Theorem 2exple2exp 32943

Description: If a nonnegative integer 𝑋 is a multiple of a power of two, but less than the next power of two, it is itself a power of two. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2exple2exp.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
2exple2exp.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
2exple2exp.3	⊢ (𝜑 → (2↑𝐾) ∥ 𝑋)
2exple2exp.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (2↑(𝐾 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
2exple2exp	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = (2↑𝑛))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛

Proof of Theorem 2exple2exp

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7378	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (2↑𝑛) = (2↑𝐾))
2	1	eqeq2d 2748	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑋 = (2↑𝑛) ↔ 𝑋 = (2↑𝐾)))
3		2exple2exp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
5		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12476	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ∈ ℕ0)
7		2nn 12232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
9	8, 3	nnexpcld 14182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐾) ∈ ℕ)
10	9	nncnd 12175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐾) ∈ ℂ)
11	10	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (2↑𝐾) ∈ ℂ)
12	5	nncnd 12175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ∈ ℂ)
13	11, 12	mulcomd 11167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → ((2↑𝐾) · 𝑚) = (𝑚 · (2↑𝐾)))
14		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋)
15		simpllr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1)))
16		2cnd 12237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 2 ∈ ℂ)
17	3	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝐾 ∈ ℕ0)
18	16, 17	expp1d 14084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (2↑(𝐾 + 1)) = ((2↑𝐾) · 2))
19	15, 18	breqtrd 5126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑋 < ((2↑𝐾) · 2))
20	14, 19	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (𝑚 · (2↑𝐾)) < ((2↑𝐾) · 2))
21	13, 20	eqbrtrd 5122	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → ((2↑𝐾) · 𝑚) < ((2↑𝐾) · 2))
22	5	nnred 12174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ∈ ℝ)
23		2re 12233	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 2 ∈ ℝ)
25	9	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (2↑𝐾) ∈ ℕ)
26	25	nnrpd 12961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (2↑𝐾) ∈ ℝ+)
27	22, 24, 26	ltmul2d 13005	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (𝑚 < 2 ↔ ((2↑𝐾) · 𝑚) < ((2↑𝐾) · 2)))
28	21, 27	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 < 2)
29	5	nnne0d 12209	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 ≠ 0)
30	29	neneqd 2938	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → ¬ 𝑚 = 0)
31		nn0lt2 12569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < 2) → (𝑚 = 0 ∨ 𝑚 = 1))
32	31	orcanai 1005	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 < 2) ∧ ¬ 𝑚 = 0) → 𝑚 = 1)
33	6, 28, 30, 32	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑚 = 1)
34	33	oveq1d 7385	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (𝑚 · (2↑𝐾)) = (1 · (2↑𝐾)))
35	11	mullidd 11164	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → (1 · (2↑𝐾)) = (2↑𝐾))
36	34, 14, 35	3eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋) → 𝑋 = (2↑𝐾))
37		2exple2exp.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ)
38		2exple2exp.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐾) ∥ 𝑋)
39		nndivides 16203	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → ((2↑𝐾) ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋))
40	39	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) ∧ (2↑𝐾) ∥ 𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋)
41	9, 37, 38, 40	syl21anc 838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋)
42	41	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · (2↑𝐾)) = 𝑋)
43	36, 42	r19.29a 3146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) → 𝑋 = (2↑𝐾))
44	2, 4, 43	rspcedvdw 3581	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < (2↑(𝐾 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = (2↑𝑛))
45		oveq2 7378	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝐾 + 1) → (2↑𝑛) = (2↑(𝐾 + 1)))
46	45	eqeq2d 2748	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝐾 + 1) → (𝑋 = (2↑𝑛) ↔ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))))
47		peano2nn0 12455	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
48	3, 47	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
49	48	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
50		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))) → 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1)))
51	46, 49, 50	rspcedvdw 3581	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = (2↑𝑛))
52	37	nnred 12174	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
53	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
54	53, 48	reexpcld 14100	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ)
55		2exple2exp.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ (2↑(𝐾 + 1)))
56		leloe 11233	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ) → (𝑋 ≤ (2↑(𝐾 + 1)) ↔ (𝑋 < (2↑(𝐾 + 1)) ∨ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1)))))
57	56	biimpa 476	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝐾 + 1)) ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ≤ (2↑(𝐾 + 1))) → (𝑋 < (2↑(𝐾 + 1)) ∨ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))))
58	52, 54, 55, 57	syl21anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < (2↑(𝐾 + 1)) ∨ 𝑋 = (2↑(𝐾 + 1))))
59	44, 51, 58	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = (2↑𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   · cmul 11045   < clt 11180   ≤ cle 11181  ℕcn 12159  2c2 12214  ℕ₀cn0 12415  ↑cexp 13998   ∥ cdvds 16193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-seq 13939  df-exp 13999  df-dvds 16194

This theorem is referenced by:  fldext2rspun  33866