Theorem eqg0subgecsn 19215

Description: The equivalence classes modulo the coset equivalence relation for the trivial (zero) subgroup of a group are singletons. (Contributed by AV, 26-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqg0subg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eqg0subg.s	⊢ 𝑆 = { 0 }
eqg0subg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
eqg0subg.r	⊢ 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqg0subgecsn	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]𝑅 = {𝑋})

Proof of Theorem eqg0subgecsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ec 8747	. 2 ⊢ [𝑋]𝑅 = (𝑅 “ {𝑋})
2		eqg0subg.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqg0subg.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = { 0 }
4		eqg0subg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		eqg0subg.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)
6	2, 3, 4, 5	eqg0subg 19214	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))
8	7	imaeq1d 6077	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 “ {𝑋}) = (( I ↾ 𝐵) “ {𝑋}))
9		snssi 4808	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {𝑋} ⊆ 𝐵)
11		resima2 6034	. . . . 5 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵) “ {𝑋}) = ( I “ {𝑋}))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵) “ {𝑋}) = ( I “ {𝑋}))
13		imai 6092	. . . 4 ⊢ ( I “ {𝑋}) = {𝑋}
14	12, 13	eqtrdi 2793	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( I ↾ 𝐵) “ {𝑋}) = {𝑋})
15	8, 14	eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 “ {𝑋}) = {𝑋})
16	1, 15	eqtrid 2789	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → [𝑋]𝑅 = {𝑋})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  {csn 4626   I cid 5577   ↾ cres 5687   “ cima 5688  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  [cec 8743  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951   ~_QG cqg 19140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-ec 8747  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-eqg 19143

This theorem is referenced by:  qus0subgbas  19216  qus0subgadd  19217