Theorem ex-fac 27922

Description: Example for df-fac 13484. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 11551	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6541	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 11764	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 13488	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2819	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 13491	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 11631	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 7028	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 11765	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 11762	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2795	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 11760	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 11761	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 11573	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 11560	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 12048	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 10496	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addid2i 10675	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 12007	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 11570	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 12050	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 10496	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 12013	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2819	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2819	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  2c2 11540  4c4 11542  5c5 11543  ℕ₀cn0 11745  ;cdc 11947  !cfa 13483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-seq 13220  df-fac 13484

This theorem is referenced by: (None)