Theorem fzo0to42pr 13787

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12525	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12527	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 12319	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 12329	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 12422	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 11337	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 13651	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1360	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 13726	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 13784	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 12632	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 13693	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4m1e3 12373	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
16		df-3 12308	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
17	15, 16	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
18	17	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19		2z 12630	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 13612	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22	18, 21	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23		2p1e3 12386	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	preq2i 4703	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
25	14, 22, 24	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
26	11, 25	uneq12i 4120	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
27	10, 26	eqtri 2786	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3903  {cpr 4591   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107   ≤ cle 11248   − cmin 11445  2c2 12299  3c3 12300  4c4 12301  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12595  ...cfz 13539  ..^cfzo 13687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688

This theorem is used by:  3pthdlem1  30524  upgr4cycl4dv4e  30545  evl1deg3  33877  gpgprismgr4cycllem3  48890  gpgprismgr4cycllem7  48894  gpgprismgr4cycllem10  48897