MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0p1elfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0p1elfzo 13739
Description: A nonnegative integer increased by 1 which is less than or equal to another integer is an element of a half-open range of integers. (Contributed by AV, 27-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
nn0p1elfzo ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem nn0p1elfzo
StepHypRef Expression
1 nn0ltp1le 12674 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁))
21biimp3ar 1469 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
3 simpl1 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 nn0ge0 12549 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
8 0re 11261 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
9 nn0re 12533 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
10 nn0re 12533 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
11 lelttr 11349 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
128, 9, 10, 11mp3an3an 1466 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
137, 12mpand 695 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
1413imp 406 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
15 elnnnn0b 12568 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
165, 14, 15sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
17163adantl3 1167 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
18 simpr 484 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
193, 17, 183jca 1127 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
202, 19mpdan 687 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
21 elfzo0 13737 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2220, 21sylibr 234 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cn 12264  0cn0 12524  ..^cfzo 13691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692
This theorem is referenced by:  wwlksnextproplem1  29939  eupth2lem3  30265  wrdt2ind  32923
  Copyright terms: Public domain W3C validator