Theorem hashprb 14435

Description: The size of an unordered pair is 2 if and only if its elements are different sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashprb	⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Proof of Theorem hashprb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashprg 14433	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝑀 ≠ 𝑁 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
2	1	biimp3a 1498	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
3		elprchashprn2 14434	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
4		pm2.21 124	. . . 4 ⊢ (¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
6		elprchashprn2 14434	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑁, 𝑀}) = 2)
7		prcom 4699	. . . . . . 7 ⊢ {𝑁, 𝑀} = {𝑀, 𝑁}
8	7	fveq2i 6886	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑁, 𝑀}) = (♯‘{𝑀, 𝑁})
9	8	eqeq1i 2768	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{𝑁, 𝑀}) = 2 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
10	9, 4	sylnbi 333	. . . 4 ⊢ (¬ (♯‘{𝑁, 𝑀}) = 2 → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
11	6, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
12		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → 𝑀 ∈ V)
13		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → 𝑁 ∈ V)
14	1	biimpar 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → 𝑀 ≠ 𝑁)
15	12, 13, 14	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁))
16	15	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
17	5, 11, 16	ecase 1049	. 2 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁))
18	2, 17	impbii 212	1 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  {cpr 4592  ‘cfv 6538  2c2 12296  ♯chash 14368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-hash 14369

This theorem is referenced by:  hashprdifel  14436  prsshashgt1  14449  efmnd2hash  18954  symg2hash  19463  cplgr2vpr  29764  usgrexmpl1lem  48769  usgrexmpl2lem  48774