Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elprchashprn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elprchashprn2 13808
 Description: If one element of an unordered pair is not a set, the size of the unordered pair is not 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
elprchashprn2 𝑀 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Proof of Theorem elprchashprn2
StepHypRef Expression
1 prprc1 4659 . 2 𝑀 ∈ V → {𝑀, 𝑁} = {𝑁})
2 hashsng 13781 . . . 4 (𝑁 ∈ V → (♯‘{𝑁}) = 1)
3 fveq2 6659 . . . . . . . . 9 ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = (♯‘{𝑁}))
43eqcomd 2765 . . . . . . . 8 ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (♯‘{𝑁}) = (♯‘{𝑀, 𝑁}))
54eqeq1d 2761 . . . . . . 7 ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ((♯‘{𝑁}) = 1 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1))
65biimpa 481 . . . . . 6 (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (♯‘{𝑁}) = 1) → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
7 id 22 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
8 1ne2 11883 . . . . . . . . 9 1 ≠ 2
98a1i 11 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → 1 ≠ 2)
107, 9eqnetrd 3019 . . . . . . 7 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
1110neneqd 2957 . . . . . 6 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
126, 11syl 17 . . . . 5 (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (♯‘{𝑁}) = 1) → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
1312expcom 418 . . . 4 ((♯‘{𝑁}) = 1 → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
142, 13syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
15 snprc 4611 . . . 4 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = ∅)
16 eqeq2 2771 . . . . . . 7 ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ↔ {𝑀, 𝑁} = ∅))
1716biimpa 481 . . . . . 6 (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → {𝑀, 𝑁} = ∅)
18 hash0 13779 . . . . . 6 (♯‘∅) = 0
19 fveq2 6659 . . . . . . . . . 10 ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = (♯‘∅))
2019eqcomd 2765 . . . . . . . . 9 ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (♯‘∅) = (♯‘{𝑀, 𝑁}))
2120eqeq1d 2761 . . . . . . . 8 ({𝑀, 𝑁} = ∅ → ((♯‘∅) = 0 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0))
2221biimpa 481 . . . . . . 7 (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (♯‘∅) = 0) → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
23 id 22 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
24 0ne2 11882 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 2
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → 0 ≠ 2)
2623, 25eqnetrd 3019 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
2726neneqd 2957 . . . . . . 7 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
2822, 27syl 17 . . . . . 6 (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (♯‘∅) = 0) → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
2917, 18, 28sylancl 590 . . . . 5 (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
3029ex 417 . . . 4 ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
3115, 30sylbi 220 . . 3 𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
3214, 31pm2.61i 185 . 2 ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
331, 32syl 17 1 𝑀 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  Vcvv 3410  ∅c0 4226  {csn 4523  {cpr 4525  ‘cfv 6336  0cc0 10576  1c1 10577  2c2 11730  ♯chash 13741 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-fz 12941  df-hash 13742 This theorem is referenced by:  hashprb  13809
 Copyright terms: Public domain W3C validator