Theorem g0wlk0 29724

Description: There is no walk in a null graph (a class without vertices). (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
g0wlk0	⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem g0wlk0

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. 2 ⊢ ((Walks‘𝐺) = ∅ → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
2		neq0 4304	. . 3 ⊢ (¬ (Walks‘𝐺) = ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺))
3		wlkv0 29723	. . . . . 6 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺)) → ((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅))
4		wlkcpr 29702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ↔ (1st ‘𝑤)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑤))
5		wlkn0 29694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1st ‘𝑤)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑤) → (2nd ‘𝑤) ≠ ∅)
6		eqneqall 2943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2nd ‘𝑤) = ∅ → ((2nd ‘𝑤) ≠ ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
7	6	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅) → ((2nd ‘𝑤) ≠ ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
8	5, 7	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ((1st ‘𝑤)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑤) → (((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅) → (Walks‘𝐺) = ∅))
9	4, 8	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → (((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅) → (Walks‘𝐺) = ∅))
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺)) → (((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅) → (Walks‘𝐺) = ∅))
11	3, 10	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺)) → (Walks‘𝐺) = ∅)
12	11	expcom 413	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
13	12	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
14	2, 13	sylbi 217	. 2 ⊢ (¬ (Walks‘𝐺) = ∅ → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
15	1, 14	pm2.61i 182	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932  Vtxcvtx 29069  Walkscwlks 29670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-wlks 29673

This theorem is referenced by:  0wlk0  29725  wlk0prc  29726  acycgr0v  35342  prclisacycgr  35345