MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0to42pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzo0to42pr 13666
Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzo0to42pr (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 12437 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 4nn0 12439 . . . 4 4 ∈ ℕ0
3 2re 12234 . . . . 5 2 ∈ ℝ
4 4re 12244 . . . . 5 4 ∈ ℝ
5 2lt4 12335 . . . . 5 2 < 4
63, 4, 5ltleii 11285 . . . 4 2 ≤ 4
7 elfz2nn0 13539 . . . 4 (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
81, 2, 6, 7mpbir3an 1342 . . 3 2 ∈ (0...4)
9 fzosplit 13612 . . 3 (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
108, 9ax-mp 5 . 2 (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11 fzo0to2pr 13664 . . 3 (0..^2) = {0, 1}
12 4z 12544 . . . . 5 4 ∈ ℤ
13 fzoval 13580 . . . . 5 (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (2..^4) = (2...(4 − 1))
15 4m1e3 12289 . . . . . . 7 (4 − 1) = 3
16 df-3 12224 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
1715, 16eqtri 2765 . . . . . 6 (4 − 1) = (2 + 1)
1817oveq2i 7373 . . . . 5 (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19 2z 12542 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
20 fzpr 13503 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
2218, 21eqtri 2765 . . . 4 (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23 2p1e3 12302 . . . . 5 (2 + 1) = 3
2423preq2i 4703 . . . 4 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
2514, 22, 243eqtri 2769 . . 3 (2..^4) = {2, 3}
2611, 25uneq12i 4126 . 2 ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
2710, 26eqtri 2765 1 (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3913  {cpr 4593   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  cle 11197  cmin 11392  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  0cn0 12420  cz 12506  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575
This theorem is referenced by:  3pthdlem1  29150  upgr4cycl4dv4e  29171
  Copyright terms: Public domain W3C validator