Theorem 2exple2exp 32777

Description: If a nonnegative integer 𝑋 is a multiple of a power of two, but less than the next power of two, it is itself a power of two. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2exple2exp.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
2exple2exp.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
2exple2exp.3	⊢ (𝜑 → (2↑𝐾) ∥ 𝑋)
2exple2exp.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (2↑(𝐾 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
2exple2exp	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = (2↑𝑛))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛

Proof of Theorem 2exple2exp

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7398	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (2↑𝑛) = (2↑𝐾))
2	1	eqeq2d 2741	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑋 = (2↑𝑛) ↔ 𝑋 = (2↑𝐾)))
3		2exple2exp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
5		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12510	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ∈ ℕ0)
7		2nn 12266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
9	8, 3	nnexpcld 14217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐾) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐾) ∈ ℂ)
11	10	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (2↑𝐾) ∈ ℂ)
12	5	nncnd 12209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ∈ ℂ)
13	11, 12	mulcomd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → ((2↑𝐾) · 𝑚) = (𝑚 · (2↑𝐾)))
14		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋)
15		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1)))
16		2cnd 12271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 2 ∈ ℂ)
17	3	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝐾 ∈ ℕ0)
18	16, 17	expp1d 14119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (2↑(𝐾 + 1)) = ((2↑𝐾) · 2))
19	15, 18	breqtrd 5136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑋 < ((2↑𝐾) · 2))
20	14, 19	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (𝑚 · (2↑𝐾)) < ((2↑𝐾) · 2))
21	13, 20	eqbrtrd 5132	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → ((2↑𝐾) · 𝑚) < ((2↑𝐾) · 2))
22	5	nnred 12208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ∈ ℝ)
23		2re 12267	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 2 ∈ ℝ)
25	9	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (2↑𝐾) ∈ ℕ)
26	25	nnrpd 13000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (2↑𝐾) ∈ ℝ+)
27	22, 24, 26	ltmul2d 13044	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (𝑚 < 2 ↔ ((2↑𝐾) · 𝑚) < ((2↑𝐾) · 2)))
28	21, 27	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 < 2)
29	5	nnne0d 12243	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ≠ 0)
30	29	neneqd 2931	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → ¬ 𝑚 = 0)
31		nn0lt2 12604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < 2) → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 = 1))
32	31	orcanai 1004	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < 2) ∧ ¬ 𝑚 = 0) → 𝑚 = 1)
33	6, 28, 30, 32	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 = 1)
34	33	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (𝑚 · (2↑𝐾)) = (1 · (2↑𝐾)))
35	11	mullidd 11199	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (1 · (2↑𝐾)) = (2↑𝐾))
36	34, 14, 35	3eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑋 = (2↑𝐾))
37		2exple2exp.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
38		2exple2exp.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐾) ∥ 𝑋)
39		nndivides 16239	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((2↑𝐾) ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋))
40	39	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) ∧ (2↑𝐾) ∥ 𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋)
41	9, 37, 38, 40	syl21anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋)
42	41	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋)
43	36, 42	r19.29a 3142	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) → 𝑋 = (2↑𝐾))
44	2, 4, 43	rspcedvdw 3594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = (2↑𝑛))
45		oveq2 7398	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝐾 + 1) → (2↑𝑛) = (2↑(𝐾 + 1)))
46	45	eqeq2d 2741	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝐾 + 1) → (𝑋 = (2↑𝑛) ↔ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))))
47		peano2nn0 12489	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
48	3, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
49	48	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
50		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))) → 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1)))
51	46, 49, 50	rspcedvdw 3594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = (2↑𝑛))
52	37	nnred 12208	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
53	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
54	53, 48	reexpcld 14135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
55		2exple2exp.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (2↑(𝐾 + 1)))
56		leloe 11267	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ) → (𝑋 ≤ (2↑(𝐾 + 1)) ↔ (𝑋 < (2↑(𝐾 + 1)) ∨ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1)))))
57	56	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ≤ (2↑(𝐾 + 1))) → (𝑋 < (2↑(𝐾 + 1)) ∨ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))))
58	52, 54, 55, 57	syl21anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < (2↑(𝐾 + 1)) ∨ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))))
59	44, 51, 58	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = (2↑𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ↑cexp 14033   ∥ cdvds 16229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-dvds 16230

This theorem is referenced by:  fldext2rspun  33684