MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdgfisf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vtxdgfisf 29168
Description: The vertex degree function on graphs of finite size is a function from vertices to nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdgf.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vtxdg0e.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
vtxdgfisnn0.a 𝐴 = dom 𝐼
Assertion
Ref Expression
vtxdgfisf ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (VtxDegβ€˜πΊ):π‘‰βŸΆβ„•0)
Proof of Theorem vtxdgfisf
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdgf.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
21vtxdgf 29163 . . . 4 (𝐺 ∈ π‘Š β†’ (VtxDegβ€˜πΊ):π‘‰βŸΆβ„•0*)
32adantr 480 . . 3 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (VtxDegβ€˜πΊ):π‘‰βŸΆβ„•0*)
43ffnd 6708 . 2 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (VtxDegβ€˜πΊ) Fn 𝑉)
5 vtxdg0e.i . . . . 5 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
6 vtxdgfisnn0.a . . . . 5 𝐴 = dom 𝐼
71, 5, 6vtxdgfisnn0 29167 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) ∈ β„•0)
87adantll 711 . . 3 (((𝐺 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) ∈ β„•0)
98ralrimiva 3138 . 2 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) ∈ β„•0)
10 ffnfv 7110 . 2 ((VtxDegβ€˜πΊ):π‘‰βŸΆβ„•0 ↔ ((VtxDegβ€˜πΊ) Fn 𝑉 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) ∈ β„•0))
114, 9, 10sylanbrc 582 1 ((𝐺 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 ∈ Fin) β†’ (VtxDegβ€˜πΊ):π‘‰βŸΆβ„•0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  dom cdm 5666   Fn wfn 6528  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  Fincfn 8934  β„•0cn0 12468  β„•0*cxnn0 12540  Vtxcvtx 28691  iEdgciedg 28692  VtxDegcvtxdg 29157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-xadd 13089  df-hash 14287  df-vtxdg 29158
This theorem is referenced by:  vtxdgfusgrf  29189  eupth2lem3lem1  29916  eupth2lem3lem2  29917
  Copyright terms: Public domain W3C validator