Theorem ex-fac 30745

Description: Example for df-fac 14312. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12308	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6887	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 12525	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 14316	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2792	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 14319	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 12388	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 7425	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 12526	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 12523	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 12521	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 12522	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 12331	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 12318	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 12818	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 11220	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addlidi 11400	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 12778	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 12328	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 12820	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 11220	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 12783	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2792	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2792	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  0cc0 11102  1c1 11103   + caddc 11105   · cmul 11107  2c2 12297  4c4 12299  5c5 12300  ℕ₀cn0 12506  ;cdc 12713  !cfa 14311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-seq 14040  df-fac 14312

This theorem is referenced by: (None)