Theorem hashprb 14403

Description: The size of an unordered pair is 2 if and only if its elements are different sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashprb	⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Proof of Theorem hashprb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashprg 14401	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝑀 ≠ 𝑁 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
2	1	biimp3a 1489	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
3		elprchashprn2 14402	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
4		pm2.21 123	. . . 4 ⊢ (¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
6		elprchashprn2 14402	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑁, 𝑀}) = 2)
7		prcom 4688	. . . . . . 7 ⊢ {𝑁, 𝑀} = {𝑀, 𝑁}
8	7	fveq2i 6864	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑁, 𝑀}) = (♯‘{𝑀, 𝑁})
9	8	eqeq1i 2766	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{𝑁, 𝑀}) = 2 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
10	9, 4	sylnbi 332	. . . 4 ⊢ (¬ (♯‘{𝑁, 𝑀}) = 2 → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
12		simpll 776	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → 𝑀 ∈ V)
13		simplr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → 𝑁 ∈ V)
14	1	biimpar 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → 𝑀 ≠ 𝑁)
15	12, 13, 14	3jca 1140	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁))
16	15	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
17	5, 11, 16	ecase 1044	. 2 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁))
18	2, 17	impbii 211	1 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  Vcvv 3453  {cpr 4581  ‘cfv 6515  2c2 12265  ♯chash 14336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-oadd 8434  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-dju 9852  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-hash 14337

This theorem is referenced by:  hashprdifel  14404  prsshashgt1  14416  efmnd2hash  18918  symg2hash  19422  cplgr2vpr  29590  usgrexmpl1lem  48603  usgrexmpl2lem  48608