MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoeq0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmoeq0 24253
Description: The operator norm is zero only for the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmo0.3 0 = (0gβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
nmoeq0 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 Γ— { 0 })))
Proof of Theorem nmoeq0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜πΉ) = 0 β†’ (π‘β€˜πΉ) = 0)
2 0re 11216 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
31, 2eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜πΉ) = 0 β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ)
4 nmo0.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
54isnghm2 24241 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ))
65biimpar 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
73, 6sylan2 594 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
8 nmo0.2 . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
9 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (normβ€˜π‘†) = (normβ€˜π‘†)
10 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (normβ€˜π‘‡) = (normβ€˜π‘‡)
114, 8, 9, 10nmoi 24245 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
127, 11sylan 581 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
13 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜πΉ) = 0)
1413oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = (0 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
15 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
168, 9nmcl 24125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1715, 16sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1817recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1918mul02d 11412 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (0 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = 0)
2014, 19eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = 0)
2112, 20breqtrd 5175 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 0)
22 simpll2 1214 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
23 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
24 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
258, 24ghmf 19096 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
2623, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
2726ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
2824, 10nmge0 24126 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ 0 ≀ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
2922, 27, 28syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
3024, 10nmcl 24125 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
3122, 27, 30syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
32 letri3 11299 . . . . . . . 8 ((((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = 0 ↔ (((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
3331, 2, 32sylancl 587 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = 0 ↔ (((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
3421, 29, 33mpbir2and 712 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = 0)
35 nmo0.3 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘‡)
3624, 10, 35nmeq0 24127 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ))
3722, 27, 36syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ))
3834, 37mpbid 231 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )
3938mpteq2dva 5249 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 ))
4026feqmptd 6961 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
41 fconstmpt 5739 . . . . 5 (𝑉 Γ— { 0 }) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 )
4241a1i 11 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 ))
4339, 40, 423eqtr4d 2783 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) β†’ 𝐹 = (𝑉 Γ— { 0 }))
4443ex 414 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 0 β†’ 𝐹 = (𝑉 Γ— { 0 })))
454, 8, 35nmo0 24252 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0)
46453adant3 1133 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0)
47 fveqeq2 6901 . . 3 (𝐹 = (𝑉 Γ— { 0 }) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 0 ↔ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0))
4846, 47syl5ibrcom 246 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (𝐹 = (𝑉 Γ— { 0 }) β†’ (π‘β€˜πΉ) = 0))
4944, 48impbid 211 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 Γ— { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249  Basecbs 17144  0gc0g 17385   GrpHom cghm 19089  normcnm 24085  NrmGrpcngp 24086   normOp cnmo 24222   NGHom cnghm 24223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-ghm 19090  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nmo 24225  df-nghm 24226
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator