Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.19lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.19lem4 41345
Description: Lemma for jm2.19 41346. Extend to ZZ by symmetry. TODO: use zindbi 41299. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.19lem4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)))))

Proof of Theorem jm2.19lem4
StepHypRef Expression
1 elznn0 12521 . . 3 (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†” (๐ผ โˆˆ โ„ โˆง (๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐ผ โˆˆ โ„•0)))
2 jm2.19lem3 41344 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)))))
323expia 1122 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€))))))
43adantr 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€))))))
5 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
76ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
8 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
98ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
10 nn0z 12531 . . . . . . . . . . . 12 (-๐ผ โˆˆ โ„•0 โ†’ -๐ผ โˆˆ โ„ค)
1110adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐ผ โˆˆ โ„ค)
12 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
1312recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
14 znegclb 12547 . . . . . . . . . . . 12 (๐ผ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†” -๐ผ โˆˆ โ„ค))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†” -๐ผ โˆˆ โ„ค))
1611, 15mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
1716, 7zmulcld 12620 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
189, 17zaddcld 12618 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
19 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐ผ โˆˆ โ„•0)
20 jm2.19lem3 41344 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„ค) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€))) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) + (-๐ผ ยท ๐‘€)))))
215, 7, 18, 19, 20syl121anc 1376 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€))) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) + (-๐ผ ยท ๐‘€)))))
22 zcn 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2322ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2513, 24mulneg1d 11615 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐ผ ยท ๐‘€) = -(๐ผ ยท ๐‘€))
2625oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) + (-๐ผ ยท ๐‘€)) = ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) + -(๐ผ ยท ๐‘€)))
27 zcn 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2827ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3013, 24mulcld 11182 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ผ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
3129, 30addcld 11181 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
3231, 30negsubd 11525 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) + -(๐ผ ยท ๐‘€)) = ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) โˆ’ (๐ผ ยท ๐‘€)))
3329, 30pncand 11520 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) โˆ’ (๐ผ ยท ๐‘€)) = ๐‘)
3426, 32, 333eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) + (-๐ผ ยท ๐‘€)) = ๐‘)
3534oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด Yrm ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) + (-๐ผ ยท ๐‘€))) = (๐ด Yrm ๐‘))
3635breq2d 5122 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ((๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)) + (-๐ผ ยท ๐‘€))) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘)))
3721, 36bitr2d 280 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โˆง -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)))))
3837ex 414 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ (-๐ผ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€))))))
394, 38jaod 858 . . . 4 (((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐ผ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€))))))
4039expimpd 455 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„ โˆง (๐ผ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐ผ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€))))))
411, 40biimtrid 241 . 2 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€))))))
42413impia 1118 1 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ผ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm ๐‘) โ†” (๐ด Yrm ๐‘€) โˆฅ (๐ด Yrm (๐‘ + (๐ผ ยท ๐‘€)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770   โˆฅ cdvds 16143   Yrm crmy 41253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-numer 16617  df-denom 16618  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-squarenn 41193  df-pell1qr 41194  df-pell14qr 41195  df-pell1234qr 41196  df-pellfund 41197  df-rmx 41254  df-rmy 41255
This theorem is referenced by:  jm2.19  41346
  Copyright terms: Public domain W3C validator