Theorem ccat2s1fvw 14330

Description: Extract a symbol of a word from the concatenation of the word with two single symbols. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 13-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.) (Revised by AV, 28-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccat2s1fvw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Proof of Theorem ccat2s1fvw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatw2s1ass 14321	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
2	1	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
3	2	fveq1d 6770	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))‘𝐼))
4		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5		s1cli 14291	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
6		ccatws1clv 14303	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word V)
7	5, 6	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word V)
8		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
9		lencl 14217	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10	9	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
11		nn0ge0 12241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
12	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐼)
13		0red 10962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
14		nn0re 12225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
16	9	nn0red 12277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
18		lelttr 11049	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊)))
19	13, 15, 17, 18	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊)))
20	12, 19	mpand 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊)))
21	20	3impia 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊))
22		elnnnn0b 12260	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
23	10, 21, 22	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
24		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 < (♯‘𝑊))
25		elfzo0 13409	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
26	8, 23, 24, 25	syl3anbrc 1341	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
27		ccatval1 14262	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word V ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))
28	4, 7, 26, 27	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))
29	3, 28	eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  0cc0 10855   < clt 10993   ≤ cle 10994  ℕcn 11956  ℕ₀cn0 12216  ..^cfzo 13364  ♯chash 14025  Word cword 14198   ++ cconcat 14254  ⟨“cs1 14281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-hash 14026  df-word 14199  df-concat 14255  df-s1 14282

This theorem is referenced by:  ccat2s1fst  14332  clwwlknonex2lem2  28451