Theorem g0wlk0 30037

Description: There is no walk in a null graph (a class without vertices). (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
g0wlk0	⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem g0wlk0

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. 2 ⊢ ((Walks‘𝐺) = ∅ → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
2		neq0 4309	. . 3 ⊢ (¬ (Walks‘𝐺) = ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺))
3		wlkv0 30036	. . . . . 6 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺)) → ((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅))
4		wlkcpr 30015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ↔ (1st ‘𝑤)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑤))
5		wlkn0 30007	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1st ‘𝑤)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑤) → (2nd ‘𝑤) ≠ ∅)
6		eqneqall 2972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2nd ‘𝑤) = ∅ → ((2nd ‘𝑤) ≠ ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
7	6	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅) → ((2nd ‘𝑤) ≠ ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
8	5, 7	syl5com 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((1st ‘𝑤)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑤) → (((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅) → (Walks‘𝐺) = ∅))
9	4, 8	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → (((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅) → (Walks‘𝐺) = ∅))
10	9	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺)) → (((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅) → (Walks‘𝐺) = ∅))
11	3, 10	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺)) → (Walks‘𝐺) = ∅)
12	11	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
13	12	exlimiv 1963	. . 3 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
14	2, 13	sylbi 220	. 2 ⊢ (¬ (Walks‘𝐺) = ∅ → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
15	1, 14	pm2.61i 184	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∅c0 4289   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  1^st c1st 7993  2^nd c2nd 7994  Vtxcvtx 29383  Walkscwlks 29983

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-wlks 29986

This theorem is used by:  0wlk0  30038  wlk0prc  30039  acycgr0v  35661  prclisacycgr  35664