Theorem 2exple2exp 32791

Description: If a nonnegative integer 𝑋 is a multiple of a power of two, but less than the next power of two, it is itself a power of two. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2exple2exp.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
2exple2exp.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
2exple2exp.3	⊢ (𝜑 → (2↑𝐾) ∥ 𝑋)
2exple2exp.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (2↑(𝐾 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
2exple2exp	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = (2↑𝑛))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛

Proof of Theorem 2exple2exp

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7357	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (2↑𝑛) = (2↑𝐾))
2	1	eqeq2d 2740	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑋 = (2↑𝑛) ↔ 𝑋 = (2↑𝐾)))
3		2exple2exp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
5		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12445	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ∈ ℕ0)
7		2nn 12201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
9	8, 3	nnexpcld 14152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐾) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐾) ∈ ℂ)
11	10	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (2↑𝐾) ∈ ℂ)
12	5	nncnd 12144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ∈ ℂ)
13	11, 12	mulcomd 11136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → ((2↑𝐾) · 𝑚) = (𝑚 · (2↑𝐾)))
14		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋)
15		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1)))
16		2cnd 12206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 2 ∈ ℂ)
17	3	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝐾 ∈ ℕ0)
18	16, 17	expp1d 14054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (2↑(𝐾 + 1)) = ((2↑𝐾) · 2))
19	15, 18	breqtrd 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑋 < ((2↑𝐾) · 2))
20	14, 19	eqbrtrd 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (𝑚 · (2↑𝐾)) < ((2↑𝐾) · 2))
21	13, 20	eqbrtrd 5114	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → ((2↑𝐾) · 𝑚) < ((2↑𝐾) · 2))
22	5	nnred 12143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ∈ ℝ)
23		2re 12202	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 2 ∈ ℝ)
25	9	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (2↑𝐾) ∈ ℕ)
26	25	nnrpd 12935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (2↑𝐾) ∈ ℝ+)
27	22, 24, 26	ltmul2d 12979	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (𝑚 < 2 ↔ ((2↑𝐾) · 𝑚) < ((2↑𝐾) · 2)))
28	21, 27	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 < 2)
29	5	nnne0d 12178	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ≠ 0)
30	29	neneqd 2930	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → ¬ 𝑚 = 0)
31		nn0lt2 12539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < 2) → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 = 1))
32	31	orcanai 1004	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < 2) ∧ ¬ 𝑚 = 0) → 𝑚 = 1)
33	6, 28, 30, 32	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 = 1)
34	33	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (𝑚 · (2↑𝐾)) = (1 · (2↑𝐾)))
35	11	mullidd 11133	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (1 · (2↑𝐾)) = (2↑𝐾))
36	34, 14, 35	3eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑋 = (2↑𝐾))
37		2exple2exp.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
38		2exple2exp.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐾) ∥ 𝑋)
39		nndivides 16173	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((2↑𝐾) ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋))
40	39	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) ∧ (2↑𝐾) ∥ 𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋)
41	9, 37, 38, 40	syl21anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋)
42	41	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋)
43	36, 42	r19.29a 3137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) → 𝑋 = (2↑𝐾))
44	2, 4, 43	rspcedvdw 3580	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = (2↑𝑛))
45		oveq2 7357	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝐾 + 1) → (2↑𝑛) = (2↑(𝐾 + 1)))
46	45	eqeq2d 2740	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝐾 + 1) → (𝑋 = (2↑𝑛) ↔ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))))
47		peano2nn0 12424	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
48	3, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
49	48	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
50		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))) → 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1)))
51	46, 49, 50	rspcedvdw 3580	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = (2↑𝑛))
52	37	nnred 12143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
53	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
54	53, 48	reexpcld 14070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
55		2exple2exp.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (2↑(𝐾 + 1)))
56		leloe 11202	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ) → (𝑋 ≤ (2↑(𝐾 + 1)) ↔ (𝑋 < (2↑(𝐾 + 1)) ∨ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1)))))
57	56	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ≤ (2↑(𝐾 + 1))) → (𝑋 < (2↑(𝐾 + 1)) ∨ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))))
58	52, 54, 55, 57	syl21anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < (2↑(𝐾 + 1)) ∨ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))))
59	44, 51, 58	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = (2↑𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℕcn 12128  2c2 12183  ℕ₀cn0 12384  ↑cexp 13968   ∥ cdvds 16163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-dvds 16164

This theorem is referenced by:  fldext2rspun  33655