MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdgfisf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdgfisf 29494
Description: The vertex degree function on graphs of finite size is a function from vertices to nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdgf.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdg0e.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgfisnn0.a 𝐴 = dom 𝐼
Assertion
Ref Expression
vtxdgfisf ((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)

Proof of Theorem vtxdgfisf
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdgf.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21vtxdgf 29489 . . . 4 (𝐺𝑊 → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0*)
32adantr 480 . . 3 ((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0*)
43ffnd 6737 . 2 ((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝐺) Fn 𝑉)
5 vtxdg0e.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
6 vtxdgfisnn0.a . . . . 5 𝐴 = dom 𝐼
71, 5, 6vtxdgfisnn0 29493 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0)
87adantll 714 . . 3 (((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑢𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0)
98ralrimiva 3146 . 2 ((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑢𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0)
10 ffnfv 7139 . 2 ((VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0 ↔ ((VtxDeg‘𝐺) Fn 𝑉 ∧ ∀𝑢𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0))
114, 9, 10sylanbrc 583 1 ((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  dom cdm 5685   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  Fincfn 8985  0cn0 12526  0*cxnn0 12599  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  VtxDegcvtxdg 29483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-hash 14370  df-vtxdg 29484
This theorem is referenced by:  vtxdgfusgrf  29515  eupth2lem3lem1  30247  eupth2lem3lem2  30248
  Copyright terms: Public domain W3C validator