MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnodpm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psgnodpm 21476
Description: A permutation which is odd (i.e. not even) has sign -1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
evpmss.p 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
psgnevpmb.n 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
psgnodpm ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ (π‘β€˜πΉ) = -1)
Proof of Theorem psgnodpm
StepHypRef Expression
1 eldif 3953 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·)) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ Β¬ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·)))
2 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
32a1d 25 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ 𝐹 ∈ 𝑃))
43ancrd 551 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = 1)))
5 evpmss.s . . . . . . . 8 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
6 evpmss.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
7 psgnevpmb.n . . . . . . . 8 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
85, 6, 7psgnevpmb 21475 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ Fin β†’ (𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = 1)))
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = 1)))
104, 9sylibrd 259 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·)))
1110con3d 152 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (Β¬ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) β†’ Β¬ (π‘β€˜πΉ) = 1))
1211impr 454 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ Β¬ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·))) β†’ Β¬ (π‘β€˜πΉ) = 1)
131, 12sylan2b 593 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ Β¬ (π‘β€˜πΉ) = 1)
14 eqid 2726 . . . . . . 7 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})
155, 7, 14psgnghm2 21469 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})))
1615adantr 480 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})))
1714cnmsgnbas 21466 . . . . . 6 {1, -1} = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))
186, 17ghmf 19142 . . . . 5 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) β†’ 𝑁:π‘ƒβŸΆ{1, -1})
1916, 18syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ 𝑁:π‘ƒβŸΆ{1, -1})
20 eldifi 4121 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
2120adantl 481 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
2219, 21ffvelcdmd 7080 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1})
23 fvex 6897 . . . 4 (π‘β€˜πΉ) ∈ V
2423elpr 4646 . . 3 ((π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1} ↔ ((π‘β€˜πΉ) = 1 ∨ (π‘β€˜πΉ) = -1))
2522, 24sylib 217 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 1 ∨ (π‘β€˜πΉ) = -1))
26 orel1 885 . 2 (Β¬ (π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (((π‘β€˜πΉ) = 1 ∨ (π‘β€˜πΉ) = -1) β†’ (π‘β€˜πΉ) = -1))
2713, 25, 26sylc 65 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ (π‘β€˜πΉ) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3940  {cpr 4625  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  1c1 11110  -cneg 11446  Basecbs 17150   β†Ύs cress 17179   GrpHom cghm 19135  SymGrpcsymg 19283  pmSgncpsgn 19406  pmEvencevpm 19407  mulGrpcmgp 20036  β„‚fldccnfld 21235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-word 14468  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14549  df-substr 14594  df-pfx 14624  df-splice 14703  df-reverse 14712  df-s2 14802  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-efmnd 18791  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-gim 19181  df-oppg 19259  df-symg 19284  df-pmtr 19359  df-psgn 19408  df-evpm 19409  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-drng 20586  df-cnfld 21236
This theorem is referenced by:  zrhpsgnodpm  21480  evpmodpmf1o  21484  odpmco  32750
  Copyright terms: Public domain W3C validator