Theorem fargshiftf 48217

Description: If a class is a function, then also its "shifted function" is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
fargshift.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
fargshiftf	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fargshiftf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6705	. . . 4 ⊢ (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → 𝐹 Fn (1...𝑁))
2		fseq1hash 14419	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 Fn (1...𝑁)) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
3	1, 2	sylan2 604	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
4		eleq1 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0))
5		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (1...𝑁) = (1...(♯‘𝐹)))
6	5	feq2d 6689	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 ↔ 𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸))
7	4, 6	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)))
8	7	eqcoms 2770	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)))
9		fz0add1fz1 13771	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑥 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))
10		ffvelcdm 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (𝑥 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
11	10	expcom 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
12	9, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
13	12	impancom 456	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
14	13	ralrimiv 3155	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
15	8, 14	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
16	3, 15	mpcom 39	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
17		fargshift.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
18	17	fmpt 7105	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸 ↔ 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
19	16, 18	sylib 221	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5660   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  ℕ₀cn0 12510  ...cfz 13541  ..^cfzo 13689  ♯chash 14373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-hash 14374

This theorem is used by:  fargshiftf1  48218  fargshiftfo  48219