Theorem zrhpsgnodpm 21628

Description: The sign of an odd permutation embedded into a ring is the additive inverse of the unity element of the ring. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpsgnevpm.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhpsgnevpm.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
zrhpsgnevpm.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
zrhpsgnodpm.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
zrhpsgnodpm.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnodpm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝐼‘ 1 ))

Proof of Theorem zrhpsgnodpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		zrhpsgnevpm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
4	1, 2, 3	psgnghm2 21617	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5		zrhpsgnodpm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
7	5, 6	ghmf 19251	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
9	8	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10		eldifi 4141	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
11	10	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
12		fvco3 7008	. . 3 ⊢ ((𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
13	9, 11, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
14	1, 5, 2	psgnodpm 21624	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑆‘𝐹) = -1)
15	14	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑆‘𝐹) = -1)
16	15	fveq2d 6911	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑌‘(𝑆‘𝐹)) = (𝑌‘-1))
17		zrhpsgnevpm.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
18	17	zrhrhm 21540	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
19		rhmghm 20501	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
21		1z 12645	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
23		zringbas 21482	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
25		zrhpsgnodpm.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
26	23, 24, 25	ghminv 19254	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝐼‘(𝑌‘1)))
27	20, 22, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝐼‘(𝑌‘1)))
28		zringinvg 21494	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 = ((invg‘ℤring)‘1))
29	21, 28	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ -1 = ((invg‘ℤring)‘1)
30	29	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘ℤring)‘1) = -1
31	30	fveq2i 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝑌‘-1)
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝑌‘-1))
33		zrhpsgnevpm.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
34	17, 33	zrh1 21541	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) = 1 )
35	34	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼‘(𝑌‘1)) = (𝐼‘ 1 ))
36	27, 32, 35	3eqtr3d 2783	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘-1) = (𝐼‘ 1 ))
37	36	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑌‘-1) = (𝐼‘ 1 ))
38	13, 16, 37	3eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝐼‘ 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960  {cpr 4633   ∘ ccom 5693  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  1c1 11154  -cneg 11491  ℤcz 12611  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  inv_gcminusg 18965   GrpHom cghm 19243  SymGrpcsymg 19401  pmSgncpsgn 19522  pmEvencevpm 19523  mulGrpcmgp 20152  1_rcur 20199  Ringcrg 20251   RingHom crh 20486  ℂ_fldccnfld 21382  ℤ_ringczring 21475  ℤRHomczrh 21528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-reverse 14794  df-s2 14884  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-efmnd 18895  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-oppg 19377  df-symg 19402  df-pmtr 19475  df-psgn 19524  df-evpm 19525  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532

This theorem is referenced by:  mdetralt  22630  mdetunilem7  22640