Theorem rexzrexnn0 39408

Description: Rewrite a quantification over integers into a quantification over naturals. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexzrexnn0.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
rexzrexnn0.2	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rexzrexnn0	⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)

Proof of Theorem rexzrexnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 11999	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0)))
2	1	simprbi 499	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0))
3	2	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0))
4		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝜑)
6		rexzrexnn0.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	equcoms 2027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	7	bicomd 225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜓 ↔ 𝜑))
9	8	rspcev 3625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓)
10	4, 5, 9	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓)
11	10	ex 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℕ0 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓))
12		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) → -𝑥 ∈ ℕ0)
13		zcn 11989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
14	13	negnegd 10990	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → --𝑥 = 𝑥)
15	14	eqcomd 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 = --𝑥)
16		negeq 10880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = --𝑥)
17	16	eqeq2d 2834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑥 = --𝑥))
18	15, 17	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑦 = -𝑥 → 𝑥 = -𝑦))
19	18	imp 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → 𝑥 = -𝑦)
20		rexzrexnn0.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜒))
22	21	bicomd 225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜒 ↔ 𝜑))
23	22	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜒 ↔ 𝜑))
24	12, 23	rspcedv 3618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) → (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
25	24	impancom 454	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
26	11, 25	orim12d 961	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0) → (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒)))
27	3, 26	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
28		r19.43 3353	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
29	27, 28	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))
30	29	rexlimiva 3283	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))
31		nn0z 12008	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
32	6	rspcev 3625	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
33	31, 32	sylan 582	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
34		nn0negz 12023	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ ℤ)
35	20	rspcev 3625	. . . . 5 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
36	34, 35	sylan 582	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
37	33, 36	jaodan 954	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
38	37	rexlimiva 3283	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
39	30, 38	impbii 211	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141  ℝcr 10538  -cneg 10873  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985

This theorem is referenced by:  dvdsrabdioph  39414