Theorem expevenpos 32777

Description: Even powers are positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expevenpos.mmp.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expevenpos.mmp.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
expevenpos.mmp.3	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
expevenpos	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem expevenpos

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expevenpos.mmp.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	resqcld 14096	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 𝑝 ∈ ℕ0)
5	2	sqge0d 14108	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 0 ≤ (𝐴↑2))
6	3, 4, 5	expge0d 14135	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 0 ≤ ((𝐴↑2)↑𝑝))
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (2 · 𝑝) = 𝑁)
8	7	oveq2d 7405	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑(2 · 𝑝)) = (𝐴↑𝑁))
9	2	recnd 11208	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		2nn0 12465	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
12	9, 4, 11	expmuld 14120	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑(2 · 𝑝)) = ((𝐴↑2)↑𝑝))
13	8, 12	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑𝑁) = ((𝐴↑2)↑𝑝))
14	6, 13	breqtrrd 5137	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
15		expevenpos.mmp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		expevenpos.mmp.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝑁)
17		evennn02n 16326	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ0 (2 · 𝑝) = 𝑁))
18	17	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℕ0 (2 · 𝑝) = 𝑁)
19	15, 16, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℕ0 (2 · 𝑝) = 𝑁)
20	14, 19	r19.29a 3142	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389  ℝcr 11073  0cc0 11074   · cmul 11079   ≤ cle 11215  2c2 12242  ℕ₀cn0 12448  ↑cexp 14032   ∥ cdvds 16228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-seq 13973  df-exp 14033  df-dvds 16229

This theorem is referenced by:  oexpled  32778