Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege109 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege109 43451
Description: The property of belonging to the 𝑅-sequence beginning with 𝑋 is hereditary in the 𝑅-sequence. Proposition 109 of [Frege1879] p. 74. (Contributed by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege109.x 𝑋𝑈
frege109.r 𝑅𝑉
Assertion
Ref Expression
frege109 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})

Proof of Theorem frege109
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege75 43417 . 2 (∀𝑦(𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → ∀𝑧(𝑦𝑅𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))) → 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
2 frege109.x . . . . 5 𝑋𝑈
3 vex 3477 . . . . 5 𝑦 ∈ V
4 vex 3477 . . . . 5 𝑧 ∈ V
5 frege109.r . . . . 5 𝑅𝑉
62, 3, 4, 5frege108 43450 . . . 4 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦 → (𝑦𝑅𝑧𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧))
7 df-br 5153 . . . . 5 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦 ↔ ⟨𝑋, 𝑦⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
82elexi 3493 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
98, 3elimasn 6098 . . . . 5 (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑦⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
107, 9bitr4i 277 . . . 4 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
11 df-br 5153 . . . . . 6 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧 ↔ ⟨𝑋, 𝑧⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
128, 4elimasn 6098 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑧⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
1311, 12bitr4i 277 . . . . 5 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
1413imbi2i 335 . . . 4 ((𝑦𝑅𝑧𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧) ↔ (𝑦𝑅𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
156, 10, 143imtr3i 290 . . 3 (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (𝑦𝑅𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
1615alrimiv 1922 . 2 (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → ∀𝑧(𝑦𝑅𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
171, 16mpg 1791 1 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wal 1531  wcel 2098  Vcvv 3473  cun 3947  {csn 4632  cop 4638   class class class wbr 5152   I cid 5579  cima 5685  cfv 6553  t+ctcl 14974   hereditary whe 43251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-frege1 43269  ax-frege2 43270  ax-frege8 43288  ax-frege28 43309  ax-frege31 43313  ax-frege41 43324  ax-frege52a 43336  ax-frege52c 43367  ax-frege58b 43380
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-seq 14009  df-trcl 14976  df-relexp 15009  df-he 43252
This theorem is referenced by:  frege110  43452
  Copyright terms: Public domain W3C validator