MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem faccl 14274
Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
faccl (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)

Proof of Theorem faccl
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6897 . . 3 (๐‘— = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜0))
21eleq1d 2814 . 2 (๐‘— = 0 โ†’ ((!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„• โ†” (!โ€˜0) โˆˆ โ„•))
3 fveq2 6897 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜๐‘˜))
43eleq1d 2814 . 2 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„• โ†” (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•))
5 fveq2 6897 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
65eleq1d 2814 . 2 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„• โ†” (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•))
7 fveq2 6897 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜๐‘))
87eleq1d 2814 . 2 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„• โ†” (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•))
9 fac0 14267 . . 3 (!โ€˜0) = 1
10 1nn 12253 . . 3 1 โˆˆ โ„•
119, 10eqeltri 2825 . 2 (!โ€˜0) โˆˆ โ„•
12 facp1 14269 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
1312adantl 481 . . . 4 (((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
14 nn0p1nn 12541 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
15 nnmulcl 12266 . . . . 5 (((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
1614, 15sylan2 592 . . . 4 (((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
1713, 16eqeltrd 2829 . . 3 (((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
1817expcom 413 . 2 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•))
192, 4, 6, 8, 11, 18nn0ind 12687 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143  โ„•cn 12242  โ„•0cn0 12502  !cfa 14264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 13999  df-fac 14265
This theorem is referenced by:  faccld  14275  facne0  14277  facdiv  14278  facndiv  14279  facwordi  14280  faclbnd  14281  faclbnd2  14282  faclbnd3  14283  faclbnd4lem1  14284  faclbnd5  14289  faclbnd6  14290  facubnd  14291  facavg  14292  bcrpcl  14299  bcn0  14301  bcm1k  14306  bcval5  14309  permnn  14317  4bc2eq6  14320  fallfacfac  16021  eftcl  16049  reeftcl  16050  eftabs  16051  ef0lem  16054  ege2le3  16066  efcj  16068  efaddlem  16069  effsumlt  16087  eflegeo  16097  ef01bndlem  16160  eirrlem  16180  prmfac1  16691  pcfac  16867  prmunb  16882  aaliou3lem7  26283  aaliou3lem9  26284  advlogexp  26588  wilth  27002  logfacrlim  27156  logexprlim  27157  bcmono  27209  vmadivsum  27414  subfacval2  34797  subfaclim  34798  subfacval3  34799  bcprod  35332  faclim2  35342  lcmineqlem18  41517  facp2  41615  fac2xp3  41691  factwoffsmonot  41694  bcccl  43776  bcc0  43777  bccp1k  43778  binomcxplemwb  43785  dvnxpaek  45330  wallispi2lem2  45460  stirlinglem2  45463  stirlinglem3  45464  stirlinglem4  45465  stirlinglem13  45474  stirlinglem14  45475  stirlinglem15  45476  stirlingr  45478  pgrple2abl  47429
  Copyright terms: Public domain W3C validator