Theorem 5bc2eq10 42335

Description: The value of 5 choose 2. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
5bc2eq10	⊢ (5C2) = ;10

Proof of Theorem 5bc2eq10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12418	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2z 12521	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		bcpasc 14242	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4 + 1)C2))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4 + 1)C2)
5		4p1e5 12284	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
6	5	oveq1i 7366	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)C2) = (5C2)
7	4, 6	eqtri 2757	. . 3 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = (5C2)
8	7	eqcomi 2743	. 2 ⊢ (5C2) = ((4C2) + (4C(2 − 1)))
9		2m1e1 12264	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
10	9	oveq2i 7367	. . . 4 ⊢ (4C(2 − 1)) = (4C1)
11	10	oveq2i 7367	. . 3 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4C2) + (4C1))
12		4bc2eq6 14250	. . . 4 ⊢ (4C2) = 6
13		bcn1 14234	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (4C1) = 4)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (4C1) = 4
15	12, 14	oveq12i 7368	. . 3 ⊢ ((4C2) + (4C1)) = (6 + 4)
16	11, 15	eqtri 2757	. 2 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = (6 + 4)
17		6p4e10 12677	. 2 ⊢ (6 + 4) = ;10
18	8, 16, 17	3eqtri 2761	1 ⊢ (5C2) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   − cmin 11362  2c2 12198  4c4 12200  5c5 12201  6c6 12202  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ;cdc 12605  Ccbc 14223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-seq 13923  df-fac 14195  df-bc 14224

This theorem is referenced by:  2ap1caineq  42338