Theorem fzo0to42pr 13901

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12636	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12638	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 12430	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 12440	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 12533	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 11446	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 13765	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1360	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 13840	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 13898	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 12743	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 13807	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4m1e3 12484	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
16		df-3 12419	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
17	15, 16	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
18	17	oveq2i 7441	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19		2z 12741	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 13726	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22	18, 21	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23		2p1e3 12497	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	preq2i 4698	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
25	14, 22, 24	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
26	11, 25	uneq12i 4168	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
27	10, 26	eqtri 2786	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ∪ cun 4152  {cpr 4590   class class class wbr 5106  (class class class)co 7430  0cc0 11213  1c1 11214   + caddc 11216   ≤ cle 11357   − cmin 11554  2c2 12410  3c3 12411  4c4 12412  ℕ₀cn0 12619  ℤcz 12706  ...cfz 13652  ..^cfzo 13801

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-fzo 13802

This theorem is used by:  3pthdlem1  30780  upgr4cycl4dv4e  30801  evl1deg3  34166  gpgprismgr4cycllem3  49340  gpgprismgr4cycllem7  49344  gpgprismgr4cycllem10  49347