Theorem 2exple2exp 33289

Description: If a nonnegative integer 𝑋 is a multiple of a power of two, but less than the next power of two, it is itself a power of two. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2exple2exp.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
2exple2exp.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
2exple2exp.3	⊢ (𝜑 → (2↑𝐾) ∥ 𝑋)
2exple2exp.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (2↑(𝐾 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
2exple2exp	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = (2↑𝑛))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛

Proof of Theorem 2exple2exp

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7424	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (2↑𝑛) = (2↑𝐾))
2	1	eqeq2d 2773	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑋 = (2↑𝑛) ↔ 𝑋 = (2↑𝐾)))
3		2exple2exp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
5		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12590	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ∈ ℕ0)
7		2nn 12339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
9	8, 3	nnexpcld 14309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐾) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐾) ∈ ℂ)
11	10	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (2↑𝐾) ∈ ℂ)
12	5	nncnd 12274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ∈ ℂ)
13	11, 12	mulcomd 11255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → ((2↑𝐾) · 𝑚) = (𝑚 · (2↑𝐾)))
14		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋)
15		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1)))
16		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 2 ∈ ℂ)
17	3	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝐾 ∈ ℕ0)
18	16, 17	expp1d 14211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (2↑(𝐾 + 1)) = ((2↑𝐾) · 2))
19	15, 18	breqtrd 5135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑋 < ((2↑𝐾) · 2))
20	14, 19	eqbrtrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (𝑚 · (2↑𝐾)) < ((2↑𝐾) · 2))
21	13, 20	eqbrtrd 5131	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → ((2↑𝐾) · 𝑚) < ((2↑𝐾) · 2))
22	5	nnred 12273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ∈ ℝ)
23		2re 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 2 ∈ ℝ)
25	9	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (2↑𝐾) ∈ ℕ)
26	25	nnrpd 13084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (2↑𝐾) ∈ ℝ+)
27	22, 24, 26	ltmul2d 13128	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (𝑚 < 2 ↔ ((2↑𝐾) · 𝑚) < ((2↑𝐾) · 2)))
28	21, 27	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 < 2)
29	5	nnne0d 12311	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ≠ 0)
30	29	neneqd 2962	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → ¬ 𝑚 = 0)
31		nn0lt2 12685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < 2) → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 = 1))
32	31	orcanai 1018	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < 2) ∧ ¬ 𝑚 = 0) → 𝑚 = 1)
33	6, 28, 30, 32	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 = 1)
34	33	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (𝑚 · (2↑𝐾)) = (1 · (2↑𝐾)))
35	11	mullidd 11252	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (1 · (2↑𝐾)) = (2↑𝐾))
36	34, 14, 35	3eqtr3d 2805	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑋 = (2↑𝐾))
37		2exple2exp.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
38		2exple2exp.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐾) ∥ 𝑋)
39		nndivides 16354	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((2↑𝐾) ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋))
40	39	biimpa 482	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) ∧ (2↑𝐾) ∥ 𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋)
41	9, 37, 38, 40	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋)
42	41	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋)
43	36, 42	r19.29a 3172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) → 𝑋 = (2↑𝐾))
44	2, 4, 43	rspcedvdw 3582	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = (2↑𝑛))
45		oveq2 7424	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝐾 + 1) → (2↑𝑛) = (2↑(𝐾 + 1)))
46	45	eqeq2d 2773	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝐾 + 1) → (𝑋 = (2↑𝑛) ↔ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))))
47		peano2nn0 12569	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
48	3, 47	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
49	48	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
50		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))) → 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1)))
51	46, 49, 50	rspcedvdw 3582	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = (2↑𝑛))
52	37	nnred 12273	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
53	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
54	53, 48	reexpcld 14227	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
55		2exple2exp.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (2↑(𝐾 + 1)))
56		leloe 11321	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ) → (𝑋 ≤ (2↑(𝐾 + 1)) ↔ (𝑋 < (2↑(𝐾 + 1)) ∨ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1)))))
57	56	biimpa 482	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ≤ (2↑(𝐾 + 1))) → (𝑋 < (2↑(𝐾 + 1)) ∨ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))))
58	52, 54, 55, 57	syl21anc 851	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < (2↑(𝐾 + 1)) ∨ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))))
59	44, 51, 58	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = (2↑𝑛))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  ℂcc 11123  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130   < clt 11268   ≤ cle 11269  ℕcn 12258  2c2 12320  ℕ₀cn0 12529  ↑cexp 14125   ∥ cdvds 16344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-dvds 16345

This theorem is used by:  fldext2rspun  34177