Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks6d1c1p2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks6d1c1p2 42111
Description: 𝑃 and linear factors are introspective. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1c1p2.1 = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ((𝑂𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂𝑓)‘(𝑒 𝑦)))}
aks6d1c1p2.2 𝑆 = (Poly1𝐾)
aks6d1c1p2.3 𝐵 = (Base‘𝑆)
aks6d1c1p2.4 𝑋 = (var1𝐾)
aks6d1c1p2.5 𝑊 = (mulGrp‘𝑆)
aks6d1c1p2.6 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
aks6d1c1p2.7 = (.g𝑉)
aks6d1c1p2.8 𝐶 = (algSc‘𝑆)
aks6d1c1p2.9 𝐷 = (.g𝑊)
aks6d1c1p2.10 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c1p2.11 𝑂 = (eval1𝐾)
aks6d1c1p2.12 + = (+g𝑆)
aks6d1c1p2.13 (𝜑𝐾 ∈ Field)
aks6d1c1p2.14 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c1p2.15 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c1p2.16 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c1p2.17 (𝜑𝑃𝑁)
aks6d1c1p2.18 𝐹 = (𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
aks6d1c1p2.19 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
aks6d1c1p2 (𝜑𝑃 𝐹)
Distinct variable groups:   ,𝑒,𝑓   𝐵,𝑒,𝑓   𝑒,𝐹,𝑓,𝑦   𝑒,𝑂,𝑓   𝑃,𝑒,𝑓,𝑦   𝑅,𝑒,𝑓   𝑒,𝑉,𝑓   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑓)   𝐴(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐷(𝑦,𝑒,𝑓)   + (𝑦,𝑒,𝑓)   (𝑦,𝑒,𝑓)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦,𝑒,𝑓)   (𝑦)   𝐾(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑁(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑂(𝑦)   𝑉(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑋(𝑦,𝑒,𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c1p2
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks6d1c1p2.13 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ Field)
2 isfld 20741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ Field ↔ (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
31, 2sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
43simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ CRing)
5 aks6d1c1p2.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
65crngmgp 20239 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ CRing → 𝑉 ∈ CMnd)
74, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑉 ∈ CMnd)
8 aks6d1c1p2.15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
98nnnn0d 12589 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
10 aks6d1c1p2.7 . . . . . . . . . . 11 = (.g𝑉)
117, 9, 10isprimroot 42095 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 𝑦) = (0g𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙 𝑦) = (0g𝑉) → 𝑅𝑙))))
1211biimpd 229 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 𝑦) = (0g𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙 𝑦) = (0g𝑉) → 𝑅𝑙))))
1312imp 406 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 𝑦) = (0g𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙 𝑦) = (0g𝑉) → 𝑅𝑙)))
1413simp1d 1142 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))
15 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
165, 15mgpbas 20143 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐾) = (Base‘𝑉)
1716eqcomi 2745 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑉) = (Base‘𝐾)
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘𝑉) = (Base‘𝐾))
1918adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (Base‘𝑉) = (Base‘𝐾))
2019eleq2d 2826 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)))
2114, 20mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
2221ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)))
23 aks6d1c1p2.18 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐹 = (𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))
2524fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑂𝐹) = (𝑂‘(𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))))
2625fveq1d 6907 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑂𝐹)‘𝑦) = ((𝑂‘(𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑦))
2726oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ((𝑂𝐹)‘𝑦)) = (𝑃 ((𝑂‘(𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑦)))
28 aks6d1c1p2.11 . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 = (eval1𝐾)
29 aks6d1c1p2.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (Poly1𝐾)
30 aks6d1c1p2.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝑆)
314adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ CRing)
32 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
33 crngring 20243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ CRing → 𝐾 ∈ Ring)
34 aks6d1c1p2.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = (var1𝐾)
3534, 29, 30vr1cl 22220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
3631, 33, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋𝐵)
3728, 34, 15, 29, 30, 31, 32evl1vard 22342 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑋)‘𝑦) = 𝑦))
3837simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑂𝑋)‘𝑦) = 𝑦)
3936, 38jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑋)‘𝑦) = 𝑦))
404, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ Ring)
414crngringd 20244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ Ring)
42 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐾)
4342zrhrhm 21523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾))
44 rhmghm 20485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾) → (ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring GrpHom 𝐾))
45 zringbas 21465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℤ = (Base‘ℤring)
4645, 15ghmf 19239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring GrpHom 𝐾) → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
