Theorem facp2 42599

Description: The factorial of a successor's successor. (Contributed by metakunt, 19-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
facp2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))

Proof of Theorem facp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2		ax-1cn 11090	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		addass 11119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
4	2, 2, 3	mp3an23 1456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
6		df-2 12238	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
7	6	oveq2i 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 + 2) = (𝑁 + (1 + 1))
8	7	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2)
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
10	5, 9	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
11	10	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 1) + 1)) = (!‘(𝑁 + 2)))
12		peano2nn0 12471	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
13		facp1 14234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)))
15	11, 14	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)))
16	10	oveq2d 7377	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
17	15, 16	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
18		facp1 14234	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
19	18	oveq1d 7376	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
20	17, 19	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
21		faccl 14239	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
22		nncn 12176	. . . 4 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
24		nn0cn 12441	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
25	12, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
26		2cn 12250	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		addcl 11114	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
28	26, 27	mpan2 692	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
29	1, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
30		mulass 11120	. . 3 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℂ) → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
31	23, 25, 29, 30	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
32	20, 31	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037  ℕcn 12168  2c2 12230  ℕ₀cn0 12431  !cfa 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-seq 13958  df-fac 14230

This theorem is referenced by:  2np3bcnp1  42600