MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrhm2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrhm2d 19117
Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isrhmd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o 1 = (1r𝑅)
isrhmd.n 𝑁 = (1r𝑆)
isrhmd.t · = (.r𝑅)
isrhmd.u × = (.r𝑆)
isrhmd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s (𝜑𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho (𝜑 → (𝐹1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)))
isrhm2d.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
Assertion
Ref Expression
isrhm2d (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isrhm2d
StepHypRef Expression
1 isrhmd.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 isrhmd.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
31, 2jca 507 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
4 isrhm2d.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
5 eqid 2777 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
65ringmgp 18940 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
71, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
8 eqid 2777 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
98ringmgp 18940 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
102, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
117, 10jca 507 . . . 4 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd))
12 isrhmd.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
13 eqid 2777 . . . . . . 7 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
1412, 13ghmf 18048 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
154, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
16 isrhmd.ht . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)))
1716ralrimivva 3152 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)))
18 isrhmd.ho . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹1 ) = 𝑁)
19 isrhmd.o . . . . . . . 8 1 = (1r𝑅)
205, 19ringidval 18890 . . . . . . 7 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
2120fveq2i 6449 . . . . . 6 (𝐹1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅)))
22 isrhmd.n . . . . . . 7 𝑁 = (1r𝑆)
238, 22ringidval 18890 . . . . . 6 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
2418, 21, 233eqtr3g 2836 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
2515, 17, 243jca 1119 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))))
265, 12mgpbas 18882 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
278, 13mgpbas 18882 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
28 isrhmd.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
295, 28mgpplusg 18880 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
30 isrhmd.u . . . . . 6 × = (.r𝑆)
318, 30mgpplusg 18880 . . . . 5 × = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
32 eqid 2777 . . . . 5 (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
33 eqid 2777 . . . . 5 (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
3426, 27, 29, 31, 32, 33ismhm 17723 . . . 4 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ↔ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))))
3511, 25, 34sylanbrc 578 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
364, 35jca 507 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
375, 8isrhm 19110 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
383, 36, 37sylanbrc 578 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  .rcmulr 16339  0gc0g 16486  Mndcmnd 17680   MndHom cmhm 17719   GrpHom cghm 18041  mulGrpcmgp 18876  1rcur 18888  Ringcrg 18934   RingHom crh 19101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mhm 17721  df-ghm 18042  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-rnghom 19104
This theorem is referenced by:  isrhmd  19118  qusrhm  19634  asclrhm  19739  mulgrhm  20242  rhmopp  30381
  Copyright terms: Public domain W3C validator