Theorem faccl 14006

Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
faccl	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem faccl

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6783	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
2	1	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘0) ∈ ℕ))
3		fveq2 6783	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
4	3	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑘) ∈ ℕ))
5		fveq2 6783	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
6	5	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
7		fveq2 6783	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
8	7	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((!‘𝑗) ∈ ℕ ↔ (!‘𝑁) ∈ ℕ))
9		fac0 13999	. . 3 ⊢ (!‘0) = 1
10		1nn 11993	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
11	9, 10	eqeltri 2836	. 2 ⊢ (!‘0) ∈ ℕ
12		facp1 14001	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
13	12	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
14		nn0p1nn 12281	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
15		nnmulcl 12006	. . . . 5 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
16	14, 15	sylan2 593	. . . 4 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
17	13, 16	eqeltrd 2840	. . 3 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
18	17	expcom 414	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
19	2, 4, 6, 8, 11, 18	nn0ind 12424	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883   · cmul 10885  ℕcn 11982  ℕ₀cn0 12242  !cfa 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-seq 13731  df-fac 13997

This theorem is referenced by:  faccld  14007  facne0  14009  facdiv  14010  facndiv  14011  facwordi  14012  faclbnd  14013  faclbnd2  14014  faclbnd3  14015  faclbnd4lem1  14016  faclbnd5  14021  faclbnd6  14022  facubnd  14023  facavg  14024  bcrpcl  14031  bcn0  14033  bcm1k  14038  bcval5  14041  permnn  14049  4bc2eq6  14052  fallfacfac  15764  eftcl  15792  reeftcl  15793  eftabs  15794  ef0lem  15797  ege2le3  15808  efcj  15810  efaddlem  15811  effsumlt  15829  eflegeo  15839  ef01bndlem  15902  eirrlem  15922  prmfac1  16435  pcfac  16609  prmunb  16624  aaliou3lem7  25518  aaliou3lem9  25519  advlogexp  25819  wilth  26229  logfacrlim  26381  logexprlim  26382  bcmono  26434  vmadivsum  26639  subfacval2  33158  subfaclim  33159  subfacval3  33160  bcprod  33713  faclim2  33723  lcmineqlem18  40061  facp2  40106  fac2xp3  40167  factwoffsmonot  40170  bcccl  41964  bcc0  41965  bccp1k  41966  binomcxplemwb  41973  dvnxpaek  43490  wallispi2lem2  43620  stirlinglem2  43623  stirlinglem3  43624  stirlinglem4  43625  stirlinglem13  43634  stirlinglem14  43635  stirlinglem15  43636  stirlingr  43638  pgrple2abl  45712