Theorem eupth2lem3lem1 27761

Description: Lemma for eupth2lem3 27769. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlsegvdeg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
trlsegvdeg.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
eupth2lem3lem1	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem eupth2lem3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlsegvdeg.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		trlsegvdeg.vx	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
3	1, 2	eleqtrrd 2869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Vtx‘𝑋))
4	3	elfvexd 6536	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
5		trlsegvdeg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		trlsegvdeg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7		trlsegvdeg.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
8		trlsegvdeg.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9		trlsegvdeg.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
10		trlsegvdeg.vy	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
11		trlsegvdeg.vz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
12		trlsegvdeg.ix	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
13		trlsegvdeg.iy	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
14		trlsegvdeg.iz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
15	5, 6, 7, 8, 1, 9, 2, 10, 11, 12, 13, 14	trlsegvdeglem6 27758	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) ∈ Fin)
16		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑋) = (Vtx‘𝑋)
17		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑋) = (iEdg‘𝑋)
18		eqid 2778	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝑋) = dom (iEdg‘𝑋)
19	16, 17, 18	vtxdgfisf 26964	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ dom (iEdg‘𝑋) ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝑋):(Vtx‘𝑋)⟶ℕ0)
20	4, 15, 19	syl2anc 576	. 2 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝑋):(Vtx‘𝑋)⟶ℕ0)
21	20, 3	ffvelrnd 6679	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3415  {csn 4442  ⟨cop 4448   class class class wbr 4930  dom cdm 5408   ↾ cres 5410   “ cima 5411  Fun wfun 6184  ⟶wf 6186  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  Fincfn 8308  0cc0 10337  ℕ₀cn0 11710  ...cfz 12711  ..^cfzo 12852  ♯chash 13508  Vtxcvtx 26487  iEdgciedg 26488  VtxDegcvtxdg 26953  Trailsctrls 27181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-ifp 1044  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-er 8091  df-map 8210  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-n0 11711  df-xnn0 11783  df-z 11797  df-uz 12062  df-xadd 12328  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-hash 13509  df-word 13676  df-vtxdg 26954  df-wlks 27087  df-trls 27183

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3  27763  eupth2lem3lem4  27764  eupth2lem3lem6  27766