Theorem nmoeq0 24798

Description: The operator norm is zero only for the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmo0.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmo0.3	⊢ 0 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmoeq0	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem nmoeq0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 0 → (𝑁‘𝐹) = 0)
2		0re 11185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
3	1, 2	eqeltrdi 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 0 → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
4		nmo0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
5	4	isnghm2 24786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
6	5	biimpar 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
7	3, 6	sylan2 602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
8		nmo0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
9		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
10		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
11	4, 8, 9, 10	nmoi 24790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
12	7, 11	sylan 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
13		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐹) = 0)
14	13	oveq1d 7413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
15		simpl1 1206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
16	8, 9	nmcl 24678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
17	15, 16	sylan 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
19	18	mul02d 11383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
20	14, 19	eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
21	12, 20	breqtrd 5128	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 0)
22		simpll2 1228	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
23		simpl3 1208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
24		eqid 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
25	8, 24	ghmf 19262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
27	26	ffvelcdmda 7067	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
28	24, 10	nmge0 24679	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))
29	22, 27, 28	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))
30	24, 10	nmcl 24678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
31	22, 27, 30	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
32		letri3 11270	. . . . . . . 8 ⊢ ((((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))))
33	31, 2, 32	sylancl 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))))
34	21, 29, 33	mpbir2and 723	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0)
35		nmo0.3	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
36	24, 10, 35	nmeq0 24680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
37	22, 27, 36	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
38	34, 37	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
39	38	mpteq2dva 5195	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 ))
40	26	feqmptd 6937	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝐹‘𝑥)))
41		fconstmpt 5711	. . . . 5 ⊢ (𝑉 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → (𝑉 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 ))
43	39, 40, 42	3eqtr4d 2809	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑉 × { 0 }))
44	43	ex 416	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) = 0 → 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))
45	4, 8, 35	nmo0 24797	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
46	45	3adant3 1146	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
47		fveqeq2 6878	. . 3 ⊢ (𝐹 = (𝑉 × { 0 }) → ((𝑁‘𝐹) = 0 ↔ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0))
48	46, 47	syl5ibrcom 249	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 = (𝑉 × { 0 }) → (𝑁‘𝐹) = 0))
49	44, 48	impbid 214	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   × cxp 5647  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  0cc0 11075   · cmul 11080   ≤ cle 11219  Basecbs 17247  0_gc0g 17470   GrpHom cghm 19255  normcnm 24638  NrmGrpcngp 24639   normOp cnmo 24767   NGHom cnghm 24768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ico 13357  df-0g 17472  df-topgen 17474  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-grp 18980  df-ghm 19256  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-top 22956  df-topon 22973  df-topsp 22995  df-bases 23008  df-xms 24382  df-ms 24383  df-nm 24644  df-ngp 24645  df-nmo 24770  df-nghm 24771

This theorem is referenced by: (None)