Theorem ccat2s1fvw 14563

Description: Extract a symbol of a word from the concatenation of the word with two single symbols. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 13-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.) (Revised by AV, 28-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccat2s1fvw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Proof of Theorem ccat2s1fvw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatw2s1ass 14556	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
3	2	fveq1d 6828	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))‘𝐼))
4		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5		s1cli 14530	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
6		ccatws1clv 14542	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word V)
7	5, 6	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word V)
8		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
9		lencl 14458	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
11		nn0ge0 12427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
12	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐼)
13		0red 11137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
14		nn0re 12411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
16	9	nn0red 12464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
18		lelttr 11224	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊)))
19	13, 15, 17, 18	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐼 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊)))
20	12, 19	mpand 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 < (♯‘𝑊) → 0 < (♯‘𝑊)))
21	20	3impia 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 0 < (♯‘𝑊))
22		elnnnn0b 12446	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
23	10, 21, 22	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
24		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 < (♯‘𝑊))
25		elfzo0 13621	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
26	8, 23, 24, 25	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
27		ccatval1 14502	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word V ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))
28	4, 7, 26, 27	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩))‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))
29	3, 28	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ..^cfzo 13575  ♯chash 14255  Word cword 14438   ++ cconcat 14495  ⟨“cs1 14520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14521

This theorem is referenced by:  ccat2s1fst  14564  clwwlknonex2lem2  30070