Theorem zrhpsgnodpm 21633

Description: The sign of an odd permutation embedded into a ring is the additive inverse of the unity element of the ring. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpsgnevpm.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhpsgnevpm.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
zrhpsgnevpm.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
zrhpsgnodpm.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
zrhpsgnodpm.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnodpm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝐼‘ 1 ))

Proof of Theorem zrhpsgnodpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		zrhpsgnevpm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
4	1, 2, 3	psgnghm2 21622	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5		zrhpsgnodpm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
7	5, 6	ghmf 19260	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
9	8	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10		eldifi 4154	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
11	10	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
12		fvco3 7021	. . 3 ⊢ ((𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
13	9, 11, 12	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
14	1, 5, 2	psgnodpm 21629	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑆‘𝐹) = -1)
15	14	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑆‘𝐹) = -1)
16	15	fveq2d 6924	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑌‘(𝑆‘𝐹)) = (𝑌‘-1))
17		zrhpsgnevpm.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
18	17	zrhrhm 21545	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
19		rhmghm 20510	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
21		1z 12673	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
23		zringbas 21487	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
25		zrhpsgnodpm.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
26	23, 24, 25	ghminv 19263	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝐼‘(𝑌‘1)))
27	20, 22, 26	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝐼‘(𝑌‘1)))
28		zringinvg 21499	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 = ((invg‘ℤring)‘1))
29	21, 28	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ -1 = ((invg‘ℤring)‘1)
30	29	eqcomi 2749	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘ℤring)‘1) = -1
31	30	fveq2i 6923	. . . . 5 ⊢ (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝑌‘-1)
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝑌‘-1))
33		zrhpsgnevpm.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
34	17, 33	zrh1 21546	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) = 1 )
35	34	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼‘(𝑌‘1)) = (𝐼‘ 1 ))
36	27, 32, 35	3eqtr3d 2788	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘-1) = (𝐼‘ 1 ))
37	36	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑌‘-1) = (𝐼‘ 1 ))
38	13, 16, 37	3eqtrd 2784	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝐼‘ 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3973  {cpr 4650   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  1c1 11185  -cneg 11521  ℤcz 12639  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  inv_gcminusg 18974   GrpHom cghm 19252  SymGrpcsymg 19410  pmSgncpsgn 19531  pmEvencevpm 19532  mulGrpcmgp 20161  1_rcur 20208  Ringcrg 20260   RingHom crh 20495  ℂ_fldccnfld 21387  ℤ_ringczring 21480  ℤRHomczrh 21533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-word 14563  df-lsw 14611  df-concat 14619  df-s1 14644  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-splice 14798  df-reverse 14807  df-s2 14897  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-efmnd 18904  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-gim 19299  df-oppg 19386  df-symg 19411  df-pmtr 19484  df-psgn 19533  df-evpm 19534  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-drng 20753  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zrh 21537

This theorem is referenced by:  mdetralt  22635  mdetunilem7  22645