Theorem qus0subgbas 19070

Description: The base set of a quotient of a group by the trivial (zero) subgroup. (Contributed by AV, 26-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qus0subg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
qus0subg.s	⊢ 𝑆 = { 0 }
qus0subg.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
qus0subg.u	⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
qus0subg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
qus0subgbas	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (Base‘𝑈) = {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = {𝑥}})

Distinct variable groups:   𝑢,𝐵,𝑥   𝑢,𝐺,𝑥   𝑢, ∼ ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑢)   𝑈(𝑥,𝑢)   0 (𝑥,𝑢)

Proof of Theorem qus0subgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-qs 8706	. 2 ⊢ (𝐵 / ∼ ) = {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = [𝑥] ∼ }
2		qus0subg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑈 = (𝐺 /s ∼ ))
4		qus0subg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 = (Base‘𝐺))
6		qus0subg.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
7	6	ovexi 7440	. . . 4 ⊢ ∼ ∈ V
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∼ ∈ V)
9		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
10	3, 5, 8, 9	qusbas 17488	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐵 / ∼ ) = (Base‘𝑈))
11		qus0subg.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
12		qus0subg.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = { 0 }
13	11, 12, 4, 6	eqg0subgecsn 19069	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → [𝑥] ∼ = {𝑥})
14	13	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑢 = [𝑥] ∼ ↔ 𝑢 = {𝑥}))
15	14	rexbidva 3177	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = [𝑥] ∼ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = {𝑥}))
16	15	abbidv 2802	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = [𝑥] ∼ } = {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = {𝑥}})
17	1, 10, 16	3eqtr3a 2797	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (Base‘𝑈) = {𝑢 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑢 = {𝑥}})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  ∃wrex 3071  Vcvv 3475  {csn 4628  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  [cec 8698   / cqs 8699  Basecbs 17141  0_gc0g 17382   /_s cqus 17448  Grpcgrp 18816   ~_QG cqg 18997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-0g 17384  df-imas 17451  df-qus 17452  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-subg 18998  df-eqg 19000

This theorem is referenced by: (None)