Theorem ex-fac 30382

Description: Example for df-fac 14169. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12182	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6819	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 12391	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 14173	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2752	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 14176	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 12257	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 7352	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 12392	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 12389	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 12387	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 12388	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 12204	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 12191	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 12679	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 11112	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addlidi 11292	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 12639	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 12201	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 12681	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 11112	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 12644	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2752	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2752	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  0cc0 10997  1c1 10998   + caddc 11000   · cmul 11002  2c2 12171  4c4 12173  5c5 12174  ℕ₀cn0 12372  ;cdc 12579  !cfa 14168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-seq 13897  df-fac 14169

This theorem is referenced by: (None)