MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashprb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashprb 14433
Description: The size of an unordered pair is 2 if and only if its elements are different sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashprb ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀𝑁) ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Proof of Theorem hashprb
StepHypRef Expression
1 hashprg 14431 . . 3 ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝑀𝑁 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
21biimp3a 1468 . 2 ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀𝑁) → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
3 elprchashprn2 14432 . . . 4 𝑀 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
4 pm2.21 123 . . . 4 (¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀𝑁)))
53, 4syl 17 . . 3 𝑀 ∈ V → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀𝑁)))
6 elprchashprn2 14432 . . . 4 𝑁 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑁, 𝑀}) = 2)
7 prcom 4737 . . . . . . 7 {𝑁, 𝑀} = {𝑀, 𝑁}
87fveq2i 6910 . . . . . 6 (♯‘{𝑁, 𝑀}) = (♯‘{𝑀, 𝑁})
98eqeq1i 2740 . . . . 5 ((♯‘{𝑁, 𝑀}) = 2 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
109, 4sylnbi 330 . . . 4 (¬ (♯‘{𝑁, 𝑀}) = 2 → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀𝑁)))
116, 10syl 17 . . 3 𝑁 ∈ V → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀𝑁)))
12 simpll 767 . . . . 5 (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → 𝑀 ∈ V)
13 simplr 769 . . . . 5 (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → 𝑁 ∈ V)
141biimpar 477 . . . . 5 (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → 𝑀𝑁)
1512, 13, 143jca 1127 . . . 4 (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀𝑁))
1615ex 412 . . 3 ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀𝑁)))
175, 11, 16ecase 1033 . 2 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀𝑁))
182, 17impbii 209 1 ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀𝑁) ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  {cpr 4633  cfv 6563  2c2 12319  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  hashprdifel  14434  prsshashgt1  14446  efmnd2hash  18920  symg2hash  19424  cplgr2vpr  29465  usgrexmpl1lem  47916  usgrexmpl2lem  47921
  Copyright terms: Public domain W3C validator