MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccat2s1fvw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccat2s1fvw 14618
Description: Extract a symbol of a word from the concatenation of the word with two single symbols. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 13-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.) (Revised by AV, 28-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
ccat2s1fvw ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))

Proof of Theorem ccat2s1fvw
StepHypRef Expression
1 ccatw2s1ass 14611 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
213ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
32fveq1d 6893 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))‘𝐼))
4 simp1 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5 s1cli 14585 . . . 4 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
6 ccatws1clv 14597 . . . 4 (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word V)
75, 6mp1i 13 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word V)
8 simp2 1134 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
9 lencl 14513 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1093ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
11 nn0ge0 12525 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
1211adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐼)
13 0red 11245 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
14 nn0re 12509 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
1514adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
169nn0red 12561 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
1716adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
18 lelttr 11332 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐼𝐼 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊)))
1913, 15, 17, 18syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐼𝐼 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊)))
2012, 19mpand 693 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊)))
21203impia 1114 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊))
22 elnnnn0b 12544 . . . . 5 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
2310, 21, 22sylanbrc 581 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
24 simp3 1135 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 < (♯‘𝑊))
25 elfzo0 13703 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
268, 23, 24, 25syl3anbrc 1340 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
27 ccatval1 14557 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word V ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))‘𝐼) = (𝑊𝐼))
284, 7, 26, 27syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))‘𝐼) = (𝑊𝐼))
293, 28eqtrd 2765 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463   class class class wbr 5143  cfv 6542  (class class class)co 7415  cr 11135  0cc0 11136   < clt 11276  cle 11277  cn 12240  0cn0 12500  ..^cfzo 13657  chash 14319  Word cword 14494   ++ cconcat 14550  ⟨“cs1 14575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-hash 14320  df-word 14495  df-concat 14551  df-s1 14576
This theorem is referenced by:  ccat2s1fst  14619  clwwlknonex2lem2  29960
  Copyright terms: Public domain W3C validator