Theorem rexzrexnn0 43764

Description: Rewrite an existential quantification restricted to integers into an existential quantification restricted to naturals. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexzrexnn0.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
rexzrexnn0.2	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rexzrexnn0	⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)

Proof of Theorem rexzrexnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 12689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0)))
2	1	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0))
3	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0))
4		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝜑)
6		rexzrexnn0.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	equcoms 2053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	7	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜓 ↔ 𝜑))
9	8	rspcev 3577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓)
10	4, 5, 9	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓)
11	10	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℕ0 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓))
12		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) → -𝑥 ∈ ℕ0)
13		zcn 12679	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
14	13	negnegd 11641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → --𝑥 = 𝑥)
15	14	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 = --𝑥)
16		negeq 11530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = --𝑥)
17	16	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑥 = --𝑥))
18	15, 17	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑦 = -𝑥 → 𝑥 = -𝑦))
19	18	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → 𝑥 = -𝑦)
20		rexzrexnn0.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜒))
22	21	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜒 ↔ 𝜑))
23	22	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜒 ↔ 𝜑))
24	12, 23	rspcedv 3570	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) → (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
25	24	impancom 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
26	11, 25	orim12d 979	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0) → (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒)))
27	3, 26	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
28		r19.43 3131	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
29	27, 28	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))
30	29	rexlimiva 3156	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))
31		nn0z 12698	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
32	6	rspcev 3577	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
33	31, 32	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
34		nn0negz 12715	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ ℤ)
35	20	rspcev 3577	. . . . 5 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
36	34, 35	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
37	33, 36	jaodan 972	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
38	37	rexlimiva 3156	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
39	30, 38	impbii 212	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  ℝcr 11180  -cneg 11523  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675

This theorem is used by:  dvdsrabdioph  43770