Theorem fzonn0p1p1 13780

Description: If a nonnegative integer is element of a half-open range of nonnegative integers, increasing this integer by one results in an element of a half- open range of nonnegative integers with the upper bound increased by one. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzonn0p1p1	⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fzonn0p1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13737	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
2		peano2nn0 12564	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
3	2	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
4		peano2nn 12276	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
5	4	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
6		simp3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 < 𝑁)
7		nn0re 12533	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
8		nnre 12271	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
9		1red 11260	. . . . 5 ⊢ (𝐼 < 𝑁 → 1 ∈ ℝ)
10		ltadd1 11728	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐼 < 𝑁 ↔ (𝐼 + 1) < (𝑁 + 1)))
11	7, 8, 9, 10	syl3an 1159	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 < 𝑁 ↔ (𝐼 + 1) < (𝑁 + 1)))
12	6, 11	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 + 1) < (𝑁 + 1))
13		elfzo0 13737	. . 3 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) < (𝑁 + 1)))
14	3, 5, 12, 13	syl3anbrc 1342	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
15	1, 14	sylbi 217	1 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ..^cfzo 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692

This theorem is referenced by:  wwlksnext  29923  wwlksext2clwwlk  30086  wwlksubclwwlk  30087  revwlk  35109