Theorem nmoeq0 24660

Description: The operator norm is zero only for the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmo0.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmo0.3	⊢ 0 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmoeq0	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem nmoeq0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 0 → (𝑁‘𝐹) = 0)
2		0re 11229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
3	1, 2	eqeltrdi 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 0 → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
4		nmo0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
5	4	isnghm2 24648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
6	5	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
7	3, 6	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
8		nmo0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
9		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
10		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
11	4, 8, 9, 10	nmoi 24652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
12	7, 11	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
13		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐹) = 0)
14	13	oveq1d 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
15		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
16	8, 9	nmcl 24540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
17	15, 16	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
19	18	mul02d 11425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
20	14, 19	eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
21	12, 20	breqtrd 5142	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 0)
22		simpll2 1213	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
23		simpl3 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
24		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
25	8, 24	ghmf 19188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
27	26	ffvelcdmda 7070	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
28	24, 10	nmge0 24541	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))
29	22, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))
30	24, 10	nmcl 24540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
31	22, 27, 30	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
32		letri3 11312	. . . . . . . 8 ⊢ ((((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))))
33	31, 2, 32	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))))
34	21, 29, 33	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0)
35		nmo0.3	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
36	24, 10, 35	nmeq0 24542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
37	22, 27, 36	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
38	34, 37	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
39	38	mpteq2dva 5211	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 ))
40	26	feqmptd 6943	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝐹‘𝑥)))
41		fconstmpt 5713	. . . . 5 ⊢ (𝑉 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → (𝑉 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 ))
43	39, 40, 42	3eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑉 × { 0 }))
44	43	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) = 0 → 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))
45	4, 8, 35	nmo0 24659	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
46	45	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
47		fveqeq2 6881	. . 3 ⊢ (𝐹 = (𝑉 × { 0 }) → ((𝑁‘𝐹) = 0 ↔ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0))
48	46, 47	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 = (𝑉 × { 0 }) → (𝑁‘𝐹) = 0))
49	44, 48	impbid 212	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {csn 4599   class class class wbr 5116   ↦ cmpt 5198   × cxp 5649  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  ℝcr 11120  0cc0 11121   · cmul 11126   ≤ cle 11262  Basecbs 17213  0_gc0g 17438   GrpHom cghm 19180  normcnm 24500  NrmGrpcngp 24501   normOp cnmo 24629   NGHom cnghm 24630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8713  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9448  df-inf 9449  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13120  df-xadd 13121  df-xmul 13122  df-ico 13359  df-0g 17440  df-topgen 17442  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-grp 18904  df-ghm 19181  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-top 22817  df-topon 22834  df-topsp 22856  df-bases 22869  df-xms 24244  df-ms 24245  df-nm 24506  df-ngp 24507  df-nmo 24632  df-nghm 24633

This theorem is referenced by: (None)