Proof of Theorem jm2.19lem4
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | elznn0 12630 | . . 3
⊢ (𝐼 ∈ ℤ ↔ (𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∨
-𝐼 ∈
ℕ0))) | 
| 2 |  | jm2.19lem3 43008 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))) | 
| 3 | 2 | 3expia 1121 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))) | 
| 4 | 3 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))) | 
| 5 |  | simplll 774 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈
(ℤ≥‘2)) | 
| 6 |  | simprl 770 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ) | 
| 7 | 6 | ad2antrr 726 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈
ℤ) | 
| 8 |  | simprr 772 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ) | 
| 9 | 8 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈
ℤ) | 
| 10 |  | nn0z 12640 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (-𝐼 ∈ ℕ0
→ -𝐼 ∈
ℤ) | 
| 11 | 10 | adantl 481 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → -𝐼 ∈
ℤ) | 
| 12 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈
ℝ) | 
| 13 | 12 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈
ℂ) | 
| 14 |  | znegclb 12656 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐼 ∈ ℂ → (𝐼 ∈ ℤ ↔ -𝐼 ∈
ℤ)) | 
| 15 | 13, 14 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ ℤ ↔ -𝐼 ∈
ℤ)) | 
| 16 | 11, 15 | mpbird 257 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈
ℤ) | 
| 17 | 16, 7 | zmulcld 12730 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 · 𝑀) ∈ ℤ) | 
| 18 | 9, 17 | zaddcld 12728 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) ∈ ℤ) | 
| 19 |  | simpr 484 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → -𝐼 ∈
ℕ0) | 
| 20 |  | jm2.19lem3 43008 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) ∈ ℤ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀))))) | 
| 21 | 5, 7, 18, 19, 20 | syl121anc 1376 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀))))) | 
| 22 |  | zcn 12620 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈
ℂ) | 
| 23 | 22 | ad2antrl 728 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ) | 
| 24 | 23 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈
ℂ) | 
| 25 | 13, 24 | mulneg1d 11717 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (-𝐼 · 𝑀) = -(𝐼 · 𝑀)) | 
| 26 | 25 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀)) = ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + -(𝐼 · 𝑀))) | 
| 27 |  | zcn 12620 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
ℂ) | 
| 28 | 27 | ad2antll 729 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ) | 
| 29 | 28 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈
ℂ) | 
| 30 | 13, 24 | mulcld 11282 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 · 𝑀) ∈ ℂ) | 
| 31 | 29, 30 | addcld 11281 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) ∈ ℂ) | 
| 32 | 31, 30 | negsubd 11627 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + -(𝐼 · 𝑀)) = ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) − (𝐼 · 𝑀))) | 
| 33 | 29, 30 | pncand 11622 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) − (𝐼 · 𝑀)) = 𝑁) | 
| 34 | 26, 32, 33 | 3eqtrd 2780 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀)) = 𝑁) | 
| 35 | 34 | oveq2d 7448 | . . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝑁)) | 
| 36 | 35 | breq2d 5154 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁))) | 
| 37 | 21, 36 | bitr2d 280 | . . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))) | 
| 38 | 37 | ex 412 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (-𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))) | 
| 39 | 4, 38 | jaod 859 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∨ -𝐼 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴 Yrm
𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))) | 
| 40 | 39 | expimpd 453 | . . 3
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∨ -𝐼 ∈ ℕ0))
→ ((𝐴 Yrm
𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))) | 
| 41 | 1, 40 | biimtrid 242 | . 2
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))) | 
| 42 | 41 | 3impia 1117 | 1
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))) |