Theorem elprchashprn2 14313

Description: If one element of an unordered pair is not a set, the size of the unordered pair is not 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elprchashprn2	⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Proof of Theorem elprchashprn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprc1 4719	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → {𝑀, 𝑁} = {𝑁})
2		hashsng 14286	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ V → (♯‘{𝑁}) = 1)
3		fveq2 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = (♯‘{𝑁}))
4	3	eqcomd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (♯‘{𝑁}) = (♯‘{𝑀, 𝑁}))
5	4	eqeq1d 2735	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ((♯‘{𝑁}) = 1 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1))
6	5	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (♯‘{𝑁}) = 1) → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
7		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
8		1ne2 12338	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 2
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → 1 ≠ 2)
10	7, 9	eqnetrd 2997	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
11	10	neneqd 2935	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
12	6, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (♯‘{𝑁}) = 1) → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
13	12	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((♯‘{𝑁}) = 1 → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
14	2, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
15		snprc 4671	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = ∅)
16		eqeq2 2745	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ↔ {𝑀, 𝑁} = ∅))
17	16	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → {𝑀, 𝑁} = ∅)
18		hash0 14284	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
19		fveq2 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = (♯‘∅))
20	19	eqcomd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (♯‘∅) = (♯‘{𝑀, 𝑁}))
21	20	eqeq1d 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → ((♯‘∅) = 0 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0))
22	21	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (♯‘∅) = 0) → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
23		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
24		0ne2 12337	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 2
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → 0 ≠ 2)
26	23, 25	eqnetrd 2997	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
27	26	neneqd 2935	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
28	22, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (♯‘∅) = 0) → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
29	17, 18, 28	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
30	29	ex 412	. . . 4 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
31	15, 30	sylbi 217	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
32	14, 31	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
33	1, 32	syl 17	1 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  Vcvv 3438  ∅c0 4284  {csn 4577  {cpr 4579  ‘cfv 6489  0cc0 11016  1c1 11017  2c2 12190  ♯chash 14247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-hash 14248

This theorem is referenced by:  hashprb  14314