Theorem g0wlk0 29631

Description: There is no walk in a null graph (a class without vertices). (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
g0wlk0	⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem g0wlk0

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. 2 ⊢ ((Walks‘𝐺) = ∅ → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
2		neq0 4301	. . 3 ⊢ (¬ (Walks‘𝐺) = ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺))
3		wlkv0 29630	. . . . . 6 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺)) → ((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅))
4		wlkcpr 29609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ↔ (1st ‘𝑤)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑤))
5		wlkn0 29601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1st ‘𝑤)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑤) → (2nd ‘𝑤) ≠ ∅)
6		eqneqall 2940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2nd ‘𝑤) = ∅ → ((2nd ‘𝑤) ≠ ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
7	6	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅) → ((2nd ‘𝑤) ≠ ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
8	5, 7	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ((1st ‘𝑤)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑤) → (((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅) → (Walks‘𝐺) = ∅))
9	4, 8	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → (((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅) → (Walks‘𝐺) = ∅))
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺)) → (((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅) → (Walks‘𝐺) = ∅))
11	3, 10	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺)) → (Walks‘𝐺) = ∅)
12	11	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
13	12	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
14	2, 13	sylbi 217	. 2 ⊢ (¬ (Walks‘𝐺) = ∅ → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
15	1, 14	pm2.61i 182	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∅c0 4282   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  1^st c1st 7925  2^nd c2nd 7926  Vtxcvtx 28976  Walkscwlks 29577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-wlks 29580

This theorem is referenced by:  0wlk0  29632  wlk0prc  29633  acycgr0v  35213  prclisacycgr  35216