Theorem g0wlk0 29174

Description: There is no walk in a null graph (a class without vertices). (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
g0wlk0	⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem g0wlk0

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. 2 ⊢ ((Walks‘𝐺) = ∅ → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
2		neq0 4346	. . 3 ⊢ (¬ (Walks‘𝐺) = ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺))
3		wlkv0 29173	. . . . . 6 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺)) → ((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅))
4		wlkcpr 29151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ↔ (1st ‘𝑤)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑤))
5		wlkn0 29143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1st ‘𝑤)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑤) → (2nd ‘𝑤) ≠ ∅)
6		eqneqall 2949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2nd ‘𝑤) = ∅ → ((2nd ‘𝑤) ≠ ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
7	6	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅) → ((2nd ‘𝑤) ≠ ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
8	5, 7	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ((1st ‘𝑤)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑤) → (((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅) → (Walks‘𝐺) = ∅))
9	4, 8	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → (((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅) → (Walks‘𝐺) = ∅))
10	9	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺)) → (((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅) → (Walks‘𝐺) = ∅))
11	3, 10	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺)) → (Walks‘𝐺) = ∅)
12	11	expcom 412	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
13	12	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
14	2, 13	sylbi 216	. 2 ⊢ (¬ (Walks‘𝐺) = ∅ → ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅))
15	1, 14	pm2.61i 182	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539  ∃wex 1779   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∅c0 4323   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  1^st c1st 7977  2^nd c2nd 7978  Vtxcvtx 28521  Walkscwlks 29118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14297  df-word 14471  df-wlks 29121

This theorem is referenced by:  0wlk0  29175  wlk0prc  29176  acycgr0v  34435  prclisacycgr  34438