Theorem faccl 13925

Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
faccl	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccl

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6756	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
2	1	eleq1d 2823	. 2 ⊢ (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘0) ∈ ℕ))
3		fveq2 6756	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
4	3	eleq1d 2823	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑘) ∈ ℕ))
5		fveq2 6756	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
6	5	eleq1d 2823	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
7		fveq2 6756	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
8	7	eleq1d 2823	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑁) ∈ ℕ))
9		fac0 13918	. . 3 ⊢ (!‘0) = 1
10		1nn 11914	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
11	9, 10	eqeltri 2835	. 2 ⊢ (!‘0) ∈ ℕ
12		facp1 13920	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
14		nn0p1nn 12202	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
15		nnmulcl 11927	. . . . 5 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
16	14, 15	sylan2 592	. . . 4 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
17	13, 16	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
18	17	expcom 413	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
19	2, 4, 6, 8, 11, 18	nn0ind 12345	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  !cfa 13915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-fac 13916

This theorem is referenced by:  faccld  13926  facne0  13928  facdiv  13929  facndiv  13930  facwordi  13931  faclbnd  13932  faclbnd2  13933  faclbnd3  13934  faclbnd4lem1  13935  faclbnd5  13940  faclbnd6  13941  facubnd  13942  facavg  13943  bcrpcl  13950  bcn0  13952  bcm1k  13957  bcval5  13960  permnn  13968  4bc2eq6  13971  fallfacfac  15683  eftcl  15711  reeftcl  15712  eftabs  15713  ef0lem  15716  ege2le3  15727  efcj  15729  efaddlem  15730  effsumlt  15748  eflegeo  15758  ef01bndlem  15821  eirrlem  15841  prmfac1  16354  pcfac  16528  prmunb  16543  aaliou3lem7  25414  aaliou3lem9  25415  advlogexp  25715  wilth  26125  logfacrlim  26277  logexprlim  26278  bcmono  26330  vmadivsum  26535  subfacval2  33049  subfaclim  33050  subfacval3  33051  bcprod  33610  faclim2  33620  lcmineqlem18  39982  facp2  40027  fac2xp3  40088  factwoffsmonot  40091  bcccl  41846  bcc0  41847  bccp1k  41848  binomcxplemwb  41855  dvnxpaek  43373  wallispi2lem2  43503  stirlinglem2  43506  stirlinglem3  43507  stirlinglem4  43508  stirlinglem13  43517  stirlinglem14  43518  stirlinglem15  43519  stirlingr  43521  pgrple2abl  45589