Theorem wwlksnextproplem1 29854

Description: Lemma 1 for wwlksnextprop 29857. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jul-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Revised by AV, 29-Oct-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnextproplem1	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem wwlksnextproplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknbp1 29789	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)))
2		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3		peano2nn0 12424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
4	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
5		eleq1 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0))
6	5	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0))
7	4, 6	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		nn0re 12393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
11	10	lep1d 12056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
13		breq2 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
14	13	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
15	12, 14	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))
17		nn0p1elfzo 13605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
18	9, 8, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
19		fz0add1fz1 13638	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
20	8, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
21	2, 20	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊))))
22	21	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))))
23	1, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))))
24		wwlksnextprop.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
25	23, 24	eleq2s 2846	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))))
26	25	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊))))
27		pfxfv0 14598	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑊‘0))
28	26, 27	syl 17	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 prefix (𝑁 + 1))‘0) = (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   ≤ cle 11150  ℕ₀cn0 12384  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557  ♯chash 14237  Word cword 14420   prefix cpfx 14577  Vtxcvtx 28941   WWalksN cwwlksn 29771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-substr 14548  df-pfx 14578  df-wwlks 29775  df-wwlksn 29776

This theorem is referenced by:  wwlksnextproplem3  29856  wwlksnextprop  29857