MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0to42pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzo0to42pr 13215
Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzo0to42pr (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 11993 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 4nn0 11995 . . . 4 4 ∈ ℕ0
3 2re 11790 . . . . 5 2 ∈ ℝ
4 4re 11800 . . . . 5 4 ∈ ℝ
5 2lt4 11891 . . . . 5 2 < 4
63, 4, 5ltleii 10841 . . . 4 2 ≤ 4
7 elfz2nn0 13089 . . . 4 (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
81, 2, 6, 7mpbir3an 1342 . . 3 2 ∈ (0...4)
9 fzosplit 13161 . . 3 (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
108, 9ax-mp 5 . 2 (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11 fzo0to2pr 13213 . . 3 (0..^2) = {0, 1}
12 4z 12097 . . . . 5 4 ∈ ℤ
13 fzoval 13130 . . . . 5 (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (2..^4) = (2...(4 − 1))
15 4m1e3 11845 . . . . . . 7 (4 − 1) = 3
16 df-3 11780 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
1715, 16eqtri 2761 . . . . . 6 (4 − 1) = (2 + 1)
1817oveq2i 7181 . . . . 5 (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
19 2z 12095 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
20 fzpr 13053 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
2218, 21eqtri 2761 . . . 4 (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
23 2p1e3 11858 . . . . 5 (2 + 1) = 3
2423preq2i 4628 . . . 4 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
2514, 22, 243eqtri 2765 . . 3 (2..^4) = {2, 3}
2611, 25uneq12i 4051 . 2 ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
2710, 26eqtri 2761 1 (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2114  cun 3841  {cpr 4518   class class class wbr 5030  (class class class)co 7170  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618  cle 10754  cmin 10948  2c2 11771  3c3 11772  4c4 11773  0cn0 11976  cz 12062  ...cfz 12981  ..^cfzo 13124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125
This theorem is referenced by:  3pthdlem1  28101  upgr4cycl4dv4e  28122
  Copyright terms: Public domain W3C validator