Theorem qus0subgbas 19186

Description: The base set of a quotient of a group by the trivial (zero) subgroup. (Contributed by AV, 26-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qus0subg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
qus0subg.s	⊢ 𝑆 = { 0 }
qus0subg.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
qus0subg.u	⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
qus0subg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
qus0subgbas	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (Base‘𝑈) = {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = {𝑥}})

Distinct variable groups:   𝑢,𝐵,𝑥   𝑢,𝐺,𝑥   𝑢, ∼ ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑢)   𝑈(𝑥,𝑢)   0 (𝑥,𝑢)

Proof of Theorem qus0subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-qs 8730	. 2 ⊢ (𝐵 / ∼ ) = {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = [𝑥] ∼ }
2		qus0subg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑈 = (𝐺 /s ∼ ))
4		qus0subg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 = (Base‘𝐺))
6		qus0subg.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
7	6	ovexi 7444	. . . 4 ⊢ ∼ ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∼ ∈ V)
9		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
10	3, 5, 8, 9	qusbas 17564	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐵 / ∼ ) = (Base‘𝑈))
11		qus0subg.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12		qus0subg.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = { 0 }
13	11, 12, 4, 6	eqg0subgecsn 19185	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = {𝑥})
14	13	eqeq2d 2747	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑢 = [𝑥] ∼ ↔ 𝑢 = {𝑥}))
15	14	rexbidva 3163	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = [𝑥] ∼ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = {𝑥}))
16	15	abbidv 2802	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = [𝑥] ∼ } = {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = {𝑥}})
17	1, 10, 16	3eqtr3a 2795	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (Base‘𝑈) = {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = {𝑥}})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2714  ∃wrex 3061  Vcvv 3464  {csn 4606  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  [cec 8722   / cqs 8723  Basecbs 17233  0_gc0g 17458   /_s cqus 17524  Grpcgrp 18921   ~_QG cqg 19110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-0g 17460  df-imas 17527  df-qus 17528  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-subg 19111  df-eqg 19113

This theorem is referenced by: (None)