Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fargshiftf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fargshiftf 45722
Description: If a class is a function, then also its "shifted function" is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
Assertion
Ref Expression
fargshiftf ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fargshiftf
StepHypRef Expression
1 ffn 6672 . . . 4 (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸𝐹 Fn (1...𝑁))
2 fseq1hash 14285 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹 Fn (1...𝑁)) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
31, 2sylan2 594 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
4 eleq1 2822 . . . . . 6 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0))
5 oveq2 7369 . . . . . . 7 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (1...𝑁) = (1...(♯‘𝐹)))
65feq2d 6658 . . . . . 6 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸))
74, 6anbi12d 632 . . . . 5 (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)))
87eqcoms 2741 . . . 4 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)))
9 fz0add1fz1 13651 . . . . . . 7 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑥 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))
10 ffvelcdm 7036 . . . . . . . 8 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (𝑥 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
1110expcom 415 . . . . . . 7 ((𝑥 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
129, 11syl 17 . . . . . 6 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
1312impancom 453 . . . . 5 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
1413ralrimiv 3139 . . . 4 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
158, 14syl6bi 253 . . 3 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
163, 15mpcom 38 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
17 fargshift.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
1817fmpt 7062 . 2 (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
1916, 18sylib 217 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  cmpt 5192  dom cdm 5637   Fn wfn 6495  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  0cn0 12421  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576  chash 14239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240
This theorem is referenced by:  fargshiftf1  45723  fargshiftfo  45724
  Copyright terms: Public domain W3C validator