MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhpsgninv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhpsgninv 21539
Description: The embedded sign of a permutation equals the embedded sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhpsgninv.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
zrhpsgninv.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhpsgninv.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
zrhpsgninv ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = ((𝑌𝑆)‘𝐹))

Proof of Theorem zrhpsgninv
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . 5 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2 zrhpsgninv.s . . . . 5 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3 zrhpsgninv.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
41, 2, 3psgninv 21536 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑆𝐹) = (𝑆𝐹))
543adant1 1127 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑆𝐹) = (𝑆𝐹))
65fveq2d 6900 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝐹)) = (𝑌‘(𝑆𝐹)))
7 eqid 2725 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
81, 2, 7psgnghm2 21535 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
9 eqid 2725 . . . . . 6 (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
103, 9ghmf 19188 . . . . 5 (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
118, 10syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
12113ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
13 eqid 2725 . . . . . 6 (invg‘(SymGrp‘𝑁)) = (invg‘(SymGrp‘𝑁))
141, 3, 13symginv 19374 . . . . 5 (𝐹𝑃 → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝐹) = 𝐹)
15143ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝐹) = 𝐹)
161symggrp 19372 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
17163ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
18 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → 𝐹𝑃)
193, 13grpinvcl 18957 . . . . 5 (((SymGrp‘𝑁) ∈ Grp ∧ 𝐹𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝐹) ∈ 𝑃)
2017, 18, 19syl2anc 582 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝐹) ∈ 𝑃)
2115, 20eqeltrrd 2826 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → 𝐹𝑃)
22 fvco3 6996 . . 3 ((𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆𝐹)))
2312, 21, 22syl2anc 582 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆𝐹)))
24 fvco3 6996 . . 3 ((𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆𝐹)))
2512, 18, 24syl2anc 582 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆𝐹)))
266, 23, 253eqtr4d 2775 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = ((𝑌𝑆)‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {cpr 4632  ccnv 5677  ccom 5682  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  1c1 11146  -cneg 11482  Basecbs 17188  s cress 17217  Grpcgrp 18903  invgcminusg 18904   GrpHom cghm 19180  SymGrpcsymg 19338  pmSgncpsgn 19461  mulGrpcmgp 20091  Ringcrg 20190  fldccnfld 21301  ℤRHomczrh 21447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-addf 11224  ax-mulf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14331  df-word 14506  df-lsw 14554  df-concat 14562  df-s1 14587  df-substr 14632  df-pfx 14662  df-splice 14741  df-reverse 14750  df-s2 14840  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-starv 17256  df-tset 17260  df-ple 17261  df-ds 17263  df-unif 17264  df-0g 17431  df-gsum 17432  df-mre 17574  df-mrc 17575  df-acs 17577  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18748  df-submnd 18749  df-efmnd 18834  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-subg 19091  df-ghm 19181  df-gim 19227  df-oppg 19314  df-symg 19339  df-pmtr 19414  df-psgn 19463  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20092  df-rng 20110  df-ur 20139  df-ring 20192  df-cring 20193  df-oppr 20290  df-dvdsr 20313  df-unit 20314  df-invr 20344  df-dvr 20357  df-drng 20643  df-cnfld 21302
This theorem is referenced by:  mdetleib2  22539
  Copyright terms: Public domain W3C validator