MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpmul2z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpmul2z 26653
Description: Generalize cxpmul2 26651 to negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cxpmul2z (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ดโ†‘๐‘๐ต)โ†‘๐ถ))

Proof of Theorem cxpmul2z
StepHypRef Expression
1 elznn0 12613 . . 3 (๐ถ โˆˆ โ„ค โ†” (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐ถ โˆˆ โ„•0)))
2 cxpmul2 26651 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ดโ†‘๐‘๐ต)โ†‘๐ถ))
323expia 1118 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ดโ†‘๐‘๐ต)โ†‘๐ถ)))
43ad4ant13 749 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ดโ†‘๐‘๐ต)โ†‘๐ถ)))
5 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ -๐ถ โˆˆ โ„•0)
8 cxpmul2 26651 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท -๐ถ)) = ((๐ดโ†‘๐‘๐ต)โ†‘-๐ถ))
95, 6, 7, 8syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท -๐ถ)) = ((๐ดโ†‘๐‘๐ต)โ†‘-๐ถ))
109oveq2d 7442 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท -๐ถ))) = (1 / ((๐ดโ†‘๐‘๐ต)โ†‘-๐ถ)))
11 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
1211recnd 11282 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
136, 12mulneg2d 11708 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ต ยท -๐ถ) = -(๐ต ยท ๐ถ))
1413negeqd 11494 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ -(๐ต ยท -๐ถ) = --(๐ต ยท ๐ถ))
156, 12mulcld 11274 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1615negnegd 11602 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ --(๐ต ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))
1714, 16eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ -(๐ต ยท -๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))
1817oveq2d 7442 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘-(๐ต ยท -๐ถ)) = (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท ๐ถ)))
19 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
2012negcld 11598 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ -๐ถ โˆˆ โ„‚)
216, 20mulcld 11274 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ต ยท -๐ถ) โˆˆ โ„‚)
22 cxpneg 26643 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง (๐ต ยท -๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘-(๐ต ยท -๐ถ)) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท -๐ถ))))
235, 19, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘-(๐ต ยท -๐ถ)) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท -๐ถ))))
2418, 23eqtr3d 2770 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท ๐ถ)) = (1 / (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท -๐ถ))))
25 cxpcl 26636 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„‚)
2625ad4ant13 749 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„‚)
27 expneg2 14077 . . . . . . . 8 (((๐ดโ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘๐ต)โ†‘๐ถ) = (1 / ((๐ดโ†‘๐‘๐ต)โ†‘-๐ถ)))
2826, 12, 7, 27syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘๐ต)โ†‘๐ถ) = (1 / ((๐ดโ†‘๐‘๐ต)โ†‘-๐ถ)))
2910, 24, 283eqtr4d 2778 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ดโ†‘๐‘๐ต)โ†‘๐ถ))
3029expr 455 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (-๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ดโ†‘๐‘๐ต)โ†‘๐ถ)))
314, 30jaod 857 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ดโ†‘๐‘๐ต)โ†‘๐ถ)))
3231expimpd 452 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐ถ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ดโ†‘๐‘๐ต)โ†‘๐ถ)))
331, 32biimtrid 241 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ดโ†‘๐‘๐ต)โ†‘๐ถ)))
3433impr 453 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ดโ†‘๐‘๐ต)โ†‘๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   ยท cmul 11153  -cneg 11485   / cdiv 11911  โ„•0cn0 12512  โ„คcz 12598  โ†‘cexp 14068  โ†‘๐‘ccxp 26517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-shft 15056  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-ef 16053  df-sin 16055  df-cos 16056  df-pi 16058  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cncf 24826  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26518  df-cxp 26519
This theorem is referenced by:  cxpmul2zd  26678
  Copyright terms: Public domain W3C validator