Theorem fzo0to42pr 13803

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12540	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12542	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 12334	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 12344	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 12437	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 11352	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 13667	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1360	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 13742	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 13800	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 12647	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 13709	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4m1e3 12388	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
16		df-3 12323	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
17	15, 16	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
18	17	oveq2i 7430	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19		2z 12645	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 13628	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22	18, 21	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23		2p1e3 12401	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	preq2i 4705	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
25	14, 22, 24	3eqtri 2792	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
26	11, 25	uneq12i 4120	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
27	10, 26	eqtri 2788	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3904  {cpr 4593   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  0cc0 11119  1c1 11120   + caddc 11122   ≤ cle 11263   − cmin 11460  2c2 12314  3c3 12315  4c4 12316  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ...cfz 13555  ..^cfzo 13703

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-fzo 13704

This theorem is used by:  3pthdlem1  30590  upgr4cycl4dv4e  30611  evl1deg3  33936  gpgprismgr4cycllem3  48939  gpgprismgr4cycllem7  48943  gpgprismgr4cycllem10  48946