Theorem elprchashprn2 13808

Description: If one element of an unordered pair is not a set, the size of the unordered pair is not 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elprchashprn2	⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Proof of Theorem elprchashprn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprc1 4659	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → {𝑀, 𝑁} = {𝑁})
2		hashsng 13781	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ V → (♯‘{𝑁}) = 1)
3		fveq2 6659	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = (♯‘{𝑁}))
4	3	eqcomd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (♯‘{𝑁}) = (♯‘{𝑀, 𝑁}))
5	4	eqeq1d 2761	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ((♯‘{𝑁}) = 1 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1))
6	5	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (♯‘{𝑁}) = 1) → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
7		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
8		1ne2 11883	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 2
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → 1 ≠ 2)
10	7, 9	eqnetrd 3019	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
11	10	neneqd 2957	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
12	6, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (♯‘{𝑁}) = 1) → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
13	12	expcom 418	. . . 4 ⊢ ((♯‘{𝑁}) = 1 → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
14	2, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
15		snprc 4611	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = ∅)
16		eqeq2 2771	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ↔ {𝑀, 𝑁} = ∅))
17	16	biimpa 481	. . . . . 6 ⊢ (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → {𝑀, 𝑁} = ∅)
18		hash0 13779	. . . . . 6 ⊢ (♯‘∅) = 0
19		fveq2 6659	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = (♯‘∅))
20	19	eqcomd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (♯‘∅) = (♯‘{𝑀, 𝑁}))
21	20	eqeq1d 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → ((♯‘∅) = 0 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0))
22	21	biimpa 481	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (♯‘∅) = 0) → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
23		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
24		0ne2 11882	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 2
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → 0 ≠ 2)
26	23, 25	eqnetrd 3019	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (♯‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
27	26	neneqd 2957	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
28	22, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (♯‘∅) = 0) → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
29	17, 18, 28	sylancl 590	. . . . 5 ⊢ (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
30	29	ex 417	. . . 4 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
31	15, 30	sylbi 220	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
32	14, 31	pm2.61i 185	. 2 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
33	1, 32	syl 17	1 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  Vcvv 3410  ∅c0 4226  {csn 4523  {cpr 4525  ‘cfv 6336  0cc0 10576  1c1 10577  2c2 11730  ♯chash 13741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-fz 12941  df-hash 13742

This theorem is referenced by:  hashprb  13809