Theorem ex-fac 30539

Description: Example for df-fac 14230. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12241	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6838	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 12450	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 14234	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2760	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 14237	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 12316	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 7373	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 12451	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 12448	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 12446	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 12447	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 12263	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 12250	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 12738	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 11148	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addlidi 11328	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 12698	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 12260	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 12740	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 11148	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 12703	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2760	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2760	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037  2c2 12230  4c4 12232  5c5 12233  ℕ₀cn0 12431  ;cdc 12638  !cfa 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-seq 13958  df-fac 14230

This theorem is referenced by: (None)