Theorem facp2 42161

Description: The factorial of a successor's successor. (Contributed by metakunt, 19-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
facp2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))

Proof of Theorem facp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2		ax-1cn 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		addass 11221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
4	2, 2, 3	mp3an23 1455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
6		df-2 12308	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
7	6	oveq2i 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 + 2) = (𝑁 + (1 + 1))
8	7	eqcomi 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2)
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
10	5, 9	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
11	10	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 1) + 1)) = (!‘(𝑁 + 2)))
12		peano2nn0 12546	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
13		facp1 14301	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)))
15	11, 14	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)))
16	10	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
17	15, 16	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
18		facp1 14301	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
19	18	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
20	17, 19	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
21		faccl 14306	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
22		nncn 12253	. . . 4 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
24		nn0cn 12516	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
25	12, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
26		2cn 12320	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		addcl 11216	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
28	26, 27	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
29	1, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
30		mulass 11222	. . 3 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℂ) → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
31	23, 25, 29, 30	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
32	20, 31	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139  ℕcn 12245  2c2 12300  ℕ₀cn0 12506  !cfa 14296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-seq 14025  df-fac 14297

This theorem is referenced by:  2np3bcnp1  42162