Theorem zrhpsgninv 21906

Description: The embedded sign of a permutation equals the embedded sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpsgninv.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
zrhpsgninv.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhpsgninv.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgninv	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝐹) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹))

Proof of Theorem zrhpsgninv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		zrhpsgninv.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3		zrhpsgninv.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
4	1, 2, 3	psgninv 21903	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑆‘◡𝐹) = (𝑆‘𝐹))
5	4	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑆‘◡𝐹) = (𝑆‘𝐹))
6	5	fveq2d 6900	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘◡𝐹)) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
8	1, 2, 7	psgnghm2 21902	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
9		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
10	3, 9	ghmf 19449	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
11	8, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
12	11	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → 𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
13		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (invg‘(SymGrp‘𝑁)) = (invg‘(SymGrp‘𝑁))
14	1, 3, 13	symginv 19631	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝐹) = ◡𝐹)
15	14	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝐹) = ◡𝐹)
16	1	symggrp 19629	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
17	16	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
18		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → 𝐹 ∈ 𝑃)
19	3, 13	grpinvcl 19213	. . . . 5 ⊢ (((SymGrp‘𝑁) ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝐹) ∈ 𝑃)
20	17, 18, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((invg‘(SymGrp‘𝑁))‘𝐹) ∈ 𝑃)
21	15, 20	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ◡𝐹 ∈ 𝑃)
22		fvco3 6996	. . 3 ⊢ ((𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘◡𝐹)))
23	12, 21, 22	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘◡𝐹)))
24		fvco3 6996	. . 3 ⊢ ((𝑆:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
25	12, 18, 24	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
26	6, 23, 25	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘◡𝐹) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {cpr 4590  ^◡ccnv 5654   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Fincfn 8987  1c1 11214   -cneg 11555  Basecbs 17402   ↾_s cress 17423  Grpcgrp 19159  inv_gcminusg 19160   GrpHom cghm 19442  SymGrpcsymg 19598  pmSgncpsgn 19718  mulGrpcmgp 20375  Ringcrg 20474  ℂ_fldccnfld 21693  ℤRHomczrh 21820

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-addf 11292  ax-mulf 11293

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1541  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-rp 13134  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-word 14672  df-lsw 14721  df-concat 14729  df-s1 14756  df-substr 14803  df-pfx 14835  df-splice 14913  df-reverse 14922  df-s2 15013  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-mhm 18993  df-submnd 18994  df-efmnd 19080  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-subg 19348  df-ghm 19443  df-gim 19488  df-oppg 19575  df-symg 19599  df-pmtr 19671  df-psgn 19720  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-invr 20633  df-dvr 20646  df-drng 20997  df-cnfld 21694

This theorem is used by:  mdetleib2  22918