MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdgfisf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdgfisf 29509
Description: The vertex degree function on graphs of finite size is a function from vertices to nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdgf.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdg0e.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgfisnn0.a 𝐴 = dom 𝐼
Assertion
Ref Expression
vtxdgfisf ((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)

Proof of Theorem vtxdgfisf
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdgf.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21vtxdgf 29504 . . . 4 (𝐺𝑊 → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0*)
32adantr 480 . . 3 ((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0*)
43ffnd 6738 . 2 ((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝐺) Fn 𝑉)
5 vtxdg0e.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
6 vtxdgfisnn0.a . . . . 5 𝐴 = dom 𝐼
71, 5, 6vtxdgfisnn0 29508 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑢𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0)
87adantll 714 . . 3 (((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑢𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0)
98ralrimiva 3144 . 2 ((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑢𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0)
10 ffnfv 7139 . 2 ((VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0 ↔ ((VtxDeg‘𝐺) Fn 𝑉 ∧ ∀𝑢𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑢) ∈ ℕ0))
114, 9, 10sylanbrc 583 1 ((𝐺𝑊𝐴 ∈ Fin) → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  dom cdm 5689   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  Fincfn 8984  0cn0 12524  0*cxnn0 12597  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  VtxDegcvtxdg 29498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-xadd 13153  df-hash 14367  df-vtxdg 29499
This theorem is referenced by:  vtxdgfusgrf  29530  eupth2lem3lem1  30257  eupth2lem3lem2  30258
  Copyright terms: Public domain W3C validator