Theorem frege109 44431

Description: The property of belonging to the 𝑅-sequence beginning with 𝑋 is hereditary in the 𝑅-sequence. Proposition 109 of [Frege1879] p. 74. (Contributed by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege109.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege109.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑉

Assertion

Ref	Expression
frege109	⊢ 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})

Proof of Theorem frege109

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege75 44397	. 2 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → ∀𝑧(𝑦𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))) → 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
2		frege109.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
3		vex 3437	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
4		vex 3437	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
5		frege109.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑉
6	2, 3, 4, 5	frege108 44430	. . . 4 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦 → (𝑦𝑅𝑧 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧))
7		df-br 5076	. . . . 5 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦 ↔ ⟨𝑋, 𝑦⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
8	2	elexi 3455	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
9	8, 3	elimasn 6049	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑦⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
10	7, 9	bitr4i 280	. . . 4 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦 ↔ 𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
11		df-br 5076	. . . . . 6 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧 ↔ ⟨𝑋, 𝑧⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
12	8, 4	elimasn 6049	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑧⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
13	11, 12	bitr4i 280	. . . . 5 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧 ↔ 𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
14	13	imbi2i 338	. . . 4 ⊢ ((𝑦𝑅𝑧 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧) ↔ (𝑦𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
15	6, 10, 14	3imtr3i 293	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (𝑦𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
16	15	alrimiv 1935	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → ∀𝑧(𝑦𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
17	1, 16	mpg 1805	1 ⊢ 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1546   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ∪ cun 3883  {csn 4558  ⟨cop 4564   class class class wbr 5075   I cid 5515   “ cima 5624  ‘cfv 6489  t+ctcl 14942   hereditary whe 44231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-frege1 44249  ax-frege2 44250  ax-frege8 44268  ax-frege28 44289  ax-frege31 44293  ax-frege41 44304  ax-frege52a 44316  ax-frege52c 44347  ax-frege58b 44360

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-ifp 1070  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-seq 13959  df-trcl 14944  df-relexp 14977  df-he 44232

This theorem is referenced by:  frege110  44432