Theorem fz0add1fz1 13727

Description: Translate membership in a 0-based half-open integer range into membership in a 1-based finite sequence of integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fz0add1fz1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem fz0add1fz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12587	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		fzoaddel 13709	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)))
3	1, 2	mpan2 699	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → (𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)))
4	3	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)))
5		0p1e1 12324	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
6	5	oveq1i 7391	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)) = (1..^(𝑁 + 1))
7		nn0z 12578	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		fzval3 13726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1...𝑁) = (1..^(𝑁 + 1)))
9	8	eqcomd 2758	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1..^(𝑁 + 1)) = (1...𝑁))
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1..^(𝑁 + 1)) = (1...𝑁))
11	6, 10	eqtrid 2799	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)) = (1...𝑁))
12	11	eleq2d 2838	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁)))
13	12	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁)))
14	4, 13	mpbid 234	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  (class class class)co 7381  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  ℕ₀cn0 12467  ℤcz 12554  ...cfz 13498  ..^cfzo 13645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-fz 13499  df-fzo 13646

This theorem is referenced by:  chnlt  18627  wwlksnredwwlkn  30030  wwlksnextproplem1  30044  gsummptp1  33187  gsummulsubdishift1  33198  vietalem  33820  chnerlem2  47397  fargshiftf  47984  fargshiftf1  47985  fargshiftfo  47986  fargshiftfva  47987