MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnodpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnodpm 20718
Description: A permutation which is odd (i.e. not even) has sign -1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnodpm ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁𝐹) = -1)

Proof of Theorem psgnodpm
StepHypRef Expression
1 eldif 3928 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↔ (𝐹𝑃 ∧ ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
2 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → 𝐹𝑃)
32a1d 25 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑁𝐹) = 1 → 𝐹𝑃))
43ancrd 555 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑁𝐹) = 1 → (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
5 evpmss.s . . . . . . . 8 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6 evpmss.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝑆)
7 psgnevpmb.n . . . . . . . 8 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
85, 6, 7psgnevpmb 20717 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
98adantr 484 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
104, 9sylibrd 262 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑁𝐹) = 1 → 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
1110con3d 155 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → ¬ (𝑁𝐹) = 1))
1211impr 458 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑃 ∧ ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷))) → ¬ (𝑁𝐹) = 1)
131, 12sylan2b 596 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ¬ (𝑁𝐹) = 1)
14 eqid 2824 . . . . . . 7 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
155, 7, 14psgnghm2 20711 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
1615adantr 484 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
1714cnmsgnbas 20708 . . . . . 6 {1, -1} = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
186, 17ghmf 18351 . . . . 5 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
1916, 18syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
20 eldifi 4087 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) → 𝐹𝑃)
2120adantl 485 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝐹𝑃)
2219, 21ffvelrnd 6833 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁𝐹) ∈ {1, -1})
23 fvex 6664 . . . 4 (𝑁𝐹) ∈ V
2423elpr 4571 . . 3 ((𝑁𝐹) ∈ {1, -1} ↔ ((𝑁𝐹) = 1 ∨ (𝑁𝐹) = -1))
2522, 24sylib 221 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑁𝐹) = 1 ∨ (𝑁𝐹) = -1))
26 orel1 886 . 2 (¬ (𝑁𝐹) = 1 → (((𝑁𝐹) = 1 ∨ (𝑁𝐹) = -1) → (𝑁𝐹) = -1))
2713, 25, 26sylc 65 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁𝐹) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3915  {cpr 4550  wf 6332  cfv 6336  (class class class)co 7138  Fincfn 8492  1c1 10523  -cneg 10856  Basecbs 16472  s cress 16473   GrpHom cghm 18344  SymGrpcsymg 18484  pmSgncpsgn 18606  pmEvencevpm 18607  mulGrpcmgp 19228  fldccnfld 20531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-addf 10601  ax-mulf 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-ot 4557  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-xnn0 11954  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-rp 12376  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-word 13856  df-lsw 13904  df-concat 13912  df-s1 13939  df-substr 13992  df-pfx 14022  df-splice 14101  df-reverse 14110  df-s2 14199  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-acs 16849  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mhm 17945  df-submnd 17946  df-efmnd 18023  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-subg 18265  df-ghm 18345  df-gim 18388  df-oppg 18463  df-symg 18485  df-pmtr 18559  df-psgn 18608  df-evpm 18609  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-cring 19289  df-oppr 19362  df-dvdsr 19380  df-unit 19381  df-invr 19411  df-dvr 19422  df-drng 19490  df-cnfld 20532
This theorem is referenced by:  zrhpsgnodpm  20722  evpmodpmf1o  20726  odpmco  30748
  Copyright terms: Public domain W3C validator