Theorem ex-fac 30802

Description: Example for df-fac 14306. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12301	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6884	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 12518	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 14310	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2786	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 14313	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 12381	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 7422	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 12519	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 12516	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 12514	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 12515	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 12324	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 12311	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 12811	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 11213	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addlidi 11393	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 12771	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 12321	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 12813	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 11213	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 12776	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2786	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2786	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  2c2 12290  4c4 12292  5c5 12293  ℕ₀cn0 12499  ;cdc 12706  !cfa 14305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-seq 14034  df-fac 14306

This theorem is referenced by: (None)