4741, 43, 44, 464syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
48 aks6d1c1p2.19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4947, 48ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴) ∈ (Base‘𝐾))
50 aks6d1c1p2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐶 = (algSc‘𝑆)
5129, 50, 15, 30ply1sclcl 22290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)) ∈ 𝐵)
5240, 49, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)) ∈ 𝐵)
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)) ∈ 𝐵)
5449adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴) ∈ (Base‘𝐾))
5528, 29, 15, 50, 30, 31, 54, 32evl1scad 22340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
5655simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑂‘(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))
5753, 56jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
58 aks6d1c1p2.12 . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g𝑆)
59 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐾) = (+g𝐾)
6028, 29, 15, 30, 31, 32, 39, 57, 58, 59evl1addd 22346 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))
6160simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑂‘(𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
6261oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ((𝑂‘(𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑦)) = (𝑃 (𝑦(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))
6327, 62eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ((𝑂𝐹)‘𝑦)) = (𝑃 (𝑦(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))
6425fveq1d 6907 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑂𝐹)‘(𝑃 𝑦)) = ((𝑂‘(𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑃 𝑦)))
65 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
665ringmgp 20237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Ring → 𝑉 ∈ Mnd)
6731, 33, 663syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑉 ∈ Mnd)
68 aks6d1c1p2.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
69 prmnn 16712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
7170nnnn0d 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
7332, 16eleqtrdi 2850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))
7465, 10, 67, 72, 73mulgnn0cld 19114 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑦) ∈ (Base‘𝑉))
7574, 17eleqtrdi 2850 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
7628, 34, 15, 29, 30, 31, 75evl1vard 22342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑋)‘(𝑃 𝑦)) = (𝑃 𝑦)))
7728, 29, 15, 50, 30, 31, 54, 75evl1scad 22340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))‘(𝑃 𝑦)) = ((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
7877simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑂‘(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))‘(𝑃 𝑦)) = ((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))
7953, 78jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))‘(𝑃 𝑦)) = ((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
8028, 29, 15, 30, 31, 75, 76, 79, 58, 59evl1addd 22346 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑃 𝑦)) = ((𝑃 𝑦)(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))
8180simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑂‘(𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘(𝑃 𝑦)) = ((𝑃 𝑦)(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
8264, 81eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑂𝐹)‘(𝑃 𝑦)) = ((𝑃 𝑦)(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
83 aks6d1c1p2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = (.g𝑊)
84 aks6d1c1p2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑊 = (mulGrp‘𝑆)
8584fveq2i 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.g𝑊) = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
8683, 85eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
875fveq2i 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (.g𝑉) = (.g‘(mulGrp‘𝐾))
8810, 87eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (.g‘(mulGrp‘𝐾))
8928, 29, 15, 30, 31, 32, 37, 86, 88, 72evl1expd 22350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃𝐷𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑃𝐷𝑋))‘𝑦) = (𝑃 𝑦)))
90 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+g𝑆) = (+g𝑆)
9128, 29, 15, 30, 31, 32, 89, 57, 90, 59evl1addd 22346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃𝐷𝑋)(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((𝑃𝐷𝑋)(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑦) = ((𝑃 𝑦)(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))
9291simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑂‘((𝑃𝐷𝑋)(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑦) = ((𝑃 𝑦)(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
93 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑦)(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)) = ((𝑃 𝑦)(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
9492, 93eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑂‘((𝑃𝐷𝑋)(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑦) = ((𝑃 𝑦)(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))
9594eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑦)(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)) = ((𝑂‘((𝑃𝐷𝑋)(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑦))
96 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)) = (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))
97 aks6d1c1p2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑃 = (chr‘𝐾)
9829, 34, 90, 84, 83, 50, 96, 97, 4, 68, 48ply1fermltlchr 22317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃𝐷(𝑋(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))) = ((𝑃𝐷𝑋)(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))
