Theorem expevenpos 32762

Description: Even powers are positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expevenpos.mmp.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expevenpos.mmp.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
expevenpos.mmp.3	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
expevenpos	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem expevenpos

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expevenpos.mmp.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	resqcld 14133	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 𝑝 ∈ ℕ0)
5	2	sqge0d 14145	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 0 ≤ (𝐴↑2))
6	3, 4, 5	expge0d 14172	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 0 ≤ ((𝐴↑2)↑𝑝))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (2 · 𝑝) = 𝑁)
8	7	oveq2d 7416	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑(2 · 𝑝)) = (𝐴↑𝑁))
9	2	recnd 11256	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		2nn0 12511	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
12	9, 4, 11	expmuld 14157	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑(2 · 𝑝)) = ((𝐴↑2)↑𝑝))
13	8, 12	eqtr3d 2771	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑𝑁) = ((𝐴↑2)↑𝑝))
14	6, 13	breqtrrd 5145	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
15		expevenpos.mmp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		expevenpos.mmp.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝑁)
17		evennn02n 16356	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ0 (2 · 𝑝) = 𝑁))
18	17	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℕ0 (2 · 𝑝) = 𝑁)
19	15, 16, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℕ0 (2 · 𝑝) = 𝑁)
20	14, 19	r19.29a 3146	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059   class class class wbr 5117  (class class class)co 7400  ℝcr 11121  0cc0 11122   · cmul 11127   ≤ cle 11263  2c2 12288  ℕ₀cn0 12494  ↑cexp 14069   ∥ cdvds 16259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8714  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-2 12296  df-n0 12495  df-z 12582  df-uz 12846  df-rp 13002  df-seq 14010  df-exp 14070  df-dvds 16260

This theorem is referenced by:  oexpled  32763