302 . . . . . . . . . . . . 13 ((-ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
4947, 3, 48sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
5046, 49mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
5145simprd 497 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)
52 absle 15262 . . . . . . . . . . . 12 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€ โ†” (-ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)))
533, 35, 52sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€ โ†” (-ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)))
5450, 51, 53mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€)
5518, 35elicc2i 13390 . . . . . . . . . 10 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ (0[,]ฯ€) โ†” ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆง (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€))
5642, 43, 54, 55syl3anbrc 1344 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ (0[,]ฯ€))
57 cosord 26040 . . . . . . . . 9 (((ฯ€ / 2) โˆˆ (0[,]ฯ€) โˆง (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ (0[,]ฯ€)) โ†’ ((ฯ€ / 2) < (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) < (cosโ€˜(ฯ€ / 2))))
5840, 56, 57sylancr 588 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((ฯ€ / 2) < (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) < (cosโ€˜(ฯ€ / 2))))
59 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
6059a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
61 cosneg 16090 . . . . . . . . . . . 12 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
6241, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
63 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ ((cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” (cosโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
6462, 63syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
653absord 15362 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆจ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
6660, 64, 65mpjaod 859 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
67 coshalfpi 25979 . . . . . . . . . 10 (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) = 0
6867a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) = 0)
6966, 68breq12d 5162 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((cosโ€˜(absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) < (cosโ€˜(ฯ€ / 2)) โ†” (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < 0))
7058, 69bitrd 279 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((ฯ€ / 2) < (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < 0))
7170notbid 318 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (ยฌ (ฯ€ / 2) < (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” ยฌ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < 0))
72 lenlt 11292 . . . . . . 7 (((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค (ฯ€ / 2) โ†” ยฌ (ฯ€ / 2) < (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
7342, 30, 72sylancl 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค (ฯ€ / 2) โ†” ยฌ (ฯ€ / 2) < (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
743recoscld 16087 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
75 lenlt 11292 . . . . . . 7 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” ยฌ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < 0))
7618, 74, 75sylancr 588 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (0 โ‰ค (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ†” ยฌ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) < 0))
7771, 73, 763bitr4d 311 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค (ฯ€ / 2) โ†” 0 โ‰ค (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
7829, 77mpbird 257 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค (ฯ€ / 2))
79 absle 15262 . . . . 5 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค (ฯ€ / 2) โ†” (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฯ€ / 2))))
803, 30, 79sylancl 587 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค (ฯ€ / 2) โ†” (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฯ€ / 2))))
8178, 80mpbid 231 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (-(ฯ€ / 2) โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฯ€ / 2)))
8281simpld 496 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ -(ฯ€ / 2) โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
8381simprd 497 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฯ€ / 2))
8430renegcli 11521 . . 3 -(ฯ€ / 2) โˆˆ โ„
8584, 30elicc2i 13390 . 2 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)) โ†” ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง -(ฯ€ / 2) โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฯ€ / 2)))
863, 82, 83, 85syl3anbrc 1344 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ (-(ฯ€ / 2)[,](ฯ€ / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  ici 11112   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  โ„+crp 12974  [,]cicc 13327  โ„œcre 15044  โ„‘cim 15045  abscabs 15181  expce 16005  cosccos 16008  ฯ€cpi 16010  logclog 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065
This theorem is referenced by:  logimul  26122  isosctrlem1  26323  asinbnd  26404  isosctrlem1ALT  43695
  Copyright terms: Public domain W3C validator