Theorem psgnodpm 21620

Description: A permutation which is odd (i.e. not even) has sign -1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmss.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnodpm	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁‘𝐹) = -1)

Proof of Theorem psgnodpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3914	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
2		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → 𝐹 ∈ 𝑃)
3	2	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) = 1 → 𝐹 ∈ 𝑃))
4	3	ancrd 559	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) = 1 → (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
5		evpmss.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6		evpmss.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
7		psgnevpmb.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
8	5, 6, 7	psgnevpmb 21619	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
9	8	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
10	4, 9	sylibrd 261	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) = 1 → 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
11	10	con3d 152	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → ¬ (𝑁‘𝐹) = 1))
12	11	impr 458	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷))) → ¬ (𝑁‘𝐹) = 1)
13	1, 12	sylan2b 603	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ¬ (𝑁‘𝐹) = 1)
14		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
15	5, 7, 14	psgnghm2 21613	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
16	15	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
17	14	cnmsgnbas 21610	. . . . . 6 ⊢ {1, -1} = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
18	6, 17	ghmf 19243	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
19	16, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
20		eldifi 4084	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
21	20	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
22	19, 21	ffvelcdmd 7062	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1})
23		fvex 6876	. . . 4 ⊢ (𝑁‘𝐹) ∈ V
24	23	elpr 4606	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1} ↔ ((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1))
25	22, 24	sylib 220	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1))
26		orel1 899	. 2 ⊢ (¬ (𝑁‘𝐹) = 1 → (((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1) → (𝑁‘𝐹) = -1))
27	13, 25, 26	sylc 65	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁‘𝐹) = -1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3901  {cpr 4583  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Fincfn 8923  1c1 11071  -cneg 11412  Basecbs 17228   ↾_s cress 17249   GrpHom cghm 19236  SymGrpcsymg 19392  pmSgncpsgn 19512  pmEvencevpm 19513  mulGrpcmgp 20169  ℂ_fldccnfld 21404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-addf 11149  ax-mulf 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-xor 1531  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-word 14524  df-lsw 14573  df-concat 14581  df-s1 14607  df-substr 14652  df-pfx 14682  df-splice 14760  df-reverse 14769  df-s2 14858  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-submnd 18801  df-efmnd 18886  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-subg 19148  df-ghm 19237  df-gim 19282  df-oppg 19369  df-symg 19393  df-pmtr 19465  df-psgn 19514  df-evpm 19515  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-drng 20760  df-cnfld 21405

This theorem is referenced by:  zrhpsgnodpm  21624  evpmodpmf1o  21628  odpmco  33227