MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnodpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnodpm 20294
Description: A permutation which is odd (i.e. not even) has sign -1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnodpm ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁𝐹) = -1)

Proof of Theorem psgnodpm
StepHypRef Expression
1 eldif 3809 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↔ (𝐹𝑃 ∧ ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
2 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → 𝐹𝑃)
32a1d 25 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑁𝐹) = 1 → 𝐹𝑃))
43ancrd 549 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑁𝐹) = 1 → (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
5 evpmss.s . . . . . . . 8 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6 evpmss.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝑆)
7 psgnevpmb.n . . . . . . . 8 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
85, 6, 7psgnevpmb 20293 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
98adantr 474 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
104, 9sylibrd 251 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑁𝐹) = 1 → 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
1110con3d 150 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → ¬ (𝑁𝐹) = 1))
1211impr 448 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑃 ∧ ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷))) → ¬ (𝑁𝐹) = 1)
131, 12sylan2b 589 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ¬ (𝑁𝐹) = 1)
14 eqid 2826 . . . . . . 7 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
155, 7, 14psgnghm2 20287 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
1615adantr 474 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
1714cnmsgnbas 20284 . . . . . 6 {1, -1} = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
186, 17ghmf 18016 . . . . 5 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
1916, 18syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
20 eldifi 3960 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) → 𝐹𝑃)
2120adantl 475 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝐹𝑃)
2219, 21ffvelrnd 6610 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁𝐹) ∈ {1, -1})
23 fvex 6447 . . . 4 (𝑁𝐹) ∈ V
2423elpr 4421 . . 3 ((𝑁𝐹) ∈ {1, -1} ↔ ((𝑁𝐹) = 1 ∨ (𝑁𝐹) = -1))
2522, 24sylib 210 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑁𝐹) = 1 ∨ (𝑁𝐹) = -1))
26 orel1 919 . 2 (¬ (𝑁𝐹) = 1 → (((𝑁𝐹) = 1 ∨ (𝑁𝐹) = -1) → (𝑁𝐹) = -1))
2713, 25, 26sylc 65 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁𝐹) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 880   = wceq 1658  wcel 2166  cdif 3796  {cpr 4400  wf 6120  cfv 6124  (class class class)co 6906  Fincfn 8223  1c1 10254  -cneg 10587  Basecbs 16223  s cress 16224   GrpHom cghm 18009  SymGrpcsymg 18148  pmSgncpsgn 18260  pmEvencevpm 18261  mulGrpcmgp 18844  fldccnfld 20107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-addf 10332  ax-mulf 10333
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-xor 1640  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-tpos 7618  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-xnn0 11692  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-rp 12114  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-word 13576  df-lsw 13624  df-concat 13632  df-s1 13657  df-substr 13702  df-pfx 13751  df-splice 13858  df-reverse 13876  df-s2 13970  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-mhm 17689  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-subg 17943  df-ghm 18010  df-gim 18053  df-oppg 18127  df-symg 18149  df-pmtr 18213  df-psgn 18262  df-evpm 18263  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-cring 18905  df-oppr 18978  df-dvdsr 18996  df-unit 18997  df-invr 19027  df-dvr 19038  df-drng 19106  df-cnfld 20108
This theorem is referenced by:  zrhpsgnodpm  20298  evpmodpmf1o  20303
  Copyright terms: Public domain W3C validator