Theorem jm2.19lem4 43752

Description: Lemma for jm2.19 43753. Extend to ZZ by symmetry. TODO: use zindbi 43706. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.19lem4	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))

Proof of Theorem jm2.19lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 12624	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ ↔ (𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∨ -𝐼 ∈ ℕ0)))
2		jm2.19lem3 43751	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))
3	2	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
5		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
6		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		nn0z 12633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝐼 ∈ ℕ0 → -𝐼 ∈ ℤ)
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → -𝐼 ∈ ℤ)
12		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℂ)
14		znegclb 12649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → (𝐼 ∈ ℤ ↔ -𝐼 ∈ ℤ))
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ ℤ ↔ -𝐼 ∈ ℤ))
16	11, 15	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℤ)
17	16, 7	zmulcld 12724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 · 𝑀) ∈ ℤ)
18	9, 17	zaddcld 12722	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) ∈ ℤ)
19		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → -𝐼 ∈ ℕ0)
20		jm2.19lem3 43751	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) ∈ ℤ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀)))))
21	5, 7, 18, 19, 20	syl121anc 1402	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀)))))
22		zcn 12614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
23	22	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
24	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
25	13, 24	mulneg1d 11685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (-𝐼 · 𝑀) = -(𝐼 · 𝑀))
26	25	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀)) = ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + -(𝐼 · 𝑀)))
27		zcn 12614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
28	27	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29	28	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
30	13, 24	mulcld 11247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 · 𝑀) ∈ ℂ)
31	29, 30	addcld 11246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) ∈ ℂ)
32	31, 30	negsubd 11593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + -(𝐼 · 𝑀)) = ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) − (𝐼 · 𝑀)))
33	29, 30	pncand 11588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) − (𝐼 · 𝑀)) = 𝑁)
34	26, 32, 33	3eqtrd 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀)) = 𝑁)
35	34	oveq2d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝑁))
36	35	breq2d 5126	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
37	21, 36	bitr2d 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))
38	37	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (-𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
39	4, 38	jaod 873	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∨ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
40	39	expimpd 459	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∨ -𝐼 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
41	1, 40	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
42	41	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117   + caddc 11121   · cmul 11123   − cmin 11459  -cneg 11460  2c2 12313  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880   ∥ cdvds 16335   Y_rm crmy 43661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-dvds 16336  df-gcd 16578  df-numer 16819  df-denom 16820  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18802  df-mnd 18818  df-submnd 18867  df-mulg 19159  df-cntz 19412  df-cmn 19877  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-fbas 21549  df-fg 21550  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-cld 23206  df-ntr 23207  df-cls 23208  df-nei 23285  df-lp 23323  df-perf 23324  df-cn 23414  df-cnp 23415  df-haus 23502  df-tx 23749  df-hmeo 23942  df-fil 24033  df-fm 24125  df-flim 24126  df-flf 24127  df-xms 24507  df-ms 24508  df-tms 24509  df-cncf 25067  df-limc 26055  df-dv 26056  df-log 26751  df-squarenn 43601  df-pell1qr 43602  df-pell14qr 43603  df-pell1234qr 43604  df-pellfund 43605  df-rmx 43662  df-rmy 43663

This theorem is used by:  jm2.19  43753