Theorem 5bc2eq10 40327

Description: The value of 5 choose 2. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
5bc2eq10	⊢ (5C2) = ;10

Proof of Theorem 5bc2eq10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12331	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2z 12431	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		bcpasc 14114	. . . . 5 ⊢ ((4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4 + 1)C2))
4	1, 2, 3	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4 + 1)C2)
5		4p1e5 12198	. . . . 5 ⊢ (4 + 1) = 5
6	5	oveq1i 7326	. . . 4 ⊢ ((4 + 1)C2) = (5C2)
7	4, 6	eqtri 2764	. . 3 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = (5C2)
8	7	eqcomi 2745	. 2 ⊢ (5C2) = ((4C2) + (4C(2 − 1)))
9		2m1e1 12178	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
10	9	oveq2i 7327	. . . 4 ⊢ (4C(2 − 1)) = (4C1)
11	10	oveq2i 7327	. . 3 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = ((4C2) + (4C1))
12		4bc2eq6 14122	. . . 4 ⊢ (4C2) = 6
13		bcn1 14106	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → (4C1) = 4)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (4C1) = 4
15	12, 14	oveq12i 7328	. . 3 ⊢ ((4C2) + (4C1)) = (6 + 4)
16	11, 15	eqtri 2764	. 2 ⊢ ((4C2) + (4C(2 − 1))) = (6 + 4)
17		6p4e10 12588	. 2 ⊢ (6 + 4) = ;10
18	8, 16, 17	3eqtri 2768	1 ⊢ (5C2) = ;10

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7316  0cc0 10950  1c1 10951   + caddc 10953   − cmin 11284  2c2 12107  4c4 12109  5c5 12110  6c6 12111  ℕ₀cn0 12312  ℤcz 12398  ;cdc 12516  Ccbc 14095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-rp 12810  df-fz 13319  df-seq 13801  df-fac 14067  df-bc 14096

This theorem is referenced by:  2ap1caineq  40330