Theorem fzo0to42pr 13127

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11917	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 11919	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 11714	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 11724	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 11815	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 10765	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 13001	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1337	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 13073	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 13125	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 12019	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 13042	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4m1e3 11769	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
16		df-3 11704	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
17	15, 16	eqtri 2846	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
18	17	oveq2i 7169	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19		2z 12017	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 12965	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22	18, 21	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23		2p1e3 11782	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	preq2i 4675	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
25	14, 22, 24	3eqtri 2850	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
26	11, 25	uneq12i 4139	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
27	10, 26	eqtri 2846	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3936  {cpr 4571   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   ≤ cle 10678   − cmin 10872  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ...cfz 12895  ..^cfzo 13036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037

This theorem is referenced by:  3pthdlem1  27945  upgr4cycl4dv4e  27966