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Theorem expaddzlem 14070

Description: Lemma for expaddz 14071. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
expaddzlem	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

**Proof of Theorem expaddzlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
3		expcl 14044	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
5		simp2r 1201	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12503	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℕ₀)
7		expcl 14044	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
9		simp1r 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐴 ≠ 0)
10	5	nnzd 12556	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℤ)
11		expne0i 14059	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑀) ≠ 0)
12	1, 9, 10, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-𝑀) ≠ 0)
13	4, 8, 12	divrec2d 11962	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (𝐴↑𝑁)))
14		simp2l 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℂ)
16	15	negnegd 11524	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → --𝑀 = 𝑀)
17		nnnegz 12532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑀 ∈ ℕ → --𝑀 ∈ ℤ)
18	5, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → --𝑀 ∈ ℤ)
19	16, 18	eqeltrrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	2	nn0zd 12555	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	19, 20	zaddcld 12642	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
22		expclz 14049	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
23	1, 9, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
25	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
26	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-𝑀) ≠ 0)
27	24, 25, 26	divcan4d 11964	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) / (𝐴↑-𝑀)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)))
28	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℂ)
29		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀)
30	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℕ₀)
31		expadd 14069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)))
32	28, 29, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)))
33	21	zcnd 12639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
34	33, 15	negsubd 11539	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
35	2	nn0cnd 12505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
36	15, 35	pncan2d 11535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
37	34, 36	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
38	37	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
39	38	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = (𝐴↑𝑁))
40	32, 39	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) = (𝐴↑𝑁))
41	40	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) / (𝐴↑-𝑀)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
42	27, 41	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
43	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
45		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀)
46		expneg2 14035	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
48	21	znegcld 12640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
49		expclz 14049	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
50	1, 9, 48, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
51	50	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
52	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
53		expne0i 14059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
54	1, 9, 20, 53	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
55	54	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
56	51, 52, 55	divcan4d 11964	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)) / (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)))
57	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
58		expadd 14069	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)))
59	43, 45, 57, 58	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)))
60	15, 35	negdi2d 11547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑀 − 𝑁))
61	60	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = ((-𝑀 − 𝑁) + 𝑁))
62	15	negcld 11520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℂ)
63	62, 35	npcand 11537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((-𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
64	61, 63	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
66	65	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = (𝐴↑-𝑀))
67	59, 66	eqtr3d 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑-𝑀))
68	67	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)) / (𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁)))
69	56, 68	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁)))
70	69	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁))))
71	8, 4, 12, 54	recdivd 11975	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
72	71	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
73	70, 72	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
74	47, 73	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
75		elznn0 12544	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀)))
76	75	simprbi 496	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀))
77	21, 76	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀))
78	42, 74, 77	mpjaodan 960	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
79		expneg2 14035	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
80	1, 15, 6, 79	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
81	80	oveq1d 7402	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (𝐴↑𝑁)))
82	13, 78, 81	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 (class class class)co 7387 ℂcc 11066 ℝcr 11067 0cc0 11068 1c1 11069 + caddc 11071 · cmul 11073 − cmin 11405 -cneg 11406 / cdiv 11835 ℕcn 12186 ℕ₀cn0 12442 ℤcz 12529 ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4872 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-er 8671 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-n0 12443 df-z 12530 df-uz 12794 df-seq 13967 df-exp 14027

This theorem is referenced by: expaddz 14071

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