Theorem expevenpos 33254

Description: Even powers are positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expevenpos.mmp.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expevenpos.mmp.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
expevenpos.mmp.3	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
expevenpos	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem expevenpos

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expevenpos.mmp.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	resqcld 14184	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 𝑝 ∈ ℕ0)
5	2	sqge0d 14196	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 0 ≤ (𝐴↑2))
6	3, 4, 5	expge0d 14223	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 0 ≤ ((𝐴↑2)↑𝑝))
7		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (2 · 𝑝) = 𝑁)
8	7	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑(2 · 𝑝)) = (𝐴↑𝑁))
9	2	recnd 11257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		2nn0 12541	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
12	9, 4, 11	expmuld 14208	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑(2 · 𝑝)) = ((𝐴↑2)↑𝑝))
13	8, 12	eqtr3d 2802	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑𝑁) = ((𝐴↑2)↑𝑝))
14	6, 13	breqtrrd 5141	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
15		expevenpos.mmp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		expevenpos.mmp.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝑁)
17		evennn02n 16435	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ0 (2 · 𝑝) = 𝑁))
18	17	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℕ0 (2 · 𝑝) = 𝑁)
19	15, 16, 18	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℕ0 (2 · 𝑝) = 𝑁)
20	14, 19	r19.29a 3175	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  (class class class)co 7420  ℝcr 11119  0cc0 11120   · cmul 11125   ≤ cle 11264  2c2 12315  ℕ₀cn0 12524  ↑cexp 14120   ∥ cdvds 16337

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12884  df-rp 13038  df-seq 14061  df-exp 14121  df-dvds 16338

This theorem is used by:  oexpled  33255