Theorem 5bc2eq10 43332

Description: The value of 5 choose 2. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
5bc2eq10	⊢ (5C2) = ;10

Proof of Theorem 5bc2eq10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12635	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2z 12738	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		bcpasc 14475	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4 + 1)C2))
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4 + 1)C2)
5		4p1e5 12498	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
6	5	oveq1i 7437	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)C2) = (5C2)
7	4, 6	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = (5C2)
8	7	eqcomi 2772	. 2 ⊢ (5C2) = ((4C2) + (4C(2 − 1)))
9		2m1e1 12477	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
10	9	oveq2i 7438	. . . 4 ⊢ (4C(2 − 1)) = (4C1)
11	10	oveq2i 7438	. . 3 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4C2) + (4C1))
12		4bc2eq6 14483	. . . 4 ⊢ (4C2) = 6
13		bcn1 14467	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (4C1) = 4)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (4C1) = 4
15	12, 14	oveq12i 7439	. . 3 ⊢ ((4C2) + (4C1)) = (6 + 4)
16	11, 15	eqtri 2786	. 2 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = (6 + 4)
17		6p4e10 12901	. 2 ⊢ (6 + 4) = ;10
18	8, 16, 17	3eqtri 2790	1 ⊢ (5C2) = ;10

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7427  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213   − cmin 11551  2c2 12407  4c4 12409  5c5 12410  6c6 12411  ℕ₀cn0 12616  ℤcz 12703  ;cdc 12824  Ccbc 14456

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fz 13650  df-seq 14155  df-fac 14428  df-bc 14457

This theorem is used by:  2ap1caineq  43335