Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.19lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.19lem4 41716
Description: Lemma for jm2.19 41717. Extend to ZZ by symmetry. TODO: use zindbi 41670. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.19lem4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)))))

Proof of Theorem jm2.19lem4
StepHypRef Expression
1 elznn0 12569 . . 3 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†” (๐ผ โˆˆ โ„ โˆง (๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐ผ โˆˆ โ„•0)))
2 jm2.19lem3 41715 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)))))
323expia 1121 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€))))))
43adantr 481 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€))))))
5 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
76ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
8 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
98ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
10 nn0z 12579 . . . . . . . . . . . 12 (-๐ผ โˆˆ โ„•0 โ†’ -๐ผ โˆˆ โ„ค)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐ผ โˆˆ โ„ค)
12 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
1312recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
14 znegclb 12595 . . . . . . . . . . . 12 (๐ผ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†” -๐ผ โˆˆ โ„ค))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†” -๐ผ โˆˆ โ„ค))
1611, 15mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
1716, 7zmulcld 12668 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
189, 17zaddcld 12666 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
19 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐ผ โˆˆ โ„•0)
20 jm2.19lem3 41715 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„ค) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€))) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) + (-๐ผ ยท ๐‘€)))))
215, 7, 18, 19, 20syl121anc 1375 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€))) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) + (-๐ผ ยท ๐‘€)))))
22 zcn 12559 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2322ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2513, 24mulneg1d 11663 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐ผ ยท ๐‘€) = -(๐ผ ยท ๐‘€))
2625oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) + (-๐ผ ยท ๐‘€)) = ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) + -(๐ผ ยท ๐‘€)))
27 zcn 12559 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2827ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3013, 24mulcld 11230 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
3129, 30addcld 11229 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
3231, 30negsubd 11573 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) + -(๐ผ ยท ๐‘€)) = ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) โˆ’ (๐ผ ยท ๐‘€)))
3329, 30pncand 11568 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) โˆ’ (๐ผ ยท ๐‘€)) = ๐‘)
3426, 32, 333eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) + (-๐ผ ยท ๐‘€)) = ๐‘)
3534oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด Yrm ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) + (-๐ผ ยท ๐‘€))) = (๐ด Yrm ๐‘))
3635breq2d 5159 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) + (-๐ผ ยท ๐‘€))) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘)))
3721, 36bitr2d 279 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)))))
3837ex 413 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ (-๐ผ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€))))))
394, 38jaod 857 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€))))))
4039expimpd 454 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง (๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐ผ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€))))))
411, 40biimtrid 241 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€))))))
42413impia 1117 1 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105   + caddc 11109   ยท cmul 11111   โˆ’ cmin 11440  -cneg 11441  2c2 12263  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„คโ‰ฅcuz 12818   โˆฅ cdvds 16193   Yrm crmy 41624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-numer 16667  df-denom 16668  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-squarenn 41564  df-pell1qr 41565  df-pell14qr 41566  df-pell1234qr 41567  df-pellfund 41568  df-rmx 41625  df-rmy 41626
This theorem is referenced by:  jm2.19  41717
  Copyright terms: Public domain W3C validator