Theorem isrhm2d 20458

Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isrhmd.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
isrhmd.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isrhmd.u	⊢ × = (.r‘𝑆)
isrhmd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho	⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
isrhm2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
isrhm2d	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isrhm2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrhmd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		isrhmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
3		isrhm2d.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
4		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4	ringmgp 20211	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
8	7	ringmgp 20211	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
10		isrhmd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
12	10, 11	ghmf 19186	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
13	3, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆))
14		isrhmd.ht	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
15	14	ralrimivva 3182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
16		isrhmd.ho	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
17		isrhmd.o	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
18	4, 17	ringidval 20155	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
19	18	fveq2i 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘ 1 ) = (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅)))
20		isrhmd.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
21	7, 20	ringidval 20155	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
22	16, 19, 21	3eqtr3g 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))
23	13, 15, 22	3jca 1134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))))
24	4, 10	mgpbas 20117	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
25	7, 11	mgpbas 20117	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
26		isrhmd.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
27	4, 26	mgpplusg 20116	. . . . 5 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
28		isrhmd.u	. . . . . 6 ⊢ × = (.r‘𝑆)
29	7, 28	mgpplusg 20116	. . . . 5 ⊢ × = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
30		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
31		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑆)) = (0g‘(mulGrp‘𝑆))
32	24, 25, 27, 29, 30, 31	ismhm 18744	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ↔ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘(mulGrp‘𝑅))) = (0g‘(mulGrp‘𝑆)))))
33	6, 9, 23, 32	syl21anbrc 1351	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
34	3, 33	jca 516	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
35	4, 7	isrhm 20449	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
36	1, 2, 34, 35	syl21anbrc 1351	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393  Mndcmnd 18693   MndHom cmhm 18740   GrpHom cghm 19178  mulGrpcmgp 20112  1_rcur 20153  Ringcrg 20205   RingHom crh 20440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mhm 18742  df-ghm 19179  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-rhm 20443

This theorem is referenced by:  isrhmd  20459  rhmopp  20481  qusrhm  21269  rhmqusnsg  21278  mulgrhm  21452  asclrhm  21865  rhmquskerlem  33508