Theorem fzo0to42pr 12978

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11768	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 11770	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 11565	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 11575	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 11666	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 10616	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 12852	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1334	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 12924	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 12976	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 11870	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 12893	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4m1e3 11620	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
16		df-3 11555	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
17	15, 16	eqtri 2821	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
18	17	oveq2i 7034	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19		2z 11868	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 12816	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22	18, 21	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23		2p1e3 11633	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	preq2i 4586	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
25	14, 22, 24	3eqtri 2825	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
26	11, 25	uneq12i 4064	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
27	10, 26	eqtri 2821	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   ∪ cun 3863  {cpr 4480   class class class wbr 4968  (class class class)co 7023  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393   ≤ cle 10529   − cmin 10723  2c2 11546  3c3 11547  4c4 11548  ℕ₀cn0 11751  ℤcz 11835  ...cfz 12746  ..^cfzo 12887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888

This theorem is referenced by:  3pthdlem1  27629  upgr4cycl4dv4e  27650