Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  5bc2eq10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5bc2eq10 40579
Description: The value of 5 choose 2. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
5bc2eq10 (5C2) = 10

Proof of Theorem 5bc2eq10
StepHypRef Expression
1 4nn0 12439 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
2 2z 12542 . . . . 5 2 ∈ ℤ
3 bcpasc 14228 . . . . 5 ((4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4 + 1)C2))
41, 2, 3mp2an 691 . . . 4 ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4 + 1)C2)
5 4p1e5 12306 . . . . 5 (4 + 1) = 5
65oveq1i 7372 . . . 4 ((4 + 1)C2) = (5C2)
74, 6eqtri 2765 . . 3 ((4C2) + (4C(2 − 1))) = (5C2)
87eqcomi 2746 . 2 (5C2) = ((4C2) + (4C(2 − 1)))
9 2m1e1 12286 . . . . 5 (2 − 1) = 1
109oveq2i 7373 . . . 4 (4C(2 − 1)) = (4C1)
1110oveq2i 7373 . . 3 ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4C2) + (4C1))
12 4bc2eq6 14236 . . . 4 (4C2) = 6
13 bcn1 14220 . . . . 5 (4 ∈ ℕ0 → (4C1) = 4)
141, 13ax-mp 5 . . . 4 (4C1) = 4
1512, 14oveq12i 7374 . . 3 ((4C2) + (4C1)) = (6 + 4)
1611, 15eqtri 2765 . 2 ((4C2) + (4C(2 − 1))) = (6 + 4)
17 6p4e10 12697 . 2 (6 + 4) = 10
188, 16, 173eqtri 2769 1 (5C2) = 10
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  cmin 11392  2c2 12215  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  0cn0 12420  cz 12506  cdc 12625  Ccbc 14209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-seq 13914  df-fac 14181  df-bc 14210
This theorem is referenced by:  2ap1caineq  40582
  Copyright terms: Public domain W3C validator