Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  facp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facp2 39821
Description: The factorial of a successor's successor. (Contributed by metakunt, 19-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
facp2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))

Proof of Theorem facp2
StepHypRef Expression
1 nn0cn 12100 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
2 ax-1cn 10787 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
3 addass 10816 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
42, 2, 3mp3an23 1455 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
6 df-2 11893 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
76oveq2i 7224 . . . . . . . . 9 (𝑁 + 2) = (𝑁 + (1 + 1))
87eqcomi 2746 . . . . . . . 8 (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2)
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
105, 9eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
1110fveq2d 6721 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 1) + 1)) = (!‘(𝑁 + 2)))
12 peano2nn0 12130 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
13 facp1 13844 . . . . . 6 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)))
1511, 14eqtr3d 2779 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)))
1610oveq2d 7229 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
1715, 16eqtrd 2777 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
18 facp1 13844 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
1918oveq1d 7228 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
2017, 19eqtrd 2777 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
21 faccl 13849 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
22 nncn 11838 . . . 4 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
2321, 22syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
24 nn0cn 12100 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
2512, 24syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
26 2cn 11905 . . . . 5 2 ∈ ℂ
27 addcl 10811 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
2826, 27mpan2 691 . . . 4 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
291, 28syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
30 mulass 10817 . . 3 (((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℂ) → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
3123, 25, 29, 30syl3anc 1373 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
3220, 31eqtrd 2777 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  cn 11830  2c2 11885  0cn0 12090  !cfa 13839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-seq 13575  df-fac 13840
This theorem is referenced by:  2np3bcnp1  39822
  Copyright terms: Public domain W3C validator