Theorem 5bc2eq10 39767

Description: The value of 5 choose 2. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
5bc2eq10	⊢ (5C2) = ;10

Proof of Theorem 5bc2eq10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12074	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2z 12174	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		bcpasc 13852	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4 + 1)C2))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4 + 1)C2)
5		4p1e5 11941	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
6	5	oveq1i 7201	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)C2) = (5C2)
7	4, 6	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = (5C2)
8	7	eqcomi 2745	. 2 ⊢ (5C2) = ((4C2) + (4C(2 − 1)))
9		2m1e1 11921	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
10	9	oveq2i 7202	. . . 4 ⊢ (4C(2 − 1)) = (4C1)
11	10	oveq2i 7202	. . 3 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4C2) + (4C1))
12		4bc2eq6 13860	. . . 4 ⊢ (4C2) = 6
13		bcn1 13844	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (4C1) = 4)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (4C1) = 4
15	12, 14	oveq12i 7203	. . 3 ⊢ ((4C2) + (4C1)) = (6 + 4)
16	11, 15	eqtri 2759	. 2 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = (6 + 4)
17		6p4e10 12330	. 2 ⊢ (6 + 4) = ;10
18	8, 16, 17	3eqtri 2763	1 ⊢ (5C2) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7191  0cc0 10694  1c1 10695   + caddc 10697   − cmin 11027  2c2 11850  4c4 11852  5c5 11853  6c6 11854  ℕ₀cn0 12055  ℤcz 12141  ;cdc 12258  Ccbc 13833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-rp 12552  df-fz 13061  df-seq 13540  df-fac 13805  df-bc 13834

This theorem is referenced by:  2ap1caineq  39770