MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0add1fz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz0add1fz1 13111
Description: Translate membership in a 0-based half-open integer range into membership in a 1-based finite sequence of integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fz0add1fz1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem fz0add1fz1
StepHypRef Expression
1 1z 12009 . . . 4 1 ∈ ℤ
2 fzoaddel 13094 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)))
31, 2mpan2 690 . . 3 (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → (𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)))
43adantl 485 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)))
5 0p1e1 11756 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
65oveq1i 7159 . . . . 5 ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)) = (1..^(𝑁 + 1))
7 nn0z 12002 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
8 fzval3 13110 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (1...𝑁) = (1..^(𝑁 + 1)))
98eqcomd 2830 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (1..^(𝑁 + 1)) = (1...𝑁))
107, 9syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1..^(𝑁 + 1)) = (1...𝑁))
116, 10syl5eq 2871 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)) = (1...𝑁))
1211eleq2d 2901 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁)))
1312adantr 484 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁)))
144, 13mpbid 235 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538  0cn0 11894  cz 11978  ...cfz 12894  ..^cfzo 13037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038
This theorem is referenced by:  wwlksnredwwlkn  27688  wwlksnextproplem1  27702  fargshiftf  43888  fargshiftf1  43889  fargshiftfo  43890  fargshiftfva  43891
  Copyright terms: Public domain W3C validator