Theorem expmuld 14152

Description: Product of exponents law for positive integer exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
expaddd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expmuld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem expmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expaddd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		expmul 14110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1386	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  (class class class)co 7385  ℂcc 11061   · cmul 11068  ℕ₀cn0 12471  ↑cexp 14064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-seq 14005  df-exp 14065

This theorem is referenced by:  oexpneg  16355  odzdvds  16807  prmreclem6  16933  aaliou3lem8  26379  cxpeq  26792  cubic2  26883  dquart  26888  basellem3  27117  chtublem  27245  mersenne  27261  lgslem1  27331  lgsqrlem2  27381  lgseisenlem4  27412  chebbnd1lem3  27505  dchrisum0flblem1  27542  dchrisum0flblem2  27543  expevenpos  32991  aks4d1p1p2  42635  dffltz  43164  flt4lem  43175  3cubeslem3l  43215  3cubeslem3r  43216  jm2.22  43520  stoweidlem1  46523  stirlinglem3  46598  stirlinglem10  46605  etransclem23  46779  sin5tlem2  47416  sqrtpwpw2p  48095  fmtnorec2lem  48099  fmtnorec4  48106  2pwp1prm  48146  sfprmdvdsmersenne  48160  lighneallem2  48163  proththd  48171  oexpnegALTV  48247