9998fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑂‘(𝑃𝐷(𝑋(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))) = (𝑂‘((𝑃𝐷𝑋)(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))))
10099fveq1d 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑂‘(𝑃𝐷(𝑋(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))))‘𝑦) = ((𝑂‘((𝑃𝐷𝑋)(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑦))
101100eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑂‘((𝑃𝐷𝑋)(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑦) = ((𝑂‘(𝑃𝐷(𝑋(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))))‘𝑦))
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑂‘((𝑃𝐷𝑋)(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑦) = ((𝑂‘(𝑃𝐷(𝑋(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))))‘𝑦))
10328, 29, 15, 30, 31, 32, 37, 55, 90, 59evl1addd 22346 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑋(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))‘𝑦) = (𝑦(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))
10428, 29, 15, 30, 31, 32, 103, 86, 88, 72evl1expd 22350 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃𝐷(𝑋(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑃𝐷(𝑋(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))))‘𝑦) = (𝑃 (𝑦(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))))
105104simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑂‘(𝑃𝐷(𝑋(+g𝑆)(𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)))))‘𝑦) = (𝑃 (𝑦(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))
10695, 102, 1053eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑦)(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)) = (𝑃 (𝑦(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))
10782, 106eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑂𝐹)‘(𝑃 𝑦)) = (𝑃 (𝑦(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))
108107eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 (𝑦(+g𝐾)((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))) = ((𝑂𝐹)‘(𝑃 𝑦)))
10963, 108eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ((𝑂𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂𝐹)‘(𝑃 𝑦)))
110109adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ((𝑂𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂𝐹)‘(𝑃 𝑦)))
111110ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) → (𝑃 ((𝑂𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂𝐹)‘(𝑃 𝑦))))
112111ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) → (𝑃 ((𝑂𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂𝐹)‘(𝑃 𝑦)))))
11322, 112mpdd 43 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) → (𝑃 ((𝑂𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂𝐹)‘(𝑃 𝑦))))
114113imp 406 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝑃 ((𝑂𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂𝐹)‘(𝑃 𝑦)))
115114ralrimiva 3145 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑃 ((𝑂𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂𝐹)‘(𝑃 𝑦)))
116 aks6d1c1p2.1 . . 3 = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ((𝑂𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂𝑓)‘(𝑒 𝑦)))}
11729ply1crng 22201 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ CRing → 𝑆 ∈ CRing)
1184, 117syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
119 crngring 20243 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
120118, 119syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
121120ringgrpd 20240 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
12241, 35syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
123121, 122, 523jca 1128 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)) ∈ 𝐵))
12430, 58grpcl 18960 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))) ∈ 𝐵)
125123, 124syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))) ∈ 𝐵)
12623a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))))
127126eleq1d 2825 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵 ↔ (𝑋 + (𝐶‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝐴))) ∈ 𝐵))
128125, 127mpbird 257 . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
129116, 128, 70aks6d1c1p1 42109 . 2 (𝜑 → (𝑃 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑃 ((𝑂𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂𝐹)‘(𝑃 𝑦))))
130115, 129mpbird 257 1 (𝜑𝑃 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060   class class class wbr 5142  {copab 5204  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  1c1 11157  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615  cdvds 16291   gcd cgcd 16532  cprime 16709  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  0gc0g 17485  Mndcmnd 18748  Grpcgrp 18952  .gcmg 19086   GrpHom cghm 19231  CMndccmn 19799  mulGrpcmgp 20138  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232   RingHom crh 20470  DivRingcdr 20730  Fieldcfield 20731  ringczring 21458  ℤRHomczrh 21511  chrcchr 21513  algSccascl 21873  var1cv1 22178  Poly1cpl1 22179  eval1ce1 22319   PrimRoots cprimroots 42093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-phi 16804  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-od 19547  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-rhm 20473  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-drng 20732  df-field 20733  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-cnfld 21366  df-zring 21459  df-zrh 21515  df-chr 21517  df-assa 21874  df-asp 21875  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-evls 22099  df-evl 22100  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-evl1 22321  df-primroots 42094
This theorem is referenced by:  aks6d1c1  42118
  Copyright terms: Public domain W3C validator