Theorem ex-fac 29704

Description: Example for df-fac 14234. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fac	⊢ (!‘5) = ;;120

Proof of Theorem ex-fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 12278	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
2	1	fveq2i 6895	. . 3 ⊢ (!‘5) = (!‘(4 + 1))
3		4nn0 12491	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		facp1 14238	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (!‘(4 + 1)) = ((!‘4) · (4 + 1))
6	2, 5	eqtri 2761	. 2 ⊢ (!‘5) = ((!‘4) · (4 + 1))
7		fac4 14241	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ;24
8		4p1e5 12358	. . . 4 ⊢ (4 + 1) = 5
9	7, 8	oveq12i 7421	. . 3 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = (;24 · 5)
10		5nn0 12492	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		2nn0 12489	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;24 = ;24
13		0nn0 12487	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		1nn0 12488	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		5cn 12300	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
16		2cn 12287	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		5t2e10 12777	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
18	15, 16, 17	mulcomli 11223	. . . . 5 ⊢ (2 · 5) = ;10
19	16	addlidi 11402	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
20	14, 13, 11, 18, 19	decaddi 12737	. . . 4 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
21		4cn 12297	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
22		5t4e20 12779	. . . . 5 ⊢ (5 · 4) = ;20
23	15, 21, 22	mulcomli 11223	. . . 4 ⊢ (4 · 5) = ;20
24	10, 11, 3, 12, 13, 11, 20, 23	decmul1c 12742	. . 3 ⊢ (;24 · 5) = ;;120
25	9, 24	eqtri 2761	. 2 ⊢ ((!‘4) · (4 + 1)) = ;;120
26	6, 25	eqtri 2761	1 ⊢ (!‘5) = ;;120

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  2c2 12267  4c4 12269  5c5 12270  ℕ₀cn0 12472  ;cdc 12677  !cfa 14233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-seq 13967  df-fac 14234

This theorem is referenced by: (None)