Theorem eqg0subgecsn 19185

Description: The equivalence classes modulo the coset equivalence relation for the trivial (zero) subgroup of a group are singletons. (Contributed by AV, 26-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqg0subg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eqg0subg.s	⊢ 𝑆 = { 0 }
eqg0subg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
eqg0subg.r	⊢ 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqg0subgecsn	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]𝑅 = {𝑋})

Proof of Theorem eqg0subgecsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ec 8726	. 2 ⊢ [𝑋]𝑅 = (𝑅 “ {𝑋})
2		eqg0subg.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqg0subg.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = { 0 }
4		eqg0subg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqg0subg.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)
6	2, 3, 4, 5	eqg0subg 19184	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))
8	7	imaeq1d 6051	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 “ {𝑋}) = (( I ↾ 𝐵) “ {𝑋}))
9		snssi 4789	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑋} ⊆ 𝐵)
11		resima2 6008	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵) “ {𝑋}) = ( I “ {𝑋}))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵) “ {𝑋}) = ( I “ {𝑋}))
13		imai 6066	. . . 4 ⊢ ( I “ {𝑋}) = {𝑋}
14	12, 13	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵) “ {𝑋}) = {𝑋})
15	8, 14	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 “ {𝑋}) = {𝑋})
16	1, 15	eqtrid 2783	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]𝑅 = {𝑋})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  {csn 4606   I cid 5552   ↾ cres 5661   “ cima 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  [cec 8722  Basecbs 17233  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18921   ~_QG cqg 19110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-ec 8726  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-subg 19111  df-eqg 19113

This theorem is referenced by:  qus0subgbas  19186  qus0subgadd  19187