MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhpsgnodpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhpsgnodpm 20992
Description: The sign of an odd permutation embedded into a ring is the additive inverse of the unity element of the ring. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhpsgnevpm.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhpsgnevpm.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
zrhpsgnevpm.o 1 = (1r𝑅)
zrhpsgnodpm.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
zrhpsgnodpm.i 𝐼 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
zrhpsgnodpm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = (𝐼1 ))

Proof of Theorem zrhpsgnodpm
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . . 6 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2 zrhpsgnevpm.s . . . . . 6 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3 eqid 2736 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
41, 2, 3psgnghm2 20981 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5 zrhpsgnodpm.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
75, 6ghmf 19008 . . . . 5 (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
84, 7syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
983ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10 eldifi 4085 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁)) → 𝐹𝑃)
11103ad2ant3 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝐹𝑃)
12 fvco3 6938 . . 3 ((𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆𝐹)))
139, 11, 12syl2anc 584 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆𝐹)))
141, 5, 2psgnodpm 20988 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑆𝐹) = -1)
15143adant1 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑆𝐹) = -1)
1615fveq2d 6844 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑌‘(𝑆𝐹)) = (𝑌‘-1))
17 zrhpsgnevpm.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
1817zrhrhm 20908 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
19 rhmghm 20153 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
2018, 19syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
21 1z 12530 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
2221a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
23 zringbas 20871 . . . . . 6 ℤ = (Base‘ℤring)
24 eqid 2736 . . . . . 6 (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
25 zrhpsgnodpm.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝑅)
2623, 24, 25ghminv 19011 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝐼‘(𝑌‘1)))
2720, 22, 26syl2anc 584 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝐼‘(𝑌‘1)))
28 zringinvg 20882 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → -1 = ((invg‘ℤring)‘1))
2921, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 -1 = ((invg‘ℤring)‘1)
3029eqcomi 2745 . . . . . 6 ((invg‘ℤring)‘1) = -1
3130fveq2i 6843 . . . . 5 (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝑌‘-1)
3231a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝑌‘-1))
33 zrhpsgnevpm.o . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
3417, 33zrh1 20909 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) = 1 )
3534fveq2d 6844 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝐼‘(𝑌‘1)) = (𝐼1 ))
3627, 32, 353eqtr3d 2784 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘-1) = (𝐼1 ))
37363ad2ant1 1133 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑌‘-1) = (𝐼1 ))
3813, 16, 373eqtrd 2780 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = (𝐼1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3906  {cpr 4587  ccom 5636  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7354  Fincfn 8880  1c1 11049  -cneg 11383  cz 12496  Basecbs 17080  s cress 17109  invgcminusg 18746   GrpHom cghm 19001  SymGrpcsymg 19144  pmSgncpsgn 19267  pmEvencevpm 19268  mulGrpcmgp 19892  1rcur 19909  Ringcrg 19960   RingHom crh 20139  fldccnfld 20792  ringczring 20865  ℤRHomczrh 20896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-addf 11127  ax-mulf 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-tpos 8154  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8645  df-map 8764  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-card 9872  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12411  df-xnn0 12483  df-z 12497  df-dec 12616  df-uz 12761  df-rp 12913  df-fz 13422  df-fzo 13565  df-seq 13904  df-exp 13965  df-hash 14228  df-word 14400  df-lsw 14448  df-concat 14456  df-s1 14481  df-substr 14526  df-pfx 14556  df-splice 14635  df-reverse 14644  df-s2 14734  df-struct 17016  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-ress 17110  df-plusg 17143  df-mulr 17144  df-starv 17145  df-tset 17149  df-ple 17150  df-ds 17152  df-unif 17153  df-0g 17320  df-gsum 17321  df-mre 17463  df-mrc 17464  df-acs 17466  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-mhm 18598  df-submnd 18599  df-efmnd 18676  df-grp 18748  df-minusg 18749  df-mulg 18869  df-subg 18921  df-ghm 19002  df-gim 19045  df-oppg 19120  df-symg 19145  df-pmtr 19220  df-psgn 19269  df-evpm 19270  df-cmn 19560  df-abl 19561  df-mgp 19893  df-ur 19910  df-ring 19962  df-cring 19963  df-oppr 20045  df-dvdsr 20066  df-unit 20067  df-invr 20097  df-dvr 20108  df-rnghom 20142  df-drng 20183  df-subrg 20216  df-cnfld 20793  df-zring 20866  df-zrh 20900
This theorem is referenced by:  mdetralt  21953  mdetunilem7  21963
  Copyright terms: Public domain W3C validator