Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fargshiftf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fargshiftf 46680
Description: If a class is a function, then also its "shifted function" is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fargshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
Assertion
Ref Expression
fargshiftf ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fargshiftf
StepHypRef Expression
1 ffn 6711 . . . 4 (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸𝐹 Fn (1...𝑁))
2 fseq1hash 14341 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹 Fn (1...𝑁)) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
31, 2sylan2 592 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
4 eleq1 2815 . . . . . 6 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0))
5 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (1...𝑁) = (1...(♯‘𝐹)))
65feq2d 6697 . . . . . 6 (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸))
74, 6anbi12d 630 . . . . 5 (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)))
87eqcoms 2734 . . . 4 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)))
9 fz0add1fz1 13708 . . . . . . 7 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑥 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))
10 ffvelcdm 7077 . . . . . . . 8 ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (𝑥 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
1110expcom 413 . . . . . . 7 ((𝑥 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
129, 11syl 17 . . . . . 6 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
1312impancom 451 . . . . 5 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
1413ralrimiv 3139 . . . 4 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
158, 14syl6bi 253 . . 3 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
163, 15mpcom 38 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
17 fargshift.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
1817fmpt 7105 . 2 (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
1916, 18sylib 217 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  cmpt 5224  dom cdm 5669   Fn wfn 6532  wf 6533  cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  0cn0 12476  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  chash 14295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296
This theorem is referenced by:  fargshiftf1  46681  fargshiftfo  46682
  Copyright terms: Public domain W3C validator