MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-fac 27922
Description: Example for df-fac 13484. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-fac (!‘5) = 120

Proof of Theorem ex-fac
StepHypRef Expression
1 df-5 11551 . . . 4 5 = (4 + 1)
21fveq2i 6541 . . 3 (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3 4nn0 11764 . . . 4 4 ∈ ℕ0
4 facp1 13488 . . . 4 (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
53, 4ax-mp 5 . . 3 (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
62, 5eqtri 2819 . 2 (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7 fac4 13491 . . . 4 (!‘4) = 24
8 4p1e5 11631 . . . 4 (4 + 1) = 5
97, 8oveq12i 7028 . . 3 ((!‘4) · (4 + 1)) = (24 · 5)
10 5nn0 11765 . . . 4 5 ∈ ℕ0
11 2nn0 11762 . . . 4 2 ∈ ℕ0
12 eqid 2795 . . . 4 24 = 24
13 0nn0 11760 . . . 4 0 ∈ ℕ0
14 1nn0 11761 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
15 5cn 11573 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
16 2cn 11560 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
17 5t2e10 12048 . . . . . 6 (5 · 2) = 10
1815, 16, 17mulcomli 10496 . . . . 5 (2 · 5) = 10
1916addid2i 10675 . . . . 5 (0 + 2) = 2
2014, 13, 11, 18, 19decaddi 12007 . . . 4 ((2 · 5) + 2) = 12
21 4cn 11570 . . . . 5 4 ∈ ℂ
22 5t4e20 12050 . . . . 5 (5 · 4) = 20
2315, 21, 22mulcomli 10496 . . . 4 (4 · 5) = 20
2410, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23decmul1c 12013 . . 3 (24 · 5) = 120
259, 24eqtri 2819 . 2 ((!‘4) · (4 + 1)) = 120
266, 25eqtri 2819 1 (!‘5) = 120
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1522  wcel 2081  cfv 6225  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  2c2 11540  4c4 11542  5c5 11543  0cn0 11745  cdc 11947  !cfa 13483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-seq 13220  df-fac 13484
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator