Theorem eqg0subgecsn 19256

Description: The equivalence classes modulo the coset equivalence relation for the trivial (zero) subgroup of a group are singletons. (Contributed by AV, 26-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqg0subg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eqg0subg.s	⊢ 𝑆 = { 0 }
eqg0subg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
eqg0subg.r	⊢ 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqg0subgecsn	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]𝑅 = {𝑋})

Proof of Theorem eqg0subgecsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ec 8684	. 2 ⊢ [𝑋]𝑅 = (𝑅 “ {𝑋})
2		eqg0subg.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqg0subg.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = { 0 }
4		eqg0subg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqg0subg.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)
6	2, 3, 4, 5	eqg0subg 19255	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))
7	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))
8	7	imaeq1d 6051	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 “ {𝑋}) = (( I ↾ 𝐵) “ {𝑋}))
9		snssi 4747	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
10	9	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑋} ⊆ 𝐵)
11		resima2 6005	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵) “ {𝑋}) = ( I “ {𝑋}))
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵) “ {𝑋}) = ( I “ {𝑋}))
13		imai 6066	. . . 4 ⊢ ( I “ {𝑋}) = {𝑋}
14	12, 13	eqtrdi 2816	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵) “ {𝑋}) = {𝑋})
15	8, 14	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 “ {𝑋}) = {𝑋})
16	1, 15	eqtrid 2812	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]𝑅 = {𝑋})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  {csn 4585   I cid 5545   ↾ cres 5653   “ cima 5654  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  [cec 8680  Basecbs 17257  0_gc0g 17480  Grpcgrp 18988   ~_QG cqg 19176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-ec 8684  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-subg 19177  df-eqg 19179

This theorem is referenced by:  qus0subgbas  19257  qus0subgadd  19258