![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > faccl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) |
Ref | Expression |
---|---|
faccl | โข (๐ โ โ0 โ (!โ๐) โ โ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | fveq2 6897 | . . 3 โข (๐ = 0 โ (!โ๐) = (!โ0)) | |
2 | 1 | eleq1d 2814 | . 2 โข (๐ = 0 โ ((!โ๐) โ โ โ (!โ0) โ โ)) |
3 | fveq2 6897 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (!โ๐) = (!โ๐)) | |
4 | 3 | eleq1d 2814 | . 2 โข (๐ = ๐ โ ((!โ๐) โ โ โ (!โ๐) โ โ)) |
5 | fveq2 6897 | . . 3 โข (๐ = (๐ + 1) โ (!โ๐) = (!โ(๐ + 1))) | |
6 | 5 | eleq1d 2814 | . 2 โข (๐ = (๐ + 1) โ ((!โ๐) โ โ โ (!โ(๐ + 1)) โ โ)) |
7 | fveq2 6897 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (!โ๐) = (!โ๐)) | |
8 | 7 | eleq1d 2814 | . 2 โข (๐ = ๐ โ ((!โ๐) โ โ โ (!โ๐) โ โ)) |
9 | fac0 14267 | . . 3 โข (!โ0) = 1 | |
10 | 1nn 12253 | . . 3 โข 1 โ โ | |
11 | 9, 10 | eqeltri 2825 | . 2 โข (!โ0) โ โ |
12 | facp1 14269 | . . . . 5 โข (๐ โ โ0 โ (!โ(๐ + 1)) = ((!โ๐) ยท (๐ + 1))) | |
13 | 12 | adantl 481 | . . . 4 โข (((!โ๐) โ โ โง ๐ โ โ0) โ (!โ(๐ + 1)) = ((!โ๐) ยท (๐ + 1))) |
14 | nn0p1nn 12541 | . . . . 5 โข (๐ โ โ0 โ (๐ + 1) โ โ) | |
15 | nnmulcl 12266 | . . . . 5 โข (((!โ๐) โ โ โง (๐ + 1) โ โ) โ ((!โ๐) ยท (๐ + 1)) โ โ) | |
16 | 14, 15 | sylan2 592 | . . . 4 โข (((!โ๐) โ โ โง ๐ โ โ0) โ ((!โ๐) ยท (๐ + 1)) โ โ) |
17 | 13, 16 | eqeltrd 2829 | . . 3 โข (((!โ๐) โ โ โง ๐ โ โ0) โ (!โ(๐ + 1)) โ โ) |
18 | 17 | expcom 413 | . 2 โข (๐ โ โ0 โ ((!โ๐) โ โ โ (!โ(๐ + 1)) โ โ)) |
19 | 2, 4, 6, 8, 11, 18 | nn0ind 12687 | 1 โข (๐ โ โ0 โ (!โ๐) โ โ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 โcfv 6548 (class class class)co 7420 0cc0 11138 1c1 11139 + caddc 11141 ยท cmul 11143 โcn 12242 โ0cn0 12502 !cfa 14264 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7871 df-2nd 7994 df-frecs 8286 df-wrecs 8317 df-recs 8391 df-rdg 8430 df-er 8724 df-en 8964 df-dom 8965 df-sdom 8966 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-nn 12243 df-n0 12503 df-z 12589 df-uz 12853 df-seq 13999 df-fac 14265 |
This theorem is referenced by: faccld 14275 facne0 14277 facdiv 14278 facndiv 14279 facwordi 14280 faclbnd 14281 faclbnd2 14282 faclbnd3 14283 faclbnd4lem1 14284 faclbnd5 14289 faclbnd6 14290 facubnd 14291 facavg 14292 bcrpcl 14299 bcn0 14301 bcm1k 14306 bcval5 14309 permnn 14317 4bc2eq6 14320 fallfacfac 16021 eftcl 16049 reeftcl 16050 eftabs 16051 ef0lem 16054 ege2le3 16066 efcj 16068 efaddlem 16069 effsumlt 16087 eflegeo 16097 ef01bndlem 16160 eirrlem 16180 prmfac1 16691 pcfac 16867 prmunb 16882 aaliou3lem7 26283 aaliou3lem9 26284 advlogexp 26588 wilth 27002 logfacrlim 27156 logexprlim 27157 bcmono 27209 vmadivsum 27414 subfacval2 34797 subfaclim 34798 subfacval3 34799 bcprod 35332 faclim2 35342 lcmineqlem18 41517 facp2 41615 fac2xp3 41691 factwoffsmonot 41694 bcccl 43776 bcc0 43777 bccp1k 43778 binomcxplemwb 43785 dvnxpaek 45330 wallispi2lem2 45460 stirlinglem2 45463 stirlinglem3 45464 stirlinglem4 45465 stirlinglem13 45474 stirlinglem14 45475 stirlinglem15 45476 stirlingr 45478 pgrple2abl 47429 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |