Theorem ex-fac 30934

Description: Example for df-fac 14341. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12333	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6882	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 12550	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 14345	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2783	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 14348	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 12413	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 7426	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 12551	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 12548	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 12546	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 12547	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 12356	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 12343	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 12844	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 11245	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addlidi 11425	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 12804	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 12353	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 12846	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 11245	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 12809	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2783	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2783	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132  2c2 12322  4c4 12324  5c5 12325  ℕ₀cn0 12531  ;cdc 12739  !cfa 14340

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-seq 14069  df-fac 14341

This theorem is used by: (None)