Theorem frege109 44813

Description: The property of belonging to the 𝑅-sequence beginning with 𝑋 is hereditary in the 𝑅-sequence. Proposition 109 of [Frege1879] p. 74. (Contributed by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege109.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege109.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑉

Assertion

Ref	Expression
frege109	⊢ 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})

Proof of Theorem frege109

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege75 44779	. 2 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → ∀𝑧(𝑦𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))) → 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
2		frege109.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
3		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
4		vex 3454	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
5		frege109.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑉
6	2, 3, 4, 5	frege108 44812	. . . 4 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦 → (𝑦𝑅𝑧 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧))
7		df-br 5104	. . . . 5 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦 ↔ ⟨𝑋, 𝑦⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
8	2	elexi 3472	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
9	8, 3	elimasn 6086	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑦⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
10	7, 9	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦 ↔ 𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
11		df-br 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧 ↔ ⟨𝑋, 𝑧⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
12	8, 4	elimasn 6086	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑧⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
13	11, 12	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧 ↔ 𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
14	13	imbi2i 339	. . . 4 ⊢ ((𝑦𝑅𝑧 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧) ↔ (𝑦𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
15	6, 10, 14	3imtr3i 294	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (𝑦𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
16	15	alrimiv 1960	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → ∀𝑧(𝑦𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
17	1, 16	mpg 1830	1 ⊢ 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ∀wal 1568   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∪ cun 3897  {csn 4584  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   I cid 5549   “ cima 5658  ‘cfv 6533  t+ctcl 15059   hereditary whe 44613

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-frege1 44631  ax-frege2 44632  ax-frege8 44650  ax-frege28 44671  ax-frege31 44675  ax-frege41 44686  ax-frege52a 44698  ax-frege52c 44729  ax-frege58b 44742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-seq 14067  df-trcl 15061  df-relexp 15094  df-he 44614

This theorem is used by:  frege110  44814