Theorem fzo0to42pr 13673

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12422	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12424	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 12223	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 12233	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 12319	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 11260	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 13538	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1343	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 13612	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 13670	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 12529	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 13580	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4m1e3 12273	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
16		df-3 12213	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
17	15, 16	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
18	17	oveq2i 7371	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19		2z 12527	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 13499	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22	18, 21	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23		2p1e3 12286	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	preq2i 4695	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
25	14, 22, 24	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
26	11, 25	uneq12i 4119	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
27	10, 26	eqtri 2760	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3900  {cpr 4583   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   ≤ cle 11171   − cmin 11368  2c2 12204  3c3 12205  4c4 12206  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ...cfz 13427  ..^cfzo 13574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575

This theorem is referenced by:  3pthdlem1  30243  upgr4cycl4dv4e  30264  evl1deg3  33661  gpgprismgr4cycllem3  48410  gpgprismgr4cycllem7  48414  gpgprismgr4cycllem10  48417