Theorem zrhpsgnodpm 21582

Description: The sign of an odd permutation embedded into a ring is the additive inverse of the unity element of the ring. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpsgnevpm.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhpsgnevpm.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
zrhpsgnevpm.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
zrhpsgnodpm.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
zrhpsgnodpm.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnodpm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝐼‘ 1 ))

Proof of Theorem zrhpsgnodpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		zrhpsgnevpm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
4	1, 2, 3	psgnghm2 21571	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5		zrhpsgnodpm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
7	5, 6	ghmf 19186	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
9	8	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10		eldifi 4072	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
11	10	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
12		fvco3 6933	. . 3 ⊢ ((𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
13	9, 11, 12	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
14	1, 5, 2	psgnodpm 21578	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑆‘𝐹) = -1)
15	14	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑆‘𝐹) = -1)
16	15	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑌‘(𝑆‘𝐹)) = (𝑌‘-1))
17		zrhpsgnevpm.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
18	17	zrhrhm 21501	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
19		rhmghm 20454	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅))
21		1z 12548	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ ℤ)
23		zringbas 21443	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
25		zrhpsgnodpm.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
26	23, 24, 25	ghminv 19189	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (ℤring GrpHom 𝑅) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝐼‘(𝑌‘1)))
27	20, 22, 26	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝐼‘(𝑌‘1)))
28		zringinvg 21455	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 = ((invg‘ℤring)‘1))
29	21, 28	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ -1 = ((invg‘ℤring)‘1)
30	29	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ ((invg‘ℤring)‘1) = -1
31	30	fveq2i 6837	. . . . 5 ⊢ (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝑌‘-1)
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘((invg‘ℤring)‘1)) = (𝑌‘-1))
33		zrhpsgnevpm.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
34	17, 33	zrh1 21502	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) = 1 )
35	34	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼‘(𝑌‘1)) = (𝐼‘ 1 ))
36	27, 32, 35	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘-1) = (𝐼‘ 1 ))
37	36	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → (𝑌‘-1) = (𝐼‘ 1 ))
38	13, 16, 37	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝑁))) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝐼‘ 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887  {cpr 4570   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  1c1 11030  -cneg 11369  ℤcz 12515  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  inv_gcminusg 18901   GrpHom cghm 19178  SymGrpcsymg 19335  pmSgncpsgn 19455  pmEvencevpm 19456  mulGrpcmgp 20112  1_rcur 20153  Ringcrg 20205   RingHom crh 20440  ℂ_fldccnfld 21344  ℤ_ringczring 21436  ℤRHomczrh 21489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-word 14467  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14703  df-reverse 14712  df-s2 14801  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-efmnd 18828  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-gim 19225  df-oppg 19312  df-symg 19336  df-pmtr 19408  df-psgn 19457  df-evpm 19458  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-rhm 20443  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-drng 20699  df-cnfld 21345  df-zring 21437  df-zrh 21493

This theorem is referenced by:  mdetralt  22583  mdetunilem7  22593