Theorem zrhpsgnodpm 20554

Description: The sign of an odd permutation embedded into a ring is the additive inverse of the multiplicative neutral element of the ring. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpsgnevpm.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhpsgnevpm.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
zrhpsgnevpm.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
zrhpsgnodpm.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
zrhpsgnodpm.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnodpm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝐼‘ 1 ))

Proof of Theorem zrhpsgnodpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		zrhpsgnevpm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
4	1, 2, 3	psgnghm2 20543	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5		zrhpsgnodpm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
7	5, 6	ghmf 18626	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
9	8	3ad2ant2 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10		eldifi 4041	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
11	10	3ad2ant3 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
12		fvco3 6810	. . 3 ⊢ ((𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
13	9, 11, 12	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
14	1, 5, 2	psgnodpm 20550	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑆‘𝐹) = -1)
15	14	3adant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑆‘𝐹) = -1)
16	15	fveq2d 6721	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑌‘(𝑆‘𝐹)) = (𝑌‘-1))
17		zrhpsgnevpm.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
18	17	zrhrhm 20478	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
19		rhmghm 19745	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
21		1z 12207	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
23		zringbas 20441	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
25		zrhpsgnodpm.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
26	23, 24, 25	ghminv 18629	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝐼‘(𝑌‘1)))
27	20, 22, 26	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝐼‘(𝑌‘1)))
28		zringinvg 20452	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 = ((invg‘ℤring)‘1))
29	21, 28	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ -1 = ((invg‘ℤring)‘1)
30	29	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘ℤring)‘1) = -1
31	30	fveq2i 6720	. . . . 5 ⊢ (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝑌‘-1)
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝑌‘-1))
33		zrhpsgnevpm.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
34	17, 33	zrh1 20479	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) = 1 )
35	34	fveq2d 6721	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼‘(𝑌‘1)) = (𝐼‘ 1 ))
36	27, 32, 35	3eqtr3d 2785	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘-1) = (𝐼‘ 1 ))
37	36	3ad2ant1 1135	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑌‘-1) = (𝐼‘ 1 ))
38	13, 16, 37	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝐼‘ 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3863  {cpr 4543   ∘ ccom 5555  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  1c1 10730  -cneg 11063  ℤcz 12176  Basecbs 16760   ↾_s cress 16784  inv_gcminusg 18366   GrpHom cghm 18619  SymGrpcsymg 18759  pmSgncpsgn 18881  pmEvencevpm 18882  mulGrpcmgp 19504  1_rcur 19516  Ringcrg 19562   RingHom crh 19732  ℂ_fldccnfld 20363  ℤ_ringzring 20435  ℤRHomczrh 20466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-xor 1508  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-ot 4550  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-word 14070  df-lsw 14118  df-concat 14126  df-s1 14153  df-substr 14206  df-pfx 14236  df-splice 14315  df-reverse 14324  df-s2 14413  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-efmnd 18296  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-gim 18663  df-oppg 18738  df-symg 18760  df-pmtr 18834  df-psgn 18883  df-evpm 18884  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-dvr 19701  df-rnghom 19735  df-drng 19769  df-subrg 19798  df-cnfld 20364  df-zring 20436  df-zrh 20470

This theorem is referenced by:  mdetralt  21505  mdetunilem7  21515