Theorem fzo0to42pr 13761

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12500	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12502	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 12294	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 12304	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 12397	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 11308	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 13625	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1356	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 13700	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 13758	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 12607	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 13667	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4m1e3 12348	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
16		df-3 12283	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
17	15, 16	eqtri 2787	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
18	17	oveq2i 7409	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19		2z 12605	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 13586	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22	18, 21	eqtri 2787	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23		2p1e3 12361	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	preq2i 4698	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
25	14, 22, 24	3eqtri 2791	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
26	11, 25	uneq12i 4121	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
27	10, 26	eqtri 2787	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ∪ cun 3904  {cpr 4586   class class class wbr 5102  (class class class)co 7398  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   ≤ cle 11219   − cmin 11416  2c2 12274  3c3 12275  4c4 12276  ℕ₀cn0 12483  ℤcz 12570  ...cfz 13514  ..^cfzo 13661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662

This theorem is referenced by:  3pthdlem1  30368  upgr4cycl4dv4e  30389  evl1deg3  33776  gpgprismgr4cycllem3  48724  gpgprismgr4cycllem7  48728  gpgprismgr4cycllem10  48731