Theorem cxpmul2z 26580

Description: Generalize cxpmul2 26578 to negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cxpmul2z	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))

Proof of Theorem cxpmul2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 12577	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∨ -𝐶 ∈ ℕ0)))
2		cxpmul2 26578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))
3	2	3expia 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
4	3	ad4ant13 748	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
5		simplll 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simplr 766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		simprr 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → -𝐶 ∈ ℕ0)
8		cxpmul2 26578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · -𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑-𝐶))
9	5, 6, 7, 8	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · -𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑-𝐶))
10	9	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (1 / (𝐴↑𝑐(𝐵 · -𝐶))) = (1 / ((𝐴↑𝑐𝐵)↑-𝐶)))
11		simprl 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
13	6, 12	mulneg2d 11672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐵 · -𝐶) = -(𝐵 · 𝐶))
14	13	negeqd 11458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → -(𝐵 · -𝐶) = --(𝐵 · 𝐶))
15	6, 12	mulcld 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	negnegd 11566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → --(𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
17	14, 16	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → -(𝐵 · -𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
18	17	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑐-(𝐵 · -𝐶)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)))
19		simpllr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ≠ 0)
20	12	negcld 11562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → -𝐶 ∈ ℂ)
21	6, 20	mulcld 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐵 · -𝐶) ∈ ℂ)
22		cxpneg 26570	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (𝐵 · -𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐-(𝐵 · -𝐶)) = (1 / (𝐴↑𝑐(𝐵 · -𝐶))))
23	5, 19, 21, 22	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑐-(𝐵 · -𝐶)) = (1 / (𝐴↑𝑐(𝐵 · -𝐶))))
24	18, 23	eqtr3d 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = (1 / (𝐴↑𝑐(𝐵 · -𝐶))))
25		cxpcl 26563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
26	25	ad4ant13 748	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
27		expneg2 14041	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶) = (1 / ((𝐴↑𝑐𝐵)↑-𝐶)))
28	26, 12, 7, 27	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶) = (1 / ((𝐴↑𝑐𝐵)↑-𝐶)))
29	10, 24, 28	3eqtr4d 2776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))
30	29	expr 456	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
31	4, 30	jaod 856	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℕ0 ∨ -𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
32	31	expimpd 453	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∨ -𝐶 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
33	1, 32	biimtrid 241	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℤ → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
34	33	impr 454	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℤ)) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117  -cneg 11449   / cdiv 11875  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ↑cexp 14032  ↑_𝑐ccxp 26444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446

This theorem is referenced by:  cxpmul2zd  26605