Theorem rexzrexnn0 43232

Description: Rewrite an existential quantification restricted to integers into an existential quantification restricted to naturals. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexzrexnn0.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
rexzrexnn0.2	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rexzrexnn0	⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)

Proof of Theorem rexzrexnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 12539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0)))
2	1	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0))
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0))
4		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝜑)
6		rexzrexnn0.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	equcoms 2022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	7	bicomd 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝜓 ↔ 𝜑))
9	8	rspcev 3564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝜑) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓)
10	4, 5, 9	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓)
11	10	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℕ0 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓))
12		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) → -𝑥 ∈ ℕ0)
13		zcn 12529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
14	13	negnegd 11496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → --𝑥 = 𝑥)
15	14	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 = --𝑥)
16		negeq 11385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = --𝑥)
17	16	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑥 = --𝑥))
18	15, 17	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑦 = -𝑥 → 𝑥 = -𝑦))
19	18	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → 𝑥 = -𝑦)
20		rexzrexnn0.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜒))
22	21	bicomd 223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜒 ↔ 𝜑))
23	22	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜒 ↔ 𝜑))
24	12, 23	rspcedv 3557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ -𝑥 ∈ ℕ0) → (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
25	24	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (-𝑥 ∈ ℕ0 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
26	11, 25	orim12d 967	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∨ -𝑥 ∈ ℕ0) → (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒)))
27	3, 26	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
28		r19.43 3105	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒) ↔ (∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜓 ∨ ∃𝑦 ∈ ℕ0 𝜒))
29	27, 28	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝜑) → ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))
30	29	rexlimiva 3130	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))
31		nn0z 12548	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℤ)
32	6	rspcev 3564	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
33	31, 32	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝜓) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
34		nn0negz 12565	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → -𝑦 ∈ ℤ)
35	20	rspcev 3564	. . . . 5 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
36	34, 35	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
37	33, 36	jaodan 960	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝜓 ∨ 𝜒)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
38	37	rexlimiva 3130	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
39	30, 38	impbii 209	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝜓 ∨ 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  ℝcr 11037  -cneg 11378  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525

This theorem is referenced by:  dvdsrabdioph  43238