Theorem nn0p1elfzo 13646

Description: A nonnegative integer increased by 1 which is less than or equal to another integer is an element of a half-open range of integers. (Contributed by AV, 27-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1elfzo	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem nn0p1elfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ltp1le 12576	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁))
2	1	biimp3ar 1473	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
3		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		nn0ge0 12451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
8		0re 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		nn0re 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
10		nn0re 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
11		lelttr 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
12	8, 9, 10, 11	mp3an3an 1470	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
13	7, 12	mpand 696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
14	13	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
15		elnnnn0b 12470	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
16	5, 14, 15	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
17	16	3adantl3 1170	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
18		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
19	3, 17, 18	3jca 1129	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
20	2, 19	mpdan 688	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
21		elfzo0 13644	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
22	20, 21	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5074  (class class class)co 7356  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℕcn 12163  ℕ₀cn0 12426  ..^cfzo 13597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598

This theorem is referenced by:  chnrev  18582  wwlksnextproplem1  29965  eupth2lem3  30294  wrdt2ind  33001