Theorem qus0subgbas 19106

Description: The base set of a quotient of a group by the trivial (zero) subgroup. (Contributed by AV, 26-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qus0subg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
qus0subg.s	⊢ 𝑆 = { 0 }
qus0subg.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
qus0subg.u	⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
qus0subg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
qus0subgbas	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (Base‘𝑈) = {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = {𝑥}})

Distinct variable groups:   𝑢,𝐵,𝑥   𝑢,𝐺,𝑥   𝑢, ∼ ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑢)   𝑈(𝑥,𝑢)   0 (𝑥,𝑢)

Proof of Theorem qus0subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-qs 8654	. 2 ⊢ (𝐵 / ∼ ) = {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = [𝑥] ∼ }
2		qus0subg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑈 = (𝐺 /s ∼ ))
4		qus0subg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 = (Base‘𝐺))
6		qus0subg.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
7	6	ovexi 7403	. . . 4 ⊢ ∼ ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∼ ∈ V)
9		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
10	3, 5, 8, 9	qusbas 17484	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐵 / ∼ ) = (Base‘𝑈))
11		qus0subg.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12		qus0subg.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = { 0 }
13	11, 12, 4, 6	eqg0subgecsn 19105	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = {𝑥})
14	13	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑢 = [𝑥] ∼ ↔ 𝑢 = {𝑥}))
15	14	rexbidva 3155	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = [𝑥] ∼ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = {𝑥}))
16	15	abbidv 2795	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = [𝑥] ∼ } = {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = {𝑥}})
17	1, 10, 16	3eqtr3a 2788	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (Base‘𝑈) = {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = {𝑥}})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∃wrex 3053  Vcvv 3444  {csn 4585  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  [cec 8646   / cqs 8647  Basecbs 17155  0_gc0g 17378   /_s cqus 17444  Grpcgrp 18841   ~_QG cqg 19030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-0g 17380  df-imas 17447  df-qus 17448  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-subg 19031  df-eqg 19033

This theorem is referenced by: (None)