Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fargshiftfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fargshiftfv 43798
 Description: If a class is a function, then the values of the "shifted function" correspond to the function values of the class. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
Assertion
Ref Expression
fargshiftfv ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑋) = (𝐹‘(𝑋 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fargshiftfv
StepHypRef Expression
1 ffn 6495 . . . . 5 (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸𝐹 Fn (1...𝑁))
2 fseq1hash 13731 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹 Fn (1...𝑁)) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
3 oveq2 7146 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
43eqcoms 2832 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
54eleq2d 2901 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
65biimpd 232 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
72, 6syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹 Fn (1...𝑁)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
81, 7sylan2 595 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
98imp 410 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
10 fvex 6664 . . 3 (𝐹‘(𝑋 + 1)) ∈ V
11 fvoveq1 7161 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) = (𝐹‘(𝑋 + 1)))
12 fargshift.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
1311, 12fvmptg 6747 . . 3 ((𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐹‘(𝑋 + 1)) ∈ V) → (𝐺𝑋) = (𝐹‘(𝑋 + 1)))
149, 10, 13sylancl 589 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺𝑋) = (𝐹‘(𝑋 + 1)))
1514ex 416 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺𝑋) = (𝐹‘(𝑋 + 1))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3479   ↦ cmpt 5127  dom cdm 5536   Fn wfn 6331  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  0cc0 10522  1c1 10523   + caddc 10525  ℕ0cn0 11883  ...cfz 12883  ..^cfzo 13026  ♯chash 13684 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-hash 13685 This theorem is referenced by:  fargshiftf1  43800  fargshiftfva  43802
 Copyright terms: Public domain W3C validator