Theorem fargshiftfv 47911

Description: If a class is a function, then the values of the "shifted function" correspond to the function values of the class. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
fargshift.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
fargshiftfv	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑋) = (𝐹‘(𝑋 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fargshiftfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6658	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → 𝐹 Fn (1...𝑁))
2		fseq1hash 14332	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 Fn (1...𝑁)) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
3		oveq2 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
4	3	eqcoms 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
5	4	eleq2d 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
6	5	biimpd 230	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
7	2, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 Fn (1...𝑁)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
8	1, 7	sylan2 595	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
9	8	imp 407	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
10		fvex 6843	. . 3 ⊢ (𝐹‘(𝑋 + 1)) ∈ V
11		fvoveq1 7382	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) = (𝐹‘(𝑋 + 1)))
12		fargshift.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
13	11, 12	fvmptg 6936	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐹‘(𝑋 + 1)) ∈ V) → (𝐺‘𝑋) = (𝐹‘(𝑋 + 1)))
14	9, 10, 13	sylancl 588	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐹‘(𝑋 + 1)))
15	14	ex 413	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑋) = (𝐹‘(𝑋 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1543   ∈ wcel 2115  Vcvv 3428   ↦ cmpt 5156  dom cdm 5621   Fn wfn 6483  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035  ℕ₀cn0 12431  ...cfz 13455  ..^cfzo 13602  ♯chash 14286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3061  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7934  df-2nd 7935  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-hash 14287

This theorem is referenced by:  fargshiftf1  47913  fargshiftfva  47915