MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnodpm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem psgnodpm 21140
Description: A permutation which is odd (i.e. not even) has sign -1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
evpmss.p 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
psgnevpmb.n 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
psgnodpm ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ (π‘β€˜πΉ) = -1)
Proof of Theorem psgnodpm
StepHypRef Expression
1 eldif 3958 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·)) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ Β¬ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·)))
2 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
32a1d 25 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ 𝐹 ∈ 𝑃))
43ancrd 552 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = 1)))
5 evpmss.s . . . . . . . 8 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
6 evpmss.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
7 psgnevpmb.n . . . . . . . 8 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
85, 6, 7psgnevpmb 21139 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ Fin β†’ (𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = 1)))
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = 1)))
104, 9sylibrd 258 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·)))
1110con3d 152 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑃) β†’ (Β¬ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) β†’ Β¬ (π‘β€˜πΉ) = 1))
1211impr 455 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ Β¬ 𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·))) β†’ Β¬ (π‘β€˜πΉ) = 1)
131, 12sylan2b 594 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ Β¬ (π‘β€˜πΉ) = 1)
14 eqid 2732 . . . . . . 7 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})
155, 7, 14psgnghm2 21133 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})))
1615adantr 481 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})))
1714cnmsgnbas 21130 . . . . . 6 {1, -1} = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))
186, 17ghmf 19095 . . . . 5 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) β†’ 𝑁:π‘ƒβŸΆ{1, -1})
1916, 18syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ 𝑁:π‘ƒβŸΆ{1, -1})
20 eldifi 4126 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
2120adantl 482 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
2219, 21ffvelcdmd 7087 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1})
23 fvex 6904 . . . 4 (π‘β€˜πΉ) ∈ V
2423elpr 4651 . . 3 ((π‘β€˜πΉ) ∈ {1, -1} ↔ ((π‘β€˜πΉ) = 1 ∨ (π‘β€˜πΉ) = -1))
2522, 24sylib 217 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 1 ∨ (π‘β€˜πΉ) = -1))
26 orel1 887 . 2 (Β¬ (π‘β€˜πΉ) = 1 β†’ (((π‘β€˜πΉ) = 1 ∨ (π‘β€˜πΉ) = -1) β†’ (π‘β€˜πΉ) = -1))
2713, 25, 26sylc 65 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 βˆ– (pmEvenβ€˜π·))) β†’ (π‘β€˜πΉ) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ– cdif 3945  {cpr 4630  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  1c1 11110  -cneg 11444  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172   GrpHom cghm 19088  SymGrpcsymg 19233  pmSgncpsgn 19356  pmEvencevpm 19357  mulGrpcmgp 19986  β„‚fldccnfld 20943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-splice 14699  df-reverse 14708  df-s2 14798  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-efmnd 18749  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-gim 19132  df-oppg 19209  df-symg 19234  df-pmtr 19309  df-psgn 19358  df-evpm 19359  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-cnfld 20944
This theorem is referenced by:  zrhpsgnodpm  21144  evpmodpmf1o  21148  odpmco  32242
  Copyright terms: Public domain W3C validator