Theorem expevenpos 33188

Description: Even powers are positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expevenpos.mmp.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expevenpos.mmp.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
expevenpos.mmp.3	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
expevenpos	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem expevenpos

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expevenpos.mmp.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	resqcld 14166	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 𝑝 ∈ ℕ0)
5	2	sqge0d 14178	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 0 ≤ (𝐴↑2))
6	3, 4, 5	expge0d 14205	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 0 ≤ ((𝐴↑2)↑𝑝))
7		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (2 · 𝑝) = 𝑁)
8	7	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑(2 · 𝑝)) = (𝐴↑𝑁))
9	2	recnd 11241	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		2nn0 12525	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
12	9, 4, 11	expmuld 14190	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑(2 · 𝑝)) = ((𝐴↑2)↑𝑝))
13	8, 12	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑𝑁) = ((𝐴↑2)↑𝑝))
14	6, 13	breqtrrd 5139	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
15		expevenpos.mmp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		expevenpos.mmp.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝑁)
17		evennn02n 16412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ0 (2 · 𝑝) = 𝑁))
18	17	biimpa 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℕ0 (2 · 𝑝) = 𝑁)
19	15, 16, 18	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℕ0 (2 · 𝑝) = 𝑁)
20	14, 19	r19.29a 3173	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  0cc0 11104   · cmul 11109   ≤ cle 11248  2c2 12299  ℕ₀cn0 12508  ↑cexp 14102   ∥ cdvds 16314

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-seq 14043  df-exp 14103  df-dvds 16315

This theorem is used by:  oexpled  33189