Theorem facp2 40027

Description: The factorial of a successor's successor. (Contributed by metakunt, 19-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
facp2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))

Proof of Theorem facp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2		ax-1cn 10860	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		addass 10889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
4	2, 2, 3	mp3an23 1451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
6		df-2 11966	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
7	6	oveq2i 7266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 + 2) = (𝑁 + (1 + 1))
8	7	eqcomi 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2)
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
10	5, 9	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
11	10	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 1) + 1)) = (!‘(𝑁 + 2)))
12		peano2nn0 12203	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
13		facp1 13920	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)))
15	11, 14	eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)))
16	10	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
17	15, 16	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
18		facp1 13920	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
19	18	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
20	17, 19	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
21		faccl 13925	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
22		nncn 11911	. . . 4 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
24		nn0cn 12173	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
25	12, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
26		2cn 11978	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		addcl 10884	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
28	26, 27	mpan2 687	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
29	1, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
30		mulass 10890	. . 3 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℂ) → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
31	23, 25, 29, 30	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
32	20, 31	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  !cfa 13915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-fac 13916

This theorem is referenced by:  2np3bcnp1  40028