Theorem nmoeq0 24100

Description: The operator norm is zero only for the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmo0.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmo0.3	⊢ 0 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmoeq0	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem nmoeq0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 0 → (𝑁‘𝐹) = 0)
2		0re 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
3	1, 2	eqeltrdi 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 0 → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
4		nmo0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
5	4	isnghm2 24088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
6	5	biimpar 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
7	3, 6	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
8		nmo0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
9		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
10		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
11	4, 8, 9, 10	nmoi 24092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
12	7, 11	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
13		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐹) = 0)
14	13	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
15		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
16	8, 9	nmcl 23972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
17	15, 16	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
19	18	mul02d 11353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
20	14, 19	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
21	12, 20	breqtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 0)
22		simpll2 1213	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
23		simpl3 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
24		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
25	8, 24	ghmf 19012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
27	26	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
28	24, 10	nmge0 23973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))
29	22, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))
30	24, 10	nmcl 23972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
31	22, 27, 30	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
32		letri3 11240	. . . . . . . 8 ⊢ ((((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))))
33	31, 2, 32	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))))
34	21, 29, 33	mpbir2and 711	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0)
35		nmo0.3	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
36	24, 10, 35	nmeq0 23974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
37	22, 27, 36	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
38	34, 37	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
39	38	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 ))
40	26	feqmptd 6910	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝐹‘𝑥)))
41		fconstmpt 5694	. . . . 5 ⊢ (𝑉 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → (𝑉 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 ))
43	39, 40, 42	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑉 × { 0 }))
44	43	ex 413	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) = 0 → 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))
45	4, 8, 35	nmo0 24099	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
46	45	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
47		fveqeq2 6851	. . 3 ⊢ (𝐹 = (𝑉 × { 0 }) → ((𝑁‘𝐹) = 0 ↔ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0))
48	46, 47	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 = (𝑉 × { 0 }) → (𝑁‘𝐹) = 0))
49	44, 48	impbid 211	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056   ≤ cle 11190  Basecbs 17083  0_gc0g 17321   GrpHom cghm 19005  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933   normOp cnmo 24069   NGHom cnghm 24070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-0g 17323  df-topgen 17325  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-ghm 19006  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-xms 23673  df-ms 23674  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nmo 24072  df-nghm 24073

This theorem is referenced by: (None)