Theorem hashprb 14310

Description: The size of an unordered pair is 2 if and only if its elements are different sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashprb	⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Proof of Theorem hashprb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashprg 14308	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝑀 ≠ 𝑁 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
2	1	biimp3a 1471	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
3		elprchashprn2 14309	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
4		pm2.21 123	. . . 4 ⊢ (¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
6		elprchashprn2 14309	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑁, 𝑀}) = 2)
7		prcom 4684	. . . . . . 7 ⊢ {𝑁, 𝑀} = {𝑀, 𝑁}
8	7	fveq2i 6831	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑁, 𝑀}) = (♯‘{𝑀, 𝑁})
9	8	eqeq1i 2736	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{𝑁, 𝑀}) = 2 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
10	9, 4	sylnbi 330	. . . 4 ⊢ (¬ (♯‘{𝑁, 𝑀}) = 2 → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
12		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → 𝑀 ∈ V)
13		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → 𝑁 ∈ V)
14	1	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → 𝑀 ≠ 𝑁)
15	12, 13, 14	3jca 1128	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁))
16	15	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
17	5, 11, 16	ecase 1033	. 2 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁))
18	2, 17	impbii 209	1 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436  {cpr 4577  ‘cfv 6487  2c2 12186  ♯chash 14243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-oadd 8395  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-dju 9800  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-fz 13414  df-hash 14244

This theorem is referenced by:  hashprdifel  14311  prsshashgt1  14323  efmnd2hash  18808  symg2hash  19310  cplgr2vpr  29418  usgrexmpl1lem  48126  usgrexmpl2lem  48131