Theorem fzo0to42pr 13749

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12517	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12519	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 12314	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 12324	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 12415	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 11365	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 13622	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1338	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 13695	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 13747	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 12624	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 13663	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4m1e3 12369	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
16		df-3 12304	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
17	15, 16	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
18	17	oveq2i 7426	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19		2z 12622	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 13586	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22	18, 21	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23		2p1e3 12382	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	preq2i 4737	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
25	14, 22, 24	3eqtri 2757	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
26	11, 25	uneq12i 4154	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
27	10, 26	eqtri 2753	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3938  {cpr 4626   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   ≤ cle 11277   − cmin 11472  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12586  ...cfz 13514  ..^cfzo 13657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658

This theorem is referenced by:  3pthdlem1  30016  upgr4cycl4dv4e  30037