MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-fac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-fac 29693
Description: Example for df-fac 14230. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-fac (!‘5) = 120

Proof of Theorem ex-fac
StepHypRef Expression
1 df-5 12274 . . . 4 5 = (4 + 1)
21fveq2i 6891 . . 3 (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3 4nn0 12487 . . . 4 4 ∈ ℕ0
4 facp1 14234 . . . 4 (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
53, 4ax-mp 5 . . 3 (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
62, 5eqtri 2760 . 2 (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7 fac4 14237 . . . 4 (!‘4) = 24
8 4p1e5 12354 . . . 4 (4 + 1) = 5
97, 8oveq12i 7417 . . 3 ((!‘4) · (4 + 1)) = (24 · 5)
10 5nn0 12488 . . . 4 5 ∈ ℕ0
11 2nn0 12485 . . . 4 2 ∈ ℕ0
12 eqid 2732 . . . 4 24 = 24
13 0nn0 12483 . . . 4 0 ∈ ℕ0
14 1nn0 12484 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
15 5cn 12296 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
16 2cn 12283 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
17 5t2e10 12773 . . . . . 6 (5 · 2) = 10
1815, 16, 17mulcomli 11219 . . . . 5 (2 · 5) = 10
1916addlidi 11398 . . . . 5 (0 + 2) = 2
2014, 13, 11, 18, 19decaddi 12733 . . . 4 ((2 · 5) + 2) = 12
21 4cn 12293 . . . . 5 4 ∈ ℂ
22 5t4e20 12775 . . . . 5 (5 · 4) = 20
2315, 21, 22mulcomli 11219 . . . 4 (4 · 5) = 20
2410, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23decmul1c 12738 . . 3 (24 · 5) = 120
259, 24eqtri 2760 . 2 ((!‘4) · (4 + 1)) = 120
266, 25eqtri 2760 1 (!‘5) = 120
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  2c2 12263  4c4 12265  5c5 12266  0cn0 12468  cdc 12673  !cfa 14229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-seq 13963  df-fac 14230
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator