Theorem fac4 13684

Description: The factorial of 4. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fac4	⊢ (!‘4) = ;24

Proof of Theorem fac4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 11945	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		facp1 13681	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
4		3p1e4 11812	. . 3 ⊢ (3 + 1) = 4
5	4	fveq2i 6662	. 2 ⊢ (!‘(3 + 1)) = (!‘4)
6		fac3 13683	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
7	6, 4	oveq12i 7163	. . 3 ⊢ ((!‘3) · (3 + 1)) = (6 · 4)
8		6t4e24 12236	. . 3 ⊢ (6 · 4) = ;24
9	7, 8	eqtri 2782	. 2 ⊢ ((!‘3) · (3 + 1)) = ;24
10	3, 5, 9	3eqtr3i 2790	1 ⊢ (!‘4) = ;24

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  1c1 10569   + caddc 10571   · cmul 10573  2c2 11722  3c3 11723  4c4 11724  6c6 11726  ℕ₀cn0 11927  ;cdc 12130  !cfa 13676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-seq 13412  df-fac 13677

This theorem is referenced by:  2expltfac  16477  ex-fac  28328