Theorem qus0subgbas 19326

Description: The base set of a quotient of a group by the trivial (zero) subgroup. (Contributed by AV, 26-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qus0subg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
qus0subg.s	⊢ 𝑆 = { 0 }
qus0subg.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
qus0subg.u	⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
qus0subg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
qus0subgbas	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (Base‘𝑈) = {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = {𝑥}})

Distinct variable groups:   𝑢,𝐵,𝑥   𝑢,𝐺,𝑥   𝑢, ∼ ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥, 𝑢)   𝑈(𝑥, 𝑢)   0 (𝑥, 𝑢)

Proof of Theorem qus0subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-qs 8702	. 2 ⊢ (𝐵 / ∼ ) = {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = [𝑥] ∼ }
2		qus0subg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑈 = (𝐺 /s ∼ ))
4		qus0subg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 = (Base‘𝐺))
6		qus0subg.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
7	6	ovexi 7447	. . . 4 ⊢ ∼ ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∼ ∈ V)
9		id 23	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
10	3, 5, 8, 9	qusbas 17631	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐵 / ∼ ) = (Base‘𝑈))
11		qus0subg.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12		qus0subg.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = { 0 }
13	11, 12, 4, 6	eqg0subgecsn 19325	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = {𝑥})
14	13	eqeq2d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑢 = [𝑥] ∼ ↔ 𝑢 = {𝑥}))
15	14	rexbidva 3184	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = [𝑥] ∼ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = {𝑥}))
16	15	abbidv 2826	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = [𝑥] ∼ } = {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = {𝑥}})
17	1, 10, 16	3eqtr3a 2819	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (Base‘𝑈) = {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = {𝑥}})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  {csn 4584  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  [cec 8694   / cqs 8695  Basecbs 17301  0_gc0g 17524   /_s cqus 17591  Grpcgrp 19057   ~_QG cqg 19245

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-0g 17526  df-imas 17594  df-qus 17595  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-subg 19246  df-eqg 19248

This theorem is used by: (None)