Theorem fztp 13604

Description: A finite interval of integers with three elements. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fztp	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 2)) = {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)})

Proof of Theorem fztp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 12872	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		peano2uz 12920	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		fzsuc 13595	. . 3 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...((𝑀 + 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}))
4	1, 2, 3	3syl 19	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 + 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}))
5		zcn 12591	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
6		ax-1cn 11153	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		addass 11182	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1)))
8	6, 6, 7	mp3an23 1482	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1)))
9	5, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1)))
10		df-2 12298	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
11	10	oveq2i 7421	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 2) = (𝑀 + (1 + 1))
12	9, 11	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + 2))
13	12	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 + 1) + 1)) = (𝑀...(𝑀 + 2)))
14		fzpr 13603	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
15	12	sneqd 4601	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → {((𝑀 + 1) + 1)} = {(𝑀 + 2)})
16	14, 15	uneq12d 4123	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}) = ({𝑀, (𝑀 + 1)} ∪ {(𝑀 + 2)}))
17		df-tp 4594	. . 3 ⊢ {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)} = ({𝑀, (𝑀 + 1)} ∪ {(𝑀 + 2)})
18	16, 17	eqtr4di 2816	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}) = {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)})
19	4, 13, 18	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 2)) = {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3903  {csn 4589  {cpr 4591  {ctp 4593  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  1c1 11096   + caddc 11098  2c2 12290  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531

This theorem is referenced by:  fztpval  13610  fz0tp  13652  fz0to5un2tp  13655  fzo0to3tp  13777  fzo1to4tp  13779  1cubr  27007  rabren3dioph  43542  nnsum4primesodd  48561  nnsum4primesoddALTV  48562