Theorem fz0add1fz1 13527

Description: Translate membership in a 0-based half-open integer range into membership in a 1-based finite sequence of integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fz0add1fz1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem fz0add1fz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12420	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		fzoaddel 13510	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)))
3	1, 2	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → (𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)))
4	3	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)))
5		0p1e1 12165	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
6	5	oveq1i 7323	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)) = (1..^(𝑁 + 1))
7		nn0z 12413	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		fzval3 13526	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1...𝑁) = (1..^(𝑁 + 1)))
9	8	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1..^(𝑁 + 1)) = (1...𝑁))
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1..^(𝑁 + 1)) = (1...𝑁))
11	6, 10	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)) = (1...𝑁))
12	11	eleq2d 2823	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁)))
13	12	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑋 + 1) ∈ ((0 + 1)..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁)))
14	4, 13	mpbid 231	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑋 + 1) ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7313  0cc0 10941  1c1 10942   + caddc 10944  ℕ₀cn0 12303  ℤcz 12389  ...cfz 13309  ..^cfzo 13452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-fz 13310  df-fzo 13453

This theorem is referenced by:  wwlksnredwwlkn  28368  wwlksnextproplem1  28382  fargshiftf  45151  fargshiftf1  45152  fargshiftfo  45153  fargshiftfva  45154