MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0to42pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzo0to42pr 13726
Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzo0to42pr (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 12496 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 4nn0 12498 . . . 4 4 ∈ ℕ0
3 2re 12293 . . . . 5 2 ∈ ℝ
4 4re 12303 . . . . 5 4 ∈ ℝ
5 2lt4 12394 . . . . 5 2 < 4
63, 4, 5ltleii 11344 . . . 4 2 ≤ 4
7 elfz2nn0 13599 . . . 4 (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
81, 2, 6, 7mpbir3an 1340 . . 3 2 ∈ (0...4)
9 fzosplit 13672 . . 3 (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
108, 9ax-mp 5 . 2 (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11 fzo0to2pr 13724 . . 3 (0..^2) = {0, 1}
12 4z 12603 . . . . 5 4 ∈ ℤ
13 fzoval 13640 . . . . 5 (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (2..^4) = (2...(4 − 1))
15 4m1e3 12348 . . . . . . 7 (4 − 1) = 3
16 df-3 12283 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
1715, 16eqtri 2759 . . . . . 6 (4 − 1) = (2 + 1)
1817oveq2i 7423 . . . . 5 (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19 2z 12601 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
20 fzpr 13563 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
2218, 21eqtri 2759 . . . 4 (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23 2p1e3 12361 . . . . 5 (2 + 1) = 3
2423preq2i 4741 . . . 4 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
2514, 22, 243eqtri 2763 . . 3 (2..^4) = {2, 3}
2611, 25uneq12i 4161 . 2 ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
2710, 26eqtri 2759 1 (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2105  cun 3946  {cpr 4630   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119  cle 11256  cmin 11451  2c2 12274  3c3 12275  4c4 12276  0cn0 12479  cz 12565  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635
This theorem is referenced by:  3pthdlem1  29850  upgr4cycl4dv4e  29871
  Copyright terms: Public domain W3C validator