Theorem ex-fac 29693

Description: Example for df-fac 14230. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12274	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6891	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 12487	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 14234	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2760	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 14237	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 12354	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 7417	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 12488	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 12485	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 12483	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 12484	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 12296	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 12283	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 12773	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 11219	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addlidi 11398	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 12733	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 12293	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 12775	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 11219	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 12738	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2760	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2760	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  2c2 12263  4c4 12265  5c5 12266  ℕ₀cn0 12468  ;cdc 12673  !cfa 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-seq 13963  df-fac 14230

This theorem is referenced by: (None)