Theorem facp2 40948

Description: The factorial of a successor's successor. (Contributed by metakunt, 19-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
facp2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))

Proof of Theorem facp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2		ax-1cn 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		addass 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
4	2, 2, 3	mp3an23 1454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
6		df-2 12272	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
7	6	oveq2i 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 + 2) = (𝑁 + (1 + 1))
8	7	eqcomi 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2)
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
10	5, 9	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
11	10	fveq2d 6893	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 1) + 1)) = (!‘(𝑁 + 2)))
12		peano2nn0 12509	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
13		facp1 14235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)))
15	11, 14	eqtr3d 2775	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)))
16	10	oveq2d 7422	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 + 1)) · ((𝑁 + 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
17	15, 16	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
18		facp1 14235	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
19	18	oveq1d 7421	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
20	17, 19	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)))
21		faccl 14240	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
22		nncn 12217	. . . 4 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
24		nn0cn 12479	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
25	12, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
26		2cn 12284	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		addcl 11189	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
28	26, 27	mpan2 690	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
29	1, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 2) ∈ ℂ)
30		mulass 11195	. . 3 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℂ) → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
31	23, 25, 29, 30	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))
32	20, 31	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 2)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  ℕcn 12209  2c2 12264  ℕ₀cn0 12469  !cfa 14230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-fac 14231

This theorem is referenced by:  2np3bcnp1  40949