MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fztp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fztp 13498
Description: A finite interval of integers with three elements. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fztp (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 2)) = {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)})

Proof of Theorem fztp
StepHypRef Expression
1 uzid 12779 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2 peano2uz 12827 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
3 fzsuc 13489 . . 3 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...((𝑀 + 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 + 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}))
5 zcn 12505 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
6 ax-1cn 11110 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
7 addass 11139 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1)))
86, 6, 7mp3an23 1454 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1)))
95, 8syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1)))
10 df-2 12217 . . . . 5 2 = (1 + 1)
1110oveq2i 7369 . . . 4 (𝑀 + 2) = (𝑀 + (1 + 1))
129, 11eqtr4di 2795 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + 2))
1312oveq2d 7374 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 + 1) + 1)) = (𝑀...(𝑀 + 2)))
14 fzpr 13497 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
1512sneqd 4599 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → {((𝑀 + 1) + 1)} = {(𝑀 + 2)})
1614, 15uneq12d 4125 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}) = ({𝑀, (𝑀 + 1)} ∪ {(𝑀 + 2)}))
17 df-tp 4592 . . 3 {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)} = ({𝑀, (𝑀 + 1)} ∪ {(𝑀 + 2)})
1816, 17eqtr4di 2795 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}) = {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)})
194, 13, 183eqtr3d 2785 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 2)) = {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3909  {csn 4587  {cpr 4589  {ctp 4591  cfv 6497  (class class class)co 7358  cc 11050  1c1 11053   + caddc 11055  2c2 12209  cz 12500  cuz 12764  ...cfz 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426
This theorem is referenced by:  fztpval  13504  fz0tp  13543  fz0to4untppr  13545  fzo0to3tp  13659  fzo1to4tp  13661  1cubr  26195  rabren3dioph  41141  nnsum4primesodd  45995  nnsum4primesoddALTV  45996
  Copyright terms: Public domain W3C validator