Theorem fzo0to42pr 13725

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12493	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12495	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 12290	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 12300	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 12391	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 11341	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 13598	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1338	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 13671	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 13723	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 12600	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 13639	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4m1e3 12345	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
16		df-3 12280	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
17	15, 16	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
18	17	oveq2i 7416	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19		2z 12598	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 13562	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22	18, 21	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23		2p1e3 12358	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	preq2i 4736	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
25	14, 22, 24	3eqtri 2758	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
26	11, 25	uneq12i 4156	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
27	10, 26	eqtri 2754	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3941  {cpr 4625   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ≤ cle 11253   − cmin 11448  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634

This theorem is referenced by:  3pthdlem1  29926  upgr4cycl4dv4e  29947