MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnodpm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psgnodpm 21527
Description: A permutation which is odd (i.e. not even) has sign -1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
evpmss.p 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
psgnevpmb.n 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
psgnodpm ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ (π‘β€˜πΉ) = -1)
Proof of Theorem psgnodpm
StepHypRef Expression
1 eldif 3959 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·)) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ Β¬ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·)))
2 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
32a1d 25 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ 𝐹 ∈ 𝑃))
43ancrd 550 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = 1)))
5 evpmss.s . . . . . . . 8 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
6 evpmss.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
7 psgnevpmb.n . . . . . . . 8 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
85, 6, 7psgnevpmb 21526 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ Fin β†’ (𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = 1)))
98adantr 479 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = 1)))
104, 9sylibrd 258 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·)))
1110con3d 152 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (Β¬ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) β†’ Β¬ (π‘β€˜πΉ) = 1))
1211impr 453 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ Β¬ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·))) β†’ Β¬ (π‘β€˜πΉ) = 1)
131, 12sylan2b 592 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ Β¬ (π‘β€˜πΉ) = 1)
14 eqid 2728 . . . . . . 7 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})
155, 7, 14psgnghm2 21520 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})))
1615adantr 479 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})))
1714cnmsgnbas 21517 . . . . . 6 {1, -1} = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))
186, 17ghmf 19181 . . . . 5 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) β†’ 𝑁:π‘ƒβŸΆ{1, -1})
1916, 18syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ 𝑁:π‘ƒβŸΆ{1, -1})
20 eldifi 4127 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
2120adantl 480 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
2219, 21ffvelcdmd 7100 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1})
23 fvex 6915 . . . 4 (π‘β€˜πΉ) ∈ V
2423elpr 4656 . . 3 ((π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1} ↔ ((π‘β€˜πΉ) = 1 ∨ (π‘β€˜πΉ) = -1))
2522, 24sylib 217 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 1 ∨ (π‘β€˜πΉ) = -1))
26 orel1 886 . 2 (Β¬ (π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (((π‘β€˜πΉ) = 1 ∨ (π‘β€˜πΉ) = -1) β†’ (π‘β€˜πΉ) = -1))
2713, 25, 26sylc 65 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ (π‘β€˜πΉ) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3946  {cpr 4634  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  1c1 11147  -cneg 11483  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216   GrpHom cghm 19174  SymGrpcsymg 19328  pmSgncpsgn 19451  pmEvencevpm 19452  mulGrpcmgp 20081  β„‚fldccnfld 21286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-word 14505  df-lsw 14553  df-concat 14561  df-s1 14586  df-substr 14631  df-pfx 14661  df-splice 14740  df-reverse 14749  df-s2 14839  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-efmnd 18828  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-gim 19220  df-oppg 19304  df-symg 19329  df-pmtr 19404  df-psgn 19453  df-evpm 19454  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-drng 20633  df-cnfld 21287
This theorem is referenced by:  zrhpsgnodpm  21531  evpmodpmf1o  21535  odpmco  32830
  Copyright terms: Public domain W3C validator