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Theorem expaddzlem 13326

Description: Lemma for expaddz 13327. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
expaddzlem	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

**Proof of Theorem expaddzlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp3 1131	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
3		expcl 13301	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
5		simp2r 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 11809	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℕ₀)
7		expcl 13301	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
9		simp1r 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐴 ≠ 0)
10	5	nnzd 11940	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℤ)
11		expne0i 13315	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑀) ≠ 0)
12	1, 9, 10, 11	syl3anc 1364	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-𝑀) ≠ 0)
13	4, 8, 12	divrec2d 11274	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (𝐴↑𝑁)))
14		simp2l 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℝ)
15	14	recnd 10522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℂ)
16	15	negnegd 10842	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → --𝑀 = 𝑀)
17		nnnegz 11838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑀 ∈ ℕ → --𝑀 ∈ ℤ)
18	5, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → --𝑀 ∈ ℤ)
19	16, 18	eqeltrrd 2886	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	2	nn0zd 11939	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	19, 20	zaddcld 11945	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
22		expclz 13308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
23	1, 9, 21, 22	syl3anc 1364	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
24	23	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
25	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
26	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-𝑀) ≠ 0)
27	24, 25, 26	divcan4d 11276	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) / (𝐴↑-𝑀)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)))
28	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℂ)
29		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀)
30	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℕ₀)
31		expadd 13325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)))
32	28, 29, 30, 31	syl3anc 1364	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)))
33	21	zcnd 11942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
34	33, 15	negsubd 10857	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
35	2	nn0cnd 11811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
36	15, 35	pncan2d 10853	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
37	34, 36	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
38	37	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
39	38	oveq2d 7039	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = (𝐴↑𝑁))
40	32, 39	eqtr3d 2835	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) = (𝐴↑𝑁))
41	40	oveq1d 7038	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) / (𝐴↑-𝑀)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
42	27, 41	eqtr3d 2835	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
43	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	33	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
45		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀)
46		expneg2 13292	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1364	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
48	21	znegcld 11943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
49		expclz 13308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
50	1, 9, 48, 49	syl3anc 1364	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
51	50	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
52	4	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
53		expne0i 13315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
54	1, 9, 20, 53	syl3anc 1364	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
55	54	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
56	51, 52, 55	divcan4d 11276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)) / (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)))
57	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
58		expadd 13325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)))
59	43, 45, 57, 58	syl3anc 1364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)))
60	15, 35	negdi2d 10865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑀 − 𝑁))
61	60	oveq1d 7038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = ((-𝑀 − 𝑁) + 𝑁))
62	15	negcld 10838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℂ)
63	62, 35	npcand 10855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((-𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
64	61, 63	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
66	65	oveq2d 7039	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = (𝐴↑-𝑀))
67	59, 66	eqtr3d 2835	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑-𝑀))
68	67	oveq1d 7038	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)) / (𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁)))
69	56, 68	eqtr3d 2835	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁)))
70	69	oveq2d 7039	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁))))
71	8, 4, 12, 54	recdivd 11287	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
72	71	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
73	70, 72	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
74	47, 73	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
75		elznn0 11850	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀)))
76	75	simprbi 497	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀))
77	21, 76	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀))
78	42, 74, 77	mpjaodan 953	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
79		expneg2 13292	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
80	1, 15, 6, 79	syl3anc 1364	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
81	80	oveq1d 7038	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (𝐴↑𝑁)))
82	13, 78, 81	3eqtr4d 2843	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 396 ∨ wo 842 ∧ w3a 1080 = wceq 1525 ∈ wcel 2083 ≠ wne 2986 (class class class)co 7023 ℂcc 10388 ℝcr 10389 0cc0 10390 1c1 10391 + caddc 10393 · cmul 10395 − cmin 10723 -cneg 10724 / cdiv 11151 ℕcn 11492 ℕ₀cn0 11751 ℤcz 11835 ↑cexp 13283

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1781 ax-4 1795 ax-5 1892 ax-6 1951 ax-7 1996 ax-8 2085 ax-9 2093 ax-10 2114 ax-11 2128 ax-12 2143 ax-13 2346 ax-ext 2771 ax-sep 5101 ax-nul 5108 ax-pow 5164 ax-pr 5228 ax-un 7326 ax-cnex 10446 ax-resscn 10447 ax-1cn 10448 ax-icn 10449 ax-addcl 10450 ax-addrcl 10451 ax-mulcl 10452 ax-mulrcl 10453 ax-mulcom 10454 ax-addass 10455 ax-mulass 10456 ax-distr 10457 ax-i2m1 10458 ax-1ne0 10459 ax-1rid 10460 ax-rnegex 10461 ax-rrecex 10462 ax-cnre 10463 ax-pre-lttri 10464 ax-pre-lttrn 10465 ax-pre-ltadd 10466 ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 843 df-3or 1081 df-3an 1082 df-tru 1528 df-ex 1766 df-nf 1770 df-sb 2045 df-mo 2578 df-eu 2614 df-clab 2778 df-cleq 2790 df-clel 2865 df-nfc 2937 df-ne 2987 df-nel 3093 df-ral 3112 df-rex 3113 df-reu 3114 df-rmo 3115 df-rab 3116 df-v 3442 df-sbc 3712 df-csb 3818 df-dif 3868 df-un 3870 df-in 3872 df-ss 3880 df-pss 3882 df-nul 4218 df-if 4388 df-pw 4461 df-sn 4479 df-pr 4481 df-tp 4483 df-op 4485 df-uni 4752 df-iun 4833 df-br 4969 df-opab 5031 df-mpt 5048 df-tr 5071 df-id 5355 df-eprel 5360 df-po 5369 df-so 5370 df-fr 5409 df-we 5411 df-xp 5456 df-rel 5457 df-cnv 5458 df-co 5459 df-dm 5460 df-rn 5461 df-res 5462 df-ima 5463 df-pred 6030 df-ord 6076 df-on 6077 df-lim 6078 df-suc 6079 df-iota 6196 df-fun 6234 df-fn 6235 df-f 6236 df-f1 6237 df-fo 6238 df-f1o 6239 df-fv 6240 df-riota 6984 df-ov 7026 df-oprab 7027 df-mpo 7028 df-om 7444 df-2nd 7553 df-wrecs 7805 df-recs 7867 df-rdg 7905 df-er 8146 df-en 8365 df-dom 8366 df-sdom 8367 df-pnf 10530 df-mnf 10531 df-xr 10532 df-ltxr 10533 df-le 10534 df-sub 10725 df-neg 10726 df-div 11152 df-nn 11493 df-n0 11752 df-z 11836 df-uz 12098 df-seq 13224 df-exp 13284

This theorem is referenced by: expaddz 13327

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