Theorem cxpmul2z 26198

Description: Generalize cxpmul2 26196 to negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cxpmul2z	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))

Proof of Theorem cxpmul2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 12572	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∨ -𝐶 ∈ ℕ0)))
2		cxpmul2 26196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))
3	2	3expia 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
4	3	ad4ant13 749	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
5		simplll 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → -𝐶 ∈ ℕ0)
8		cxpmul2 26196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · -𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑-𝐶))
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · -𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑-𝐶))
10	9	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (1 / (𝐴↑𝑐(𝐵 · -𝐶))) = (1 / ((𝐴↑𝑐𝐵)↑-𝐶)))
11		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
13	6, 12	mulneg2d 11667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐵 · -𝐶) = -(𝐵 · 𝐶))
14	13	negeqd 11453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → -(𝐵 · -𝐶) = --(𝐵 · 𝐶))
15	6, 12	mulcld 11233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	negnegd 11561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → --(𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
17	14, 16	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → -(𝐵 · -𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
18	17	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑐-(𝐵 · -𝐶)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)))
19		simpllr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ≠ 0)
20	12	negcld 11557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → -𝐶 ∈ ℂ)
21	6, 20	mulcld 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐵 · -𝐶) ∈ ℂ)
22		cxpneg 26188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (𝐵 · -𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐-(𝐵 · -𝐶)) = (1 / (𝐴↑𝑐(𝐵 · -𝐶))))
23	5, 19, 21, 22	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑐-(𝐵 · -𝐶)) = (1 / (𝐴↑𝑐(𝐵 · -𝐶))))
24	18, 23	eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = (1 / (𝐴↑𝑐(𝐵 · -𝐶))))
25		cxpcl 26181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
26	25	ad4ant13 749	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
27		expneg2 14035	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶) = (1 / ((𝐴↑𝑐𝐵)↑-𝐶)))
28	26, 12, 7, 27	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶) = (1 / ((𝐴↑𝑐𝐵)↑-𝐶)))
29	10, 24, 28	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))
30	29	expr 457	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
31	4, 30	jaod 857	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℕ0 ∨ -𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
32	31	expimpd 454	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∨ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
33	1, 32	biimtrid 241	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
34	33	impr 455	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   · cmul 11114  -cneg 11444   / cdiv 11870  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ↑cexp 14026  ↑_𝑐ccxp 26063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-cxp 26065

This theorem is referenced by:  cxpmul2zd  26223