Theorem ex-fac 28335

Description: Example for df-fac 13684. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 11740	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6661	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 11953	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 13688	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2781	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 13691	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 11820	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 7162	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 11954	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 11951	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2758	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 11949	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 11950	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 11762	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 11749	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 12237	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 10688	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addid2i 10866	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 12197	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 11759	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 12239	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 10688	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 12202	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2781	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2781	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580  2c2 11729  4c4 11731  5c5 11732  ℕ₀cn0 11934  ;cdc 12137  !cfa 13683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-seq 13419  df-fac 13684

This theorem is referenced by: (None)