Theorem fzo0to42pr 13215

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11993	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 11995	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 11790	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 11800	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 11891	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 10841	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 13089	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1342	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 13161	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 13213	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 12097	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 13130	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4m1e3 11845	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
16		df-3 11780	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
17	15, 16	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
18	17	oveq2i 7181	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19		2z 12095	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 13053	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22	18, 21	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23		2p1e3 11858	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	preq2i 4628	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
25	14, 22, 24	3eqtri 2765	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
26	11, 25	uneq12i 4051	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
27	10, 26	eqtri 2761	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3841  {cpr 4518   class class class wbr 5030  (class class class)co 7170  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   ≤ cle 10754   − cmin 10948  2c2 11771  3c3 11772  4c4 11773  ℕ₀cn0 11976  ℤcz 12062  ...cfz 12981  ..^cfzo 13124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125

This theorem is referenced by:  3pthdlem1  28101  upgr4cycl4dv4e  28122