Theorem fz0add1fz1 13655

Description: Translate membership in a 0-based half-open integer range into membership in a 1-based finite sequence of integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fz0add1fz1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem fz0add1fz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12525	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		fzoaddel 13637	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)))
3	1, 2	mpan2 692	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → (𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)))
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)))
5		0p1e1 12266	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
6	5	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)) = (1..^(𝑁 + 1))
7		nn0z 12516	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		fzval3 13654	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1...𝑁) = (1..^(𝑁 + 1)))
9	8	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1..^(𝑁 + 1)) = (1...𝑁))
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1..^(𝑁 + 1)) = (1...𝑁))
11	6, 10	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)) = (1...𝑁))
12	11	eleq2d 2823	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁)))
13	12	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁)))
14	4, 13	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ...cfz 13427  ..^cfzo 13574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575

This theorem is referenced by:  chnlt  18550  wwlksnredwwlkn  29951  wwlksnextproplem1  29965  gsummptp1  33121  gsummulsubdishift1  33132  vietalem  33716  chnerlem2  47163  fargshiftf  47722  fargshiftf1  47723  fargshiftfo  47724  fargshiftfva  47725