Theorem elprchashprn2 14452

Description: If one element of an unordered pair is not a set, the size of the unordered pair is not 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elprchashprn2	⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Proof of Theorem elprchashprn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprc1 4736	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → {𝑀, 𝑁} = {𝑁})
2		hashsng 14425	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ V → (♯‘{𝑁}) = 1)
3		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = (♯‘{𝑁}))
4	3	eqcomd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (♯‘{𝑁}) = (♯‘{𝑀, 𝑁}))
5	4	eqeq1d 2768	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ((♯‘{𝑁}) = 1 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1))
6	5	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (♯‘{𝑁}) = 1) → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
7		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
8		1ne2 12469	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 2
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → 1 ≠ 2)
10	7, 9	eqnetrd 3028	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
11	10	neneqd 2966	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
12	6, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (♯‘{𝑁}) = 1) → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
13	12	expcom 419	. . . 4 ⊢ ((♯‘{𝑁}) = 1 → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
14	2, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
15		snprc 4688	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = ∅)
16		eqeq2 2778	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ↔ {𝑀, 𝑁} = ∅))
17	16	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → {𝑀, 𝑁} = ∅)
18		hash0 14423	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
19		fveq2 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = (♯‘∅))
20	19	eqcomd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (♯‘∅) = (♯‘{𝑀, 𝑁}))
21	20	eqeq1d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → ((♯‘∅) = 0 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0))
22	21	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (♯‘∅) = 0) → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
23		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
24		0ne2 12468	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 2
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → 0 ≠ 2)
26	23, 25	eqnetrd 3028	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
27	26	neneqd 2966	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
28	22, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (♯‘∅) = 0) → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
29	17, 18, 28	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
30	29	ex 418	. . . 4 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
31	15, 30	sylbi 220	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
32	14, 31	pm2.61i 184	. 2 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
33	1, 32	syl 18	1 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458  ∅c0 4289  {csn 4594  {cpr 4596  ‘cfv 6543  0cc0 11118  1c1 11119  2c2 12313  ♯chash 14386

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-hash 14387

This theorem is used by:  hashprb  14453