Theorem jm2.19lem4 42314

Description: Lemma for jm2.19 42315. Extend to ZZ by symmetry. TODO: use zindbi 42268. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.19lem4	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))

Proof of Theorem jm2.19lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 12577	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ ↔ (𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∨ -𝐼 ∈ ℕ0)))
2		jm2.19lem3 42313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))
3	2	3expia 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
5		simplll 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
6		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7	6	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		nn0z 12587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝐼 ∈ ℕ0 → -𝐼 ∈ ℤ)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → -𝐼 ∈ ℤ)
12		simplr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℂ)
14		znegclb 12603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → (𝐼 ∈ ℤ ↔ -𝐼 ∈ ℤ))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ ℤ ↔ -𝐼 ∈ ℤ))
16	11, 15	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℤ)
17	16, 7	zmulcld 12676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 · 𝑀) ∈ ℤ)
18	9, 17	zaddcld 12674	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) ∈ ℤ)
19		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → -𝐼 ∈ ℕ0)
20		jm2.19lem3 42313	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) ∈ ℤ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀)))))
21	5, 7, 18, 19, 20	syl121anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀)))))
22		zcn 12567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
23	22	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
24	23	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
25	13, 24	mulneg1d 11671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (-𝐼 · 𝑀) = -(𝐼 · 𝑀))
26	25	oveq2d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀)) = ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + -(𝐼 · 𝑀)))
27		zcn 12567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
28	27	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29	28	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
30	13, 24	mulcld 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 · 𝑀) ∈ ℂ)
31	29, 30	addcld 11237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) ∈ ℂ)
32	31, 30	negsubd 11581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + -(𝐼 · 𝑀)) = ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) − (𝐼 · 𝑀)))
33	29, 30	pncand 11576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) − (𝐼 · 𝑀)) = 𝑁)
34	26, 32, 33	3eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀)) = 𝑁)
35	34	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝑁))
36	35	breq2d 5153	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm ((𝑁 + (𝐼 · 𝑀)) + (-𝐼 · 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
37	21, 36	bitr2d 280	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) ∧ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))
38	37	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (-𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
39	4, 38	jaod 856	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝐼 ∈ ℕ0 ∨ -𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
40	39	expimpd 453	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∨ -𝐼 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
41	1, 40	biimtrid 241	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐼 ∈ ℤ → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀))))))
42	41	3impia 1114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (𝐼 · 𝑀)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  ℝcr 11111   + caddc 11115   · cmul 11117   − cmin 11448  -cneg 11449  2c2 12271  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826   ∥ cdvds 16204   Y_rm crmy 42222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-numer 16680  df-denom 16681  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-squarenn 42162  df-pell1qr 42163  df-pell14qr 42164  df-pell1234qr 42165  df-pellfund 42166  df-rmx 42223  df-rmy 42224

This theorem is referenced by:  jm2.19  42315