Theorem zrhpsgninv 20431

Description: The embedded sign of a permutation equals the embedded sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpsgninv.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
zrhpsgninv.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhpsgninv.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgninv	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝐹) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹))

Proof of Theorem zrhpsgninv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		zrhpsgninv.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3		zrhpsgninv.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
4	1, 2, 3	psgninv 20428	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑆‘◡𝐹) = (𝑆‘𝐹))
5	4	3adant1 1110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑆‘◡𝐹) = (𝑆‘𝐹))
6	5	fveq2d 6503	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘◡𝐹)) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
7		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
8	1, 2, 7	psgnghm2 20427	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
9		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
10	3, 9	ghmf 18133	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
12	11	3ad2ant2 1114	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
13		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (invg‘(SymGrp‘𝑁)) = (invg‘(SymGrp‘𝑁))
14	1, 3, 13	symginv 18291	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝐹) = ◡𝐹)
15	14	3ad2ant3 1115	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝐹) = ◡𝐹)
16	1	symggrp 18289	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
17	16	3ad2ant2 1114	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
18		simp3 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → 𝐹 ∈ 𝑃)
19	3, 13	grpinvcl 17938	. . . . 5 ⊢ (((SymGrp‘𝑁) ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝐹) ∈ 𝑃)
20	17, 18, 19	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝐹) ∈ 𝑃)
21	15, 20	eqeltrrd 2867	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ◡𝐹 ∈ 𝑃)
22		fvco3 6588	. . 3 ⊢ ((𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘◡𝐹)))
23	12, 21, 22	syl2anc 576	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘◡𝐹)))
24		fvco3 6588	. . 3 ⊢ ((𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
25	12, 18, 24	syl2anc 576	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
26	6, 23, 25	3eqtr4d 2824	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝐹) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  {cpr 4443  ^◡ccnv 5406   ∘ ccom 5411  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  Fincfn 8306  1c1 10336  -cneg 10671  Basecbs 16339   ↾_s cress 16340  Grpcgrp 17891  inv_gcminusg 17892   GrpHom cghm 18126  SymGrpcsymg 18266  pmSgncpsgn 18378  mulGrpcmgp 18962  Ringcrg 19020  ℂ_fldccnfld 20247  ℤRHomczrh 20349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-addf 10414  ax-mulf 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-xor 1489  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-ot 4450  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-tpos 7695  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-xnn0 11780  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-word 13673  df-lsw 13726  df-concat 13734  df-s1 13759  df-substr 13804  df-pfx 13853  df-splice 13960  df-reverse 13978  df-s2 14072  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-subg 18060  df-ghm 18127  df-gim 18170  df-oppg 18245  df-symg 18267  df-pmtr 18331  df-psgn 18380  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-cring 19023  df-oppr 19096  df-dvdsr 19114  df-unit 19115  df-invr 19145  df-dvr 19156  df-drng 19227  df-cnfld 20248

This theorem is referenced by:  mdetleib2  20901