Theorem fzo0to42pr 13782

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12521	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12523	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 12315	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 12325	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 12418	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 11333	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 13646	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1358	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 13721	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 13779	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 12628	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 13688	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4m1e3 12369	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
16		df-3 12304	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
17	15, 16	eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
18	17	oveq2i 7422	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19		2z 12626	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 13607	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22	18, 21	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23		2p1e3 12382	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	preq2i 4708	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
25	14, 22, 24	3eqtri 2796	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
26	11, 25	uneq12i 4128	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
27	10, 26	eqtri 2792	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911  {cpr 4596   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   ≤ cle 11244   − cmin 11441  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  ...cfz 13535  ..^cfzo 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683

This theorem is referenced by:  3pthdlem1  30456  upgr4cycl4dv4e  30477  evl1deg3  33813  gpgprismgr4cycllem3  48785  gpgprismgr4cycllem7  48789  gpgprismgr4cycllem10  48792