MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnnn0c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnnnn0c 12278
Description: The positive integer property expressed in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
elnnnn0c (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnnnn0c
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12240 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nnge1 12001 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
31, 2jca 512 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
4 0lt1 11497 . . . . 5 0 < 1
5 0re 10977 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
6 1re 10975 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
7 nn0re 12242 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
8 ltletr 11067 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
95, 6, 7, 8mp3an12i 1464 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
104, 9mpani 693 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
1110imdistani 569 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
12 elnnnn0b 12277 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
1311, 12sylibr 233 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
143, 13impbii 208 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106   class class class wbr 5074  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009  cle 11010  cn 11973  0cn0 12233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234
This theorem is referenced by:  nn0ge2m1nn  12302  nn01to3  12681  wrdsymb1  14256  lswccats1fst  14345  nn0o1gt2  16090  pcelnn  16571  lgsabs1  26484  pthdlem1  28134  wlkiswwlks2lem1  28234  wwlksm1edg  28246  clwlkclwwlklem2  28364  clwlkclwwlkflem  28368  clwlkclwwlkf  28372  fourierdlem52  43699
  Copyright terms: Public domain W3C validator