Theorem fzo0to42pr 13402

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12180	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12182	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 11977	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 11987	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 12078	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 11028	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 13276	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1339	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 13348	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 13400	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 12284	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 13317	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4m1e3 12032	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
16		df-3 11967	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
17	15, 16	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
18	17	oveq2i 7266	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19		2z 12282	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 13240	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22	18, 21	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23		2p1e3 12045	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	preq2i 4670	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
25	14, 22, 24	3eqtri 2770	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
26	11, 25	uneq12i 4091	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
27	10, 26	eqtri 2766	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881  {cpr 4560   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   ≤ cle 10941   − cmin 11135  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312

This theorem is referenced by:  3pthdlem1  28429  upgr4cycl4dv4e  28450