Theorem zrhpsgnodpm 21878

Description: The sign of an odd permutation embedded into a ring is the additive inverse of the unity element of the ring. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpsgnevpm.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhpsgnevpm.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
zrhpsgnevpm.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
zrhpsgnodpm.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
zrhpsgnodpm.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnodpm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝐼‘ 1 ))

Proof of Theorem zrhpsgnodpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		zrhpsgnevpm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
4	1, 2, 3	psgnghm2 21867	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5		zrhpsgnodpm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
7	5, 6	ghmf 19414	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
8	4, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
9	8	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10		eldifi 4078	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
11	10	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
12		fvco3 6977	. . 3 ⊢ ((𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
13	9, 11, 12	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
14	1, 5, 2	psgnodpm 21874	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑆‘𝐹) = -1)
15	14	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑆‘𝐹) = -1)
16	15	fveq2d 6881	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑌‘(𝑆‘𝐹)) = (𝑌‘-1))
17		zrhpsgnevpm.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
18	17	zrhrhm 21797	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
19		rhmghm 20694	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
20	18, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
21		1z 12707	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
23		zringbas 21739	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
25		zrhpsgnodpm.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
26	23, 24, 25	ghminv 19417	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝐼‘(𝑌‘1)))
27	20, 22, 26	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝐼‘(𝑌‘1)))
28		zringinvg 21751	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 = ((invg‘ℤring)‘1))
29	21, 28	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ -1 = ((invg‘ℤring)‘1)
30	29	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘ℤring)‘1) = -1
31	30	fveq2i 6880	. . . . 5 ⊢ (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝑌‘-1)
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝑌‘-1))
33		zrhpsgnevpm.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
34	17, 33	zrh1 21798	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) = 1 )
35	34	fveq2d 6881	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼‘(𝑌‘1)) = (𝐼‘ 1 ))
36	27, 32, 35	3eqtr3d 2804	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘-1) = (𝐼‘ 1 ))
37	36	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑌‘-1) = (𝐼‘ 1 ))
38	13, 16, 37	3eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝐼‘ 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896  {cpr 4586   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Fincfn 8957  1c1 11182  -cneg 11523  ℤcz 12674  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  inv_gcminusg 19125   GrpHom cghm 19407  SymGrpcsymg 19563  pmSgncpsgn 19683  pmEvencevpm 19684  mulGrpcmgp 20340  1_rcur 20387  Ringcrg 20439   RingHom crh 20679  ℂ_fldccnfld 21658  ℤ_ringczring 21732  ℤRHomczrh 21785

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-addf 11260  ax-mulf 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-word 14639  df-lsw 14688  df-concat 14696  df-s1 14723  df-substr 14769  df-pfx 14801  df-splice 14879  df-reverse 14888  df-s2 14979  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-efmnd 19045  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-ghm 19408  df-gim 19453  df-oppg 19540  df-symg 19564  df-pmtr 19636  df-psgn 19685  df-evpm 19686  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-dvr 20611  df-rhm 20682  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-drng 20962  df-cnfld 21659  df-zring 21733  df-zrh 21789

This theorem is used by:  mdetralt  22903  mdetunilem7  22913