Theorem fzo0to42pr 13714

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12459	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12461	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 12260	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 12270	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 12356	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 11297	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 13579	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1342	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 13653	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 13711	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 12567	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 13621	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4m1e3 12310	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
16		df-3 12250	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
17	15, 16	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
18	17	oveq2i 7398	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19		2z 12565	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 13540	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22	18, 21	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23		2p1e3 12323	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	preq2i 4701	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
25	14, 22, 24	3eqtri 2756	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
26	11, 25	uneq12i 4129	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
27	10, 26	eqtri 2752	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3912  {cpr 4591   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   ≤ cle 11209   − cmin 11405  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616

This theorem is referenced by:  3pthdlem1  30093  upgr4cycl4dv4e  30114  evl1deg3  33547  gpgprismgr4cycllem3  48087  gpgprismgr4cycllem7  48091  gpgprismgr4cycllem10  48094