Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrhm2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrhm2d 19483
 Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isrhmd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o 1 = (1r𝑅)
isrhmd.n 𝑁 = (1r𝑆)
isrhmd.t · = (.r𝑅)
isrhmd.u × = (.r𝑆)
isrhmd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s (𝜑𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho (𝜑 → (𝐹1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)))
isrhm2d.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
Assertion
Ref Expression
isrhm2d (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isrhm2d
StepHypRef Expression
1 isrhmd.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 isrhmd.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
3 isrhm2d.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
4 eqid 2824 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
54ringmgp 19303 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7 eqid 2824 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
87ringmgp 19303 . . . . 5 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
92, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
10 isrhmd.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
11 eqid 2824 . . . . . . 7 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
1210, 11ghmf 18362 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
133, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
14 isrhmd.ht . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)))
1514ralrimivva 3186 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)))
16 isrhmd.ho . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹1 ) = 𝑁)
17 isrhmd.o . . . . . . . 8 1 = (1r𝑅)
184, 17ringidval 19253 . . . . . . 7 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
1918fveq2i 6664 . . . . . 6 (𝐹1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅)))
20 isrhmd.n . . . . . . 7 𝑁 = (1r𝑆)
217, 20ringidval 19253 . . . . . 6 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
2216, 19, 213eqtr3g 2882 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
2313, 15, 223jca 1125 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))))
244, 10mgpbas 19245 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
257, 11mgpbas 19245 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
26 isrhmd.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
274, 26mgpplusg 19243 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
28 isrhmd.u . . . . . 6 × = (.r𝑆)
297, 28mgpplusg 19243 . . . . 5 × = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
30 eqid 2824 . . . . 5 (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
31 eqid 2824 . . . . 5 (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
3224, 25, 27, 29, 30, 31ismhm 17958 . . . 4 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ↔ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))))
336, 9, 23, 32syl21anbrc 1341 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
343, 33jca 515 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
354, 7isrhm 19476 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
361, 2, 34, 35syl21anbrc 1341 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  .rcmulr 16566  0gc0g 16713  Mndcmnd 17911   MndHom cmhm 17954   GrpHom cghm 18355  mulGrpcmgp 19239  1rcur 19251  Ringcrg 19297   RingHom crh 19467 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mhm 17956  df-ghm 18356  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-rnghom 19470 This theorem is referenced by:  isrhmd  19484  qusrhm  20010  asclrhm  20119  mulgrhm  20645  rhmopp  30925
 Copyright terms: Public domain W3C validator