Theorem expevenpos 32942

Description: Even powers are positive. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expevenpos.mmp.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expevenpos.mmp.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
expevenpos.mmp.3	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
expevenpos	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))

Proof of Theorem expevenpos

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expevenpos.mmp.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	ad2antrr 733	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	resqcld 14082	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4		simplr 775	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 𝑝 ∈ ℕ0)
5	2	sqge0d 14094	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 0 ≤ (𝐴↑2))
6	3, 4, 5	expge0d 14121	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 0 ≤ ((𝐴↑2)↑𝑝))
7		simpr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (2 · 𝑝) = 𝑁)
8	7	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑(2 · 𝑝)) = (𝐴↑𝑁))
9	2	recnd 11168	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		2nn0 12449	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
12	9, 4, 11	expmuld 14106	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑(2 · 𝑝)) = ((𝐴↑2)↑𝑝))
13	8, 12	eqtr3d 2778	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → (𝐴↑𝑁) = ((𝐴↑2)↑𝑝))
14	6, 13	breqtrrd 5103	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℕ0) ∧ (2 · 𝑝) = 𝑁) → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))
15		expevenpos.mmp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		expevenpos.mmp.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝑁)
17		evennn02n 16314	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ0 (2 · 𝑝) = 𝑁))
18	17	biimpa 478	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℕ0 (2 · 𝑝) = 𝑁)
19	15, 16, 18	syl2anc 591	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℕ0 (2 · 𝑝) = 𝑁)
20	14, 19	r19.29a 3149	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065   class class class wbr 5075  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  0cc0 11033   · cmul 11038   ≤ cle 11175  2c2 12231  ℕ₀cn0 12432  ↑cexp 14018   ∥ cdvds 16216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-dvds 16217

This theorem is referenced by:  oexpled  32943