Theorem fargshiftfv 48443

Description: If a class is a function, then the values of the "shifted function" correspond to the function values of the class. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
fargshift.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
fargshiftfv	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑋) = (𝐹‘(𝑋 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fargshiftfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6697	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → 𝐹 Fn (1...𝑁))
2		fseq1hash 14487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 Fn (1...𝑁)) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
3		oveq2 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
4	3	eqcoms 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
5	4	eleq2d 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
6	5	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
7	2, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 Fn (1...𝑁)) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
8	1, 7	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
9	8	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
10		fvex 6886	. . 3 ⊢ (𝐹‘(𝑋 + 1)) ∈ V
11		fvoveq1 7431	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) = (𝐹‘(𝑋 + 1)))
12		fargshift.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
13	11, 12	fvmptg 6979	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐹‘(𝑋 + 1)) ∈ V) → (𝐺‘𝑋) = (𝐹‘(𝑋 + 1)))
14	9, 10, 13	sylancl 598	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐺‘𝑋) = (𝐹‘(𝑋 + 1)))
15	14	ex 418	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝑋) = (𝐹‘(𝑋 + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5647   Fn wfn 6522  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11171  1c1 11172   + caddc 11174  ℕ₀cn0 12575  ...cfz 13608  ..^cfzo 13756  ♯chash 14441

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-hash 14442

This theorem is used by:  fargshiftf1  48445  fargshiftfva  48447