Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  facp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facp2 41615
Description: The factorial of a successor's successor. (Contributed by metakunt, 19-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
facp2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))

Proof of Theorem facp2
StepHypRef Expression
1 nn0cn 12513 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2 ax-1cn 11197 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„‚
3 addass 11226 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ + 1) + 1) = (๐‘ + (1 + 1)))
42, 2, 3mp3an23 1450 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ + 1) + 1) = (๐‘ + (1 + 1)))
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1) + 1) = (๐‘ + (1 + 1)))
6 df-2 12306 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
76oveq2i 7431 . . . . . . . . 9 (๐‘ + 2) = (๐‘ + (1 + 1))
87eqcomi 2737 . . . . . . . 8 (๐‘ + (1 + 1)) = (๐‘ + 2)
98a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + (1 + 1)) = (๐‘ + 2))
105, 9eqtrd 2768 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ + 1) + 1) = (๐‘ + 2))
1110fveq2d 6901 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘ + 1) + 1)) = (!โ€˜(๐‘ + 2)))
12 peano2nn0 12543 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0)
13 facp1 14270 . . . . . 6 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘ + 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((๐‘ + 1) + 1)))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜((๐‘ + 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((๐‘ + 1) + 1)))
1511, 14eqtr3d 2770 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((๐‘ + 1) + 1)))
1610oveq2d 7436 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท ((๐‘ + 1) + 1)) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (๐‘ + 2)))
1715, 16eqtrd 2768 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) = ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (๐‘ + 2)))
18 facp1 14270 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 1)) = ((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)))
1918oveq1d 7435 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜(๐‘ + 1)) ยท (๐‘ + 2)) = (((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) ยท (๐‘ + 2)))
2017, 19eqtrd 2768 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) = (((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) ยท (๐‘ + 2)))
21 faccl 14275 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
22 nncn 12251 . . . 4 ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
2321, 22syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
24 nn0cn 12513 . . . 4 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
2512, 24syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
26 2cn 12318 . . . . 5 2 โˆˆ โ„‚
27 addcl 11221 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ + 2) โˆˆ โ„‚)
2826, 27mpan2 690 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ + 2) โˆˆ โ„‚)
291, 28syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ + 2) โˆˆ โ„‚)
30 mulass 11227 . . 3 (((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ + 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) ยท (๐‘ + 2)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))
3123, 25, 29, 30syl3anc 1369 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜๐‘) ยท (๐‘ + 1)) ยท (๐‘ + 2)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))
3220, 31eqtrd 2768 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘ + 2)) = ((!โ€˜๐‘) ยท ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  1c1 11140   + caddc 11142   ยท cmul 11144  โ„•cn 12243  2c2 12298  โ„•0cn0 12503  !cfa 14265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-seq 14000  df-fac 14266
This theorem is referenced by:  2np3bcnp1  41616
  Copyright terms: Public domain W3C validator