Theorem psgnodpm 21924

Description: A permutation which is odd (i.e. not even) has sign -1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmss.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnodpm	⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁‘𝐹) = -1)

Proof of Theorem psgnodpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 4052	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
2		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → 𝐹 ∈ 𝑃)
3	2	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) = 1 → 𝐹 ∈ 𝑃))
4	3	ancrd 561	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) = 1 → (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
5		evpmss.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6		evpmss.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
7		psgnevpmb.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
8	5, 6, 7	psgnevpmb 21923	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
10	4, 9	sylibrd 262	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → ((𝑁‘𝐹) = 1 → 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
11	10	con3d 153	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) → (¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → ¬ (𝑁‘𝐹) = 1))
12	11	impr 460	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷))) → ¬ (𝑁‘𝐹) = 1)
13	1, 12	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ¬ (𝑁‘𝐹) = 1)
14		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
15	5, 7, 14	psgnghm2 21917	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
17	14	cnmsgnbas 21914	. . . . . 6 ⊢ {1, -1} = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
18	6, 17	ghmf 19463	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
19	16, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
20		eldifi 4070	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
21	20	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
22	19, 21	ffvelcdmd 7109	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1})
23		fvex 6921	. . . 4 ⊢ (𝑁‘𝐹) ∈ V
24	23	elpr 4609	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝐹) ∈ {1, -1} ↔ ((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1))
25	22, 24	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1))
26		orel1 902	. 2 ⊢ (¬ (𝑁‘𝐹) = 1 → (((𝑁‘𝐹) = 1 ∨ (𝑁‘𝐹) = -1) → (𝑁‘𝐹) = -1))
27	13, 25, 26	sylc 66	1 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁‘𝐹) = -1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∖ cdif 4048  {cpr 4590  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Fincfn 9001  1c1 11228   -cneg 11569  Basecbs 17416   ↾_s cress 17437   GrpHom cghm 19456  SymGrpcsymg 19613  pmSgncpsgn 19733  pmEvencevpm 19734  mulGrpcmgp 20390  ℂ_fldccnfld 21708

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-addf 11306  ax-mulf 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-word 14686  df-lsw 14735  df-concat 14743  df-s1 14770  df-substr 14817  df-pfx 14849  df-splice 14927  df-reverse 14936  df-s2 15027  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-submnd 19008  df-efmnd 19094  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-gim 19502  df-oppg 19590  df-symg 19614  df-pmtr 19686  df-psgn 19735  df-evpm 19736  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-dvr 20661  df-drng 21012  df-cnfld 21709

This theorem is used by:  zrhpsgnodpm  21928  evpmodpmf1o  21932  odpmco  33717