Theorem frege109 43949

Description: The property of belonging to the 𝑅-sequence beginning with 𝑋 is hereditary in the 𝑅-sequence. Proposition 109 of [Frege1879] p. 74. (Contributed by RP, 7-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege109.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
frege109.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝑉

Assertion

Ref	Expression
frege109	⊢ 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})

Proof of Theorem frege109

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege75 43915	. 2 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → ∀𝑧(𝑦𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))) → 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
2		frege109.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑈
3		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
4		vex 3440	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
5		frege109.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ 𝑉
6	2, 3, 4, 5	frege108 43948	. . . 4 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦 → (𝑦𝑅𝑧 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧))
7		df-br 5093	. . . . 5 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦 ↔ ⟨𝑋, 𝑦⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
8	2	elexi 3459	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
9	8, 3	elimasn 6041	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑦⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
10	7, 9	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑦 ↔ 𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
11		df-br 5093	. . . . . 6 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧 ↔ ⟨𝑋, 𝑧⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
12	8, 4	elimasn 6041	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑧⟩ ∈ ((t+‘𝑅) ∪ I ))
13	11, 12	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧 ↔ 𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}))
14	13	imbi2i 336	. . . 4 ⊢ ((𝑦𝑅𝑧 → 𝑋((t+‘𝑅) ∪ I )𝑧) ↔ (𝑦𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
15	6, 10, 14	3imtr3i 291	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → (𝑦𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
16	15	alrimiv 1927	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋}) → ∀𝑧(𝑦𝑅𝑧 → 𝑧 ∈ (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})))
17	1, 16	mpg 1797	1 ⊢ 𝑅 hereditary (((t+‘𝑅) ∪ I ) “ {𝑋})

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1538   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∪ cun 3901  {csn 4577  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092   I cid 5513   “ cima 5622  ‘cfv 6482  t+ctcl 14892   hereditary whe 43749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-frege1 43767  ax-frege2 43768  ax-frege8 43786  ax-frege28 43807  ax-frege31 43811  ax-frege41 43822  ax-frege52a 43834  ax-frege52c 43865  ax-frege58b 43878

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-seq 13909  df-trcl 14894  df-relexp 14927  df-he 43750

This theorem is referenced by:  frege110  43950