MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  g0wlk0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem g0wlk0 28598
Description: There is no walk in a null graph (a class without vertices). (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
g0wlk0 ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem g0wlk0
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . 2 ((Walks‘𝐺) = ∅ → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
2 neq0 4305 . . 3 (¬ (Walks‘𝐺) = ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺))
3 wlkv0 28597 . . . . . 6 (((Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺)) → ((1st𝑤) = ∅ ∧ (2nd𝑤) = ∅))
4 wlkcpr 28575 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ↔ (1st𝑤)(Walks‘𝐺)(2nd𝑤))
5 wlkn0 28567 . . . . . . . . 9 ((1st𝑤)(Walks‘𝐺)(2nd𝑤) → (2nd𝑤) ≠ ∅)
6 eqneqall 2954 . . . . . . . . . 10 ((2nd𝑤) = ∅ → ((2nd𝑤) ≠ ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
76adantl 482 . . . . . . . . 9 (((1st𝑤) = ∅ ∧ (2nd𝑤) = ∅) → ((2nd𝑤) ≠ ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
85, 7syl5com 31 . . . . . . . 8 ((1st𝑤)(Walks‘𝐺)(2nd𝑤) → (((1st𝑤) = ∅ ∧ (2nd𝑤) = ∅) → (Walks‘𝐺) = ∅))
94, 8sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → (((1st𝑤) = ∅ ∧ (2nd𝑤) = ∅) → (Walks‘𝐺) = ∅))
109adantl 482 . . . . . 6 (((Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺)) → (((1st𝑤) = ∅ ∧ (2nd𝑤) = ∅) → (Walks‘𝐺) = ∅))
113, 10mpd 15 . . . . 5 (((Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺)) → (Walks‘𝐺) = ∅)
1211expcom 414 . . . 4 (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
1312exlimiv 1933 . . 3 (∃𝑤 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
142, 13sylbi 216 . 2 (¬ (Walks‘𝐺) = ∅ → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
151, 14pm2.61i 182 1 ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  c0 4282   class class class wbr 5105  cfv 6496  1st c1st 7918  2nd c2nd 7919  Vtxcvtx 27945  Walkscwlks 28542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-hash 14230  df-word 14402  df-wlks 28545
This theorem is referenced by:  0wlk0  28599  wlk0prc  28600  acycgr0v  33733  prclisacycgr  33736
  Copyright terms: Public domain W3C validator