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Theorem expaddzlem 13661

Description: Lemma for expaddz 13662. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
expaddzlem	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

**Proof of Theorem expaddzlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp3 1140	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
3		expcl 13636	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
5		simp2r 1202	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12133	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℕ₀)
7		expcl 13636	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
9		simp1r 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝐴 ≠ 0)
10	5	nnzd 12264	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℤ)
11		expne0i 13650	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑀) ≠ 0)
12	1, 9, 10, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-𝑀) ≠ 0)
13	4, 8, 12	divrec2d 11595	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (𝐴↑𝑁)))
14		simp2l 1201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℝ)
15	14	recnd 10844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℂ)
16	15	negnegd 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → --𝑀 = 𝑀)
17		nnnegz 12162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑀 ∈ ℕ → --𝑀 ∈ ℤ)
18	5, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → --𝑀 ∈ ℤ)
19	16, 18	eqeltrrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	2	nn0zd 12263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℤ)
21	19, 20	zaddcld 12269	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
22		expclz 13643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
23	1, 9, 21, 22	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
24	23	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
25	8	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
26	12	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-𝑀) ≠ 0)
27	24, 25, 26	divcan4d 11597	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) / (𝐴↑-𝑀)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)))
28	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℂ)
29		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀)
30	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℕ₀)
31		expadd 13660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)))
32	28, 29, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)))
33	21	zcnd 12266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
34	33, 15	negsubd 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
35	2	nn0cnd 12135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℂ)
36	15, 35	pncan2d 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
37	34, 36	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
38	37	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = 𝑁)
39	38	oveq2d 7218	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑁) + -𝑀)) = (𝐴↑𝑁))
40	32, 39	eqtr3d 2776	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) = (𝐴↑𝑁))
41	40	oveq1d 7217	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (((𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑-𝑀)) / (𝐴↑-𝑀)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
42	27, 41	eqtr3d 2776	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
43	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	33	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
45		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀)
46		expneg2 13627	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))))
48	21	znegcld 12267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
49		expclz 13643	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
50	1, 9, 48, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
51	50	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) ∈ ℂ)
52	4	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
53		expne0i 13650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
54	1, 9, 20, 53	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
55	54	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
56	51, 52, 55	divcan4d 11597	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)) / (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)))
57	2	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
58		expadd 13660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)))
59	43, 45, 57, 58	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)))
60	15, 35	negdi2d 11186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -(𝑀 + 𝑁) = (-𝑀 − 𝑁))
61	60	oveq1d 7217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = ((-𝑀 − 𝑁) + 𝑁))
62	15	negcld 11159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → -𝑀 ∈ ℂ)
63	62, 35	npcand 11176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((-𝑀 − 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
64	61, 63	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
65	64	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁) = -𝑀)
66	65	oveq2d 7218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(-(𝑀 + 𝑁) + 𝑁)) = (𝐴↑-𝑀))
67	59, 66	eqtr3d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → ((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)) = (𝐴↑-𝑀))
68	67	oveq1d 7217	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (((𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) · (𝐴↑𝑁)) / (𝐴↑𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁)))
69	56, 68	eqtr3d 2776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁)))
70	69	oveq2d 7218	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁))))
71	8, 4, 12, 54	recdivd 11608	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
72	71	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (1 / ((𝐴↑-𝑀) / (𝐴↑𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
73	70, 72	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 + 𝑁))) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
74	47, 73	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
75		elznn0 12174	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀)))
76	75	simprbi 500	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀))
77	21, 76	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀ ∨ -(𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ₀))
78	42, 74, 77	mpjaodan 959	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑁) / (𝐴↑-𝑀)))
79		expneg2 13627	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
80	1, 15, 6, 79	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
81	80	oveq1d 7217	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)) = ((1 / (𝐴↑-𝑀)) · (𝐴↑𝑁)))
82	13, 78, 81	3eqtr4d 2784	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 ∨ wo 847 ∧ w3a 1089 = wceq 1543 ∈ wcel 2110 ≠ wne 2935 (class class class)co 7202 ℂcc 10710 ℝcr 10711 0cc0 10712 1c1 10713 + caddc 10715 · cmul 10717 − cmin 11045 -cneg 11046 / cdiv 11472 ℕcn 11813 ℕ₀cn0 12073 ℤcz 12159 ↑cexp 13618

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1976 ax-7 2016 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2706 ax-sep 5181 ax-nul 5188 ax-pow 5247 ax-pr 5311 ax-un 7512 ax-cnex 10768 ax-resscn 10769 ax-1cn 10770 ax-icn 10771 ax-addcl 10772 ax-addrcl 10773 ax-mulcl 10774 ax-mulrcl 10775 ax-mulcom 10776 ax-addass 10777 ax-mulass 10778 ax-distr 10779 ax-i2m1 10780 ax-1ne0 10781 ax-1rid 10782 ax-rnegex 10783 ax-rrecex 10784 ax-cnre 10785 ax-pre-lttri 10786 ax-pre-lttrn 10787 ax-pre-ltadd 10788 ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 848 df-3or 1090 df-3an 1091 df-tru 1546 df-fal 1556 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2071 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2713 df-cleq 2726 df-clel 2812 df-nfc 2882 df-ne 2936 df-nel 3040 df-ral 3059 df-rex 3060 df-reu 3061 df-rmo 3062 df-rab 3063 df-v 3403 df-sbc 3688 df-csb 3803 df-dif 3860 df-un 3862 df-in 3864 df-ss 3874 df-pss 3876 df-nul 4228 df-if 4430 df-pw 4505 df-sn 4532 df-pr 4534 df-tp 4536 df-op 4538 df-uni 4810 df-iun 4896 df-br 5044 df-opab 5106 df-mpt 5125 df-tr 5151 df-id 5444 df-eprel 5449 df-po 5457 df-so 5458 df-fr 5498 df-we 5500 df-xp 5546 df-rel 5547 df-cnv 5548 df-co 5549 df-dm 5550 df-rn 5551 df-res 5552 df-ima 5553 df-pred 6149 df-ord 6205 df-on 6206 df-lim 6207 df-suc 6208 df-iota 6327 df-fun 6371 df-fn 6372 df-f 6373 df-f1 6374 df-fo 6375 df-f1o 6376 df-fv 6377 df-riota 7159 df-ov 7205 df-oprab 7206 df-mpo 7207 df-om 7634 df-2nd 7751 df-wrecs 8036 df-recs 8097 df-rdg 8135 df-er 8380 df-en 8616 df-dom 8617 df-sdom 8618 df-pnf 10852 df-mnf 10853 df-xr 10854 df-ltxr 10855 df-le 10856 df-sub 11047 df-neg 11048 df-div 11473 df-nn 11814 df-n0 12074 df-z 12160 df-uz 12422 df-seq 13558 df-exp 13619

This theorem is referenced by: expaddz 13662

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