MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhpsgnodpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhpsgnodpm 21019
Description: The sign of an odd permutation embedded into a ring is the additive inverse of the unity element of the ring. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhpsgnevpm.y π‘Œ = (β„€RHomβ€˜π‘…)
zrhpsgnevpm.s 𝑆 = (pmSgnβ€˜π‘)
zrhpsgnevpm.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
zrhpsgnodpm.p 𝑃 = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π‘))
zrhpsgnodpm.i 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
zrhpsgnodpm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π‘))) β†’ ((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜πΉ) = (πΌβ€˜ 1 ))

Proof of Theorem zrhpsgnodpm
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (SymGrpβ€˜π‘) = (SymGrpβ€˜π‘)
2 zrhpsgnevpm.s . . . . . 6 𝑆 = (pmSgnβ€˜π‘)
3 eqid 2733 . . . . . 6 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})
41, 2, 3psgnghm2 21008 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin β†’ 𝑆 ∈ ((SymGrpβ€˜π‘) GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})))
5 zrhpsgnodpm.p . . . . . 6 𝑃 = (Baseβ€˜(SymGrpβ€˜π‘))
6 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))
75, 6ghmf 19020 . . . . 5 (𝑆 ∈ ((SymGrpβ€˜π‘) GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) β†’ 𝑆:π‘ƒβŸΆ(Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})))
84, 7syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin β†’ 𝑆:π‘ƒβŸΆ(Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})))
983ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π‘))) β†’ 𝑆:π‘ƒβŸΆ(Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})))
10 eldifi 4090 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π‘)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
11103ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π‘))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
12 fvco3 6944 . . 3 ((𝑆:π‘ƒβŸΆ(Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜πΉ) = (π‘Œβ€˜(π‘†β€˜πΉ)))
139, 11, 12syl2anc 585 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π‘))) β†’ ((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜πΉ) = (π‘Œβ€˜(π‘†β€˜πΉ)))
141, 5, 2psgnodpm 21015 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π‘))) β†’ (π‘†β€˜πΉ) = -1)
15143adant1 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π‘))) β†’ (π‘†β€˜πΉ) = -1)
1615fveq2d 6850 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π‘))) β†’ (π‘Œβ€˜(π‘†β€˜πΉ)) = (π‘Œβ€˜-1))
17 zrhpsgnevpm.y . . . . . . 7 π‘Œ = (β„€RHomβ€˜π‘…)
1817zrhrhm 20935 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘Œ ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
19 rhmghm 20167 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) β†’ π‘Œ ∈ (β„€ring GrpHom 𝑅))
2018, 19syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘Œ ∈ (β„€ring GrpHom 𝑅))
21 1z 12541 . . . . . 6 1 ∈ β„€
2221a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 ∈ β„€)
23 zringbas 20898 . . . . . 6 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
24 eqid 2733 . . . . . 6 (invgβ€˜β„€ring) = (invgβ€˜β„€ring)
25 zrhpsgnodpm.i . . . . . 6 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
2623, 24, 25ghminv 19023 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ (β„€ring GrpHom 𝑅) ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘Œβ€˜((invgβ€˜β„€ring)β€˜1)) = (πΌβ€˜(π‘Œβ€˜1)))
2720, 22, 26syl2anc 585 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘Œβ€˜((invgβ€˜β„€ring)β€˜1)) = (πΌβ€˜(π‘Œβ€˜1)))
28 zringinvg 20909 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„€ β†’ -1 = ((invgβ€˜β„€ring)β€˜1))
2921, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 -1 = ((invgβ€˜β„€ring)β€˜1)
3029eqcomi 2742 . . . . . 6 ((invgβ€˜β„€ring)β€˜1) = -1
3130fveq2i 6849 . . . . 5 (π‘Œβ€˜((invgβ€˜β„€ring)β€˜1)) = (π‘Œβ€˜-1)
3231a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘Œβ€˜((invgβ€˜β„€ring)β€˜1)) = (π‘Œβ€˜-1))
33 zrhpsgnevpm.o . . . . . 6 1 = (1rβ€˜π‘…)
3417, 33zrh1 20936 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘Œβ€˜1) = 1 )
3534fveq2d 6850 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (πΌβ€˜(π‘Œβ€˜1)) = (πΌβ€˜ 1 ))
3627, 32, 353eqtr3d 2781 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘Œβ€˜-1) = (πΌβ€˜ 1 ))
37363ad2ant1 1134 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π‘))) β†’ (π‘Œβ€˜-1) = (πΌβ€˜ 1 ))
3813, 16, 373eqtrd 2777 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π‘))) β†’ ((π‘Œ ∘ 𝑆)β€˜πΉ) = (πΌβ€˜ 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3911  {cpr 4592   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  1c1 11060  -cneg 11394  β„€cz 12507  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  invgcminusg 18757   GrpHom cghm 19013  SymGrpcsymg 19156  pmSgncpsgn 19279  pmEvencevpm 19280  mulGrpcmgp 19904  1rcur 19921  Ringcrg 19972   RingHom crh 20153  β„‚fldccnfld 20819  β„€ringczring 20892  β„€RHomczrh 20923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-splice 14647  df-reverse 14656  df-s2 14746  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-efmnd 18687  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-gim 19057  df-oppg 19132  df-symg 19157  df-pmtr 19232  df-psgn 19281  df-evpm 19282  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zrh 20927
This theorem is referenced by:  mdetralt  21980  mdetunilem7  21990
  Copyright terms: Public domain W3C validator