Theorem fargshiftf 48444

Description: If a class is a function, then also its "shifted function" is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
fargshift.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))

Assertion

Ref	Expression
fargshiftf	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem fargshiftf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6697	. . . 4 ⊢ (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 → 𝐹 Fn (1...𝑁))
2		fseq1hash 14487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 Fn (1...𝑁)) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
3	1, 2	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → (♯‘𝐹) = 𝑁)
4		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0))
5		oveq2 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (1...𝑁) = (1...(♯‘𝐹)))
6	5	feq2d 6681	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸 ↔ 𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸))
7	4, 6	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)))
8	7	eqcoms 2768	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)))
9		fz0add1fz1 13838	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑥 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)))
10		ffvelcdm 7069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ (𝑥 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹))) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
11	10	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 + 1) ∈ (1...(♯‘𝐹)) → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
12	9, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
13	12	impancom 457	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
14	13	ralrimiv 3153	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
15	8, 14	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸))
16	3, 15	mpcom 39	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸)
17		fargshift.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↦ (𝐹‘(𝑥 + 1)))
18	17	fmpt 7098	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ dom 𝐸 ↔ 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)
19	16, 18	sylib 221	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:(1...𝑁)⟶dom 𝐸) → 𝐺:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5647   Fn wfn 6522  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11171  1c1 11172   + caddc 11174  ℕ₀cn0 12575  ...cfz 13608  ..^cfzo 13756  ♯chash 14441

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-hash 14442

This theorem is used by:  fargshiftf1  48445  fargshiftfo  48446