Theorem fzo0to42pr 13831

Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to42pr	⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12567	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 12569	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3		2re 12361	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 12371	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 12464	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 11379	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 4
7		elfz2nn0 13695	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1360	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
9		fzosplit 13770	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
10	8, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11		fzo0to2pr 13828	. . 3 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
12		4z 12674	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
13		fzoval 13737	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2..^4) = (2...(4 − 1))
15		4m1e3 12415	. . . . . . 7 ⊢ (4 − 1) = 3
16		df-3 12350	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
17	15, 16	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (4 − 1) = (2 + 1)
18	17	oveq2i 7426	. . . . 5 ⊢ (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19		2z 12672	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20		fzpr 13656	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
22	18, 21	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23		2p1e3 12428	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
24	23	preq2i 4698	. . . 4 ⊢ {2, (2 + 1)} = {2, 3}
25	14, 22, 24	3eqtri 2787	. . 3 ⊢ (2..^4) = {2, 3}
26	11, 25	uneq12i 4113	. 2 ⊢ ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
27	10, 26	eqtri 2783	1 ⊢ (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897  {cpr 4586   class class class wbr 5103  (class class class)co 7415  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ≤ cle 11290   − cmin 11487  2c2 12341  3c3 12342  4c4 12343  ℕ₀cn0 12550  ℤcz 12637  ...cfz 13583  ..^cfzo 13731

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-nn 12280  df-2 12349  df-3 12350  df-4 12351  df-n0 12551  df-z 12638  df-uz 12910  df-fz 13584  df-fzo 13732

This theorem is used by:  3pthdlem1  30673  upgr4cycl4dv4e  30694  evl1deg3  34018  gpgprismgr4cycllem3  49027  gpgprismgr4cycllem7  49031  gpgprismgr4cycllem10  49034