Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.19lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.19lem4 41302
Description: Lemma for jm2.19 41303. Extend to ZZ by symmetry. TODO: use zindbi 41256. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.19lem4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))

Proof of Theorem jm2.19lem4
StepHypRef Expression
1 elznn0 12514 . . 3 (𝐼 ∈ ℤ ↔ (𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∨ -𝐼 ∈ ℕ0)))
2 jm2.19lem3 41301 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))
323expia 1121 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
43adantr 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
5 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
6 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
76ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
8 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
98ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . 12 (-𝐼 ∈ ℕ0 → -𝐼 ∈ ℤ)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → -𝐼 ∈ ℤ)
12 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
1312recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℂ)
14 znegclb 12540 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℂ → (𝐼 ∈ ℤ ↔ -𝐼 ∈ ℤ))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ ℤ ↔ -𝐼 ∈ ℤ))
1611, 15mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℤ)
1716, 7zmulcld 12613 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 · 𝑀) ∈ ℤ)
189, 17zaddcld 12611 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) ∈ ℤ)
19 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → -𝐼 ∈ ℕ0)
20 jm2.19lem3 41301 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) ∈ ℤ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀)))))
215, 7, 18, 19, 20syl121anc 1375 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀)))))
22 zcn 12504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2322ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
2513, 24mulneg1d 11608 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (-𝐼 · 𝑀) = -(𝐼 · 𝑀))
2625oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀)) = ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + -(𝐼 · 𝑀)))
27 zcn 12504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2827ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3013, 24mulcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 · 𝑀) ∈ ℂ)
3129, 30addcld 11174 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) ∈ ℂ)
3231, 30negsubd 11518 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + -(𝐼 · 𝑀)) = ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) − (𝐼 · 𝑀)))
3329, 30pncand 11513 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) − (𝐼 · 𝑀)) = 𝑁)
3426, 32, 333eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀)) = 𝑁)
3534oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝑁))
3635breq2d 5117 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
3721, 36bitr2d 279 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))
3837ex 413 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (-𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
394, 38jaod 857 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∨ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
4039expimpd 454 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∨ -𝐼 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
411, 40biimtrid 241 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
42413impia 1117 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  cdvds 16136   Yrm crmy 41210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-numer 16610  df-denom 16611  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-squarenn 41150  df-pell1qr 41151  df-pell14qr 41152  df-pell1234qr 41153  df-pellfund 41154  df-rmx 41211  df-rmy 41212
This theorem is referenced by:  jm2.19  41303
  Copyright terms: Public domain W3C validator