Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege109 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege109 39106
Description: The property of belonging to the 𝑅-sequence beginning with 𝑋 is hereditary in the 𝑅-sequence. Proposition 109 of [Frege1879] p. 74. (Contributed by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege109.x 𝑋𝑈
frege109.r 𝑅𝑉
Assertion
Ref Expression
frege109 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})

Proof of Theorem frege109
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege75 39072 . 2 (∀𝑦(𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → ∀𝑧(𝑦𝑅𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))) → 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
2 frege109.x . . . . 5 𝑋𝑈
3 vex 3417 . . . . 5 𝑦 ∈ V
4 vex 3417 . . . . 5 𝑧 ∈ V
5 frege109.r . . . . 5 𝑅𝑉
62, 3, 4, 5frege108 39105 . . . 4 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦 → (𝑦𝑅𝑧𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧))
7 df-br 4874 . . . . 5 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦 ↔ ⟨𝑋, 𝑦⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
82elexi 3430 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
98, 3elimasn 5731 . . . . 5 (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑦⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
107, 9bitr4i 270 . . . 4 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
11 df-br 4874 . . . . . 6 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧 ↔ ⟨𝑋, 𝑧⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
128, 4elimasn 5731 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑧⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
1311, 12bitr4i 270 . . . . 5 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
1413imbi2i 328 . . . 4 ((𝑦𝑅𝑧𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧) ↔ (𝑦𝑅𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
156, 10, 143imtr3i 283 . . 3 (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (𝑦𝑅𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
1615alrimiv 2028 . 2 (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → ∀𝑧(𝑦𝑅𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
171, 16mpg 1898 1 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wal 1656  wcel 2166  Vcvv 3414  cun 3796  {csn 4397  cop 4403   class class class wbr 4873   I cid 5249  cima 5345  cfv 6123  t+ctcl 14103   hereditary whe 38906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-frege1 38924  ax-frege2 38925  ax-frege8 38943  ax-frege28 38964  ax-frege31 38968  ax-frege41 38979  ax-frege52a 38991  ax-frege52c 39022  ax-frege58b 39035
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-ifp 1092  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-seq 13096  df-trcl 14105  df-relexp 14138  df-he 38907
This theorem is referenced by:  frege110  39107
  Copyright terms: Public domain W3C validator