Theorem 5bc2eq10 40026

Description: The value of 5 choose 2. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
5bc2eq10	⊢ (5C2) = ;10

Proof of Theorem 5bc2eq10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12182	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2z 12282	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		bcpasc 13963	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4 + 1)C2))
4	1, 2, 3	mp2an 688	. . . 4 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4 + 1)C2)
5		4p1e5 12049	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
6	5	oveq1i 7265	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)C2) = (5C2)
7	4, 6	eqtri 2766	. . 3 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = (5C2)
8	7	eqcomi 2747	. 2 ⊢ (5C2) = ((4C2) + (4C(2 − 1)))
9		2m1e1 12029	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
10	9	oveq2i 7266	. . . 4 ⊢ (4C(2 − 1)) = (4C1)
11	10	oveq2i 7266	. . 3 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4C2) + (4C1))
12		4bc2eq6 13971	. . . 4 ⊢ (4C2) = 6
13		bcn1 13955	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (4C1) = 4)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (4C1) = 4
15	12, 14	oveq12i 7267	. . 3 ⊢ ((4C2) + (4C1)) = (6 + 4)
16	11, 15	eqtri 2766	. 2 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = (6 + 4)
17		6p4e10 12438	. 2 ⊢ (6 + 4) = ;10
18	8, 16, 17	3eqtri 2770	1 ⊢ (5C2) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   − cmin 11135  2c2 11958  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ;cdc 12366  Ccbc 13944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-fac 13916  df-bc 13945

This theorem is referenced by:  2ap1caineq  40029