Theorem fzossfzop1 13766

Description: A half-open range of nonnegative integers is a subset of a half-open range of nonnegative integers with the upper bound increased by one. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzossfzop1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem fzossfzop1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12637	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		peano2z 12657	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4		zre 12616	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5	4	lep1d 12199	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
6	2, 3, 5	3jca 1125	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
8		eluz2 12882	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
9	7, 8	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
10		fzoss2 13716	. 2 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
11	9, 10	syl 17	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5155  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426  0cc0 11160  1c1 11161   + caddc 11163   ≤ cle 11301  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12612  ℤ_≥cuz 12876  ..^cfzo 13683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12613  df-uz 12877  df-fz 13541  df-fzo 13684

This theorem is referenced by:  wwlksnred  29829  wwlksnext  29830  ccatws1f1o  32817  ccatws1f1olast  32818  chnlt  32884  cycpmco2  33013  1arithidomlem2  33413  dfufd2lem  33426  iwrdsplit  34223  reprsuc  34463  breprexplema  34478  revwlk  34954