Theorem fzo0to42pr 13888

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12623	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12625	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 12417	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 12427	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 12520	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 11433	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 13752	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1360	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 13827	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 13885	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 12730	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 13794	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4m1e3 12471	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
16		df-3 12406	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
17	15, 16	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
18	17	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19		2z 12728	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 13713	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22	18, 21	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23		2p1e3 12484	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	preq2i 4698	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
25	14, 22, 24	3eqtri 2788	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
26	11, 25	uneq12i 4113	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
27	10, 26	eqtri 2784	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897  {cpr 4586   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   ≤ cle 11344   − cmin 11541  2c2 12397  3c3 12398  4c4 12399  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ...cfz 13639  ..^cfzo 13788

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789

This theorem is used by:  3pthdlem1  30765  upgr4cycl4dv4e  30786  evl1deg3  34110  gpgprismgr4cycllem3  49194  gpgprismgr4cycllem7  49198  gpgprismgr4cycllem10  49201