Theorem psgnodpm 21548

Description: A permutation which is odd (i.e. not even) has sign -1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmss.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnodpm	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁‘𝐹) = -1)

Proof of Theorem psgnodpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3936	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
2		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → 𝐹 ∈ 𝑃)
3	2	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) = 1 → 𝐹 ∈ 𝑃))
4	3	ancrd 551	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) = 1 → (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
5		evpmss.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6		evpmss.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
7		psgnevpmb.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
8	5, 6, 7	psgnevpmb 21547	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
10	4, 9	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) = 1 → 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
11	10	con3d 152	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → ¬ (𝑁‘𝐹) = 1))
12	11	impr 454	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷))) → ¬ (𝑁‘𝐹) = 1)
13	1, 12	sylan2b 594	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ¬ (𝑁‘𝐹) = 1)
14		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
15	5, 7, 14	psgnghm2 21541	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
17	14	cnmsgnbas 21538	. . . . . 6 ⊢ {1, -1} = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
18	6, 17	ghmf 19203	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
19	16, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
20		eldifi 4106	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
21	20	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
22	19, 21	ffvelcdmd 7075	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1})
23		fvex 6889	. . . 4 ⊢ (𝑁‘𝐹) ∈ V
24	23	elpr 4626	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1} ↔ ((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1))
25	22, 24	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1))
26		orel1 888	. 2 ⊢ (¬ (𝑁‘𝐹) = 1 → (((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1) → (𝑁‘𝐹) = -1))
27	13, 25, 26	sylc 65	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁‘𝐹) = -1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3923  {cpr 4603  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  1c1 11130  -cneg 11467  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251   GrpHom cghm 19195  SymGrpcsymg 19350  pmSgncpsgn 19470  pmEvencevpm 19471  mulGrpcmgp 20100  ℂ_fldccnfld 21315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-word 14532  df-lsw 14581  df-concat 14589  df-s1 14614  df-substr 14659  df-pfx 14689  df-splice 14768  df-reverse 14777  df-s2 14867  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-efmnd 18847  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-gim 19242  df-oppg 19329  df-symg 19351  df-pmtr 19423  df-psgn 19472  df-evpm 19473  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-dvr 20361  df-drng 20691  df-cnfld 21316

This theorem is referenced by:  zrhpsgnodpm  21552  evpmodpmf1o  21556  odpmco  33097