MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elprchashprn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elprchashprn2 14432
Description: If one element of an unordered pair is not a set, the size of the unordered pair is not 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
elprchashprn2 𝑀 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Proof of Theorem elprchashprn2
StepHypRef Expression
1 prprc1 4770 . 2 𝑀 ∈ V → {𝑀, 𝑁} = {𝑁})
2 hashsng 14405 . . . 4 (𝑁 ∈ V → (♯‘{𝑁}) = 1)
3 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = (♯‘{𝑁}))
43eqcomd 2741 . . . . . . . 8 ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (♯‘{𝑁}) = (♯‘{𝑀, 𝑁}))
54eqeq1d 2737 . . . . . . 7 ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ((♯‘{𝑁}) = 1 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1))
65biimpa 476 . . . . . 6 (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (♯‘{𝑁}) = 1) → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
7 id 22 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
8 1ne2 12472 . . . . . . . . 9 1 ≠ 2
98a1i 11 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → 1 ≠ 2)
107, 9eqnetrd 3006 . . . . . . 7 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
1110neneqd 2943 . . . . . 6 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
126, 11syl 17 . . . . 5 (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (♯‘{𝑁}) = 1) → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
1312expcom 413 . . . 4 ((♯‘{𝑁}) = 1 → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
142, 13syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
15 snprc 4722 . . . 4 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = ∅)
16 eqeq2 2747 . . . . . . 7 ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ↔ {𝑀, 𝑁} = ∅))
1716biimpa 476 . . . . . 6 (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → {𝑀, 𝑁} = ∅)
18 hash0 14403 . . . . . 6 (♯‘∅) = 0
19 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = (♯‘∅))
2019eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (♯‘∅) = (♯‘{𝑀, 𝑁}))
2120eqeq1d 2737 . . . . . . . 8 ({𝑀, 𝑁} = ∅ → ((♯‘∅) = 0 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0))
2221biimpa 476 . . . . . . 7 (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (♯‘∅) = 0) → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
23 id 22 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
24 0ne2 12471 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 2
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → 0 ≠ 2)
2623, 25eqnetrd 3006 . . . . . . . 8 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
2726neneqd 2943 . . . . . . 7 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
2822, 27syl 17 . . . . . 6 (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (♯‘∅) = 0) → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
2917, 18, 28sylancl 586 . . . . 5 (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
3029ex 412 . . . 4 ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
3115, 30sylbi 217 . . 3 𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
3214, 31pm2.61i 182 . 2 ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
331, 32syl 17 1 𝑀 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  c0 4339  {csn 4631  {cpr 4633  cfv 6563  0cc0 11153  1c1 11154  2c2 12319  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  hashprb  14433
  Copyright terms: Public domain W3C validator