Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege109 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege109 43393
Description: The property of belonging to the 𝑅-sequence beginning with 𝑋 is hereditary in the 𝑅-sequence. Proposition 109 of [Frege1879] p. 74. (Contributed by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege109.x 𝑋𝑈
frege109.r 𝑅𝑉
Assertion
Ref Expression
frege109 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})

Proof of Theorem frege109
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege75 43359 . 2 (∀𝑦(𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → ∀𝑧(𝑦𝑅𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))) → 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
2 frege109.x . . . . 5 𝑋𝑈
3 vex 3474 . . . . 5 𝑦 ∈ V
4 vex 3474 . . . . 5 𝑧 ∈ V
5 frege109.r . . . . 5 𝑅𝑉
62, 3, 4, 5frege108 43392 . . . 4 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦 → (𝑦𝑅𝑧𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧))
7 df-br 5144 . . . . 5 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦 ↔ ⟨𝑋, 𝑦⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
82elexi 3490 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
98, 3elimasn 6088 . . . . 5 (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑦⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
107, 9bitr4i 278 . . . 4 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
11 df-br 5144 . . . . . 6 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧 ↔ ⟨𝑋, 𝑧⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
128, 4elimasn 6088 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑧⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
1311, 12bitr4i 278 . . . . 5 (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
1413imbi2i 336 . . . 4 ((𝑦𝑅𝑧𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧) ↔ (𝑦𝑅𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
156, 10, 143imtr3i 291 . . 3 (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (𝑦𝑅𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
1615alrimiv 1923 . 2 (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → ∀𝑧(𝑦𝑅𝑧𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
171, 16mpg 1792 1 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wal 1532  wcel 2099  Vcvv 3470  cun 3943  {csn 4625  cop 4631   class class class wbr 5143   I cid 5570  cima 5676  cfv 6543  t+ctcl 14959   hereditary whe 43193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-frege1 43211  ax-frege2 43212  ax-frege8 43230  ax-frege28 43251  ax-frege31 43255  ax-frege41 43266  ax-frege52a 43278  ax-frege52c 43309  ax-frege58b 43322
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-seq 13994  df-trcl 14961  df-relexp 14994  df-he 43194
This theorem is referenced by:  frege110  43394
  Copyright terms: Public domain W3C validator