Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoeq0 23349
 Description: The operator norm is zero only for the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmo0.3 0 = (0g𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmoeq0 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem nmoeq0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝐹) = 0 → (𝑁𝐹) = 0)
2 0re 10641 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
31, 2eqeltrdi 2924 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐹) = 0 → (𝑁𝐹) ∈ ℝ)
4 nmo0.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
54isnghm2 23337 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁𝐹) ∈ ℝ))
65biimpar 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
73, 6sylan2 595 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
8 nmo0.2 . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑆)
9 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
10 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
114, 8, 9, 10nmoi 23341 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
127, 11sylan 583 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
13 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑁𝐹) = 0)
1413oveq1d 7164 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
15 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
168, 9nmcl 23229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
1715, 16sylan 583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
1817recnd 10667 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
1918mul02d 10836 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
2014, 19eqtrd 2859 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
2112, 20breqtrd 5078 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ≤ 0)
22 simpll2 1210 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
23 simpl3 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
24 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
258, 24ghmf 18362 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
2623, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
2726ffvelrnda 6842 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
2824, 10nmge0 23230 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))
2922, 27, 28syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))
3024, 10nmcl 23229 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
3122, 27, 30syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
32 letri3 10724 . . . . . . . 8 ((((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) = 0 ↔ (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))))
3331, 2, 32sylancl 589 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) = 0 ↔ (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))))
3421, 29, 33mpbir2and 712 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) = 0)
35 nmo0.3 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑇)
3624, 10, 35nmeq0 23231 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) = 0 ↔ (𝐹𝑥) = 0 ))
3722, 27, 36syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) = 0 ↔ (𝐹𝑥) = 0 ))
3834, 37mpbid 235 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐹𝑥) = 0 )
3938mpteq2dva 5147 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → (𝑥𝑉 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝑉0 ))
4026feqmptd 6724 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ (𝐹𝑥)))
41 fconstmpt 5601 . . . . 5 (𝑉 × { 0 }) = (𝑥𝑉0 )
4241a1i 11 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → (𝑉 × { 0 }) = (𝑥𝑉0 ))
4339, 40, 423eqtr4d 2869 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑉 × { 0 }))
4443ex 416 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁𝐹) = 0 → 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))
454, 8, 35nmo0 23348 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
46453adant3 1129 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
47 fveqeq2 6670 . . 3 (𝐹 = (𝑉 × { 0 }) → ((𝑁𝐹) = 0 ↔ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0))
4846, 47syl5ibrcom 250 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 = (𝑉 × { 0 }) → (𝑁𝐹) = 0))
4944, 48impbid 215 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {csn 4550   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132   × cxp 5540  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℝcr 10534  0cc0 10535   · cmul 10540   ≤ cle 10674  Basecbs 16483  0gc0g 16713   GrpHom cghm 18355  normcnm 23190  NrmGrpcngp 23191   normOp cnmo 23318   NGHom cnghm 23319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ico 12741  df-0g 16715  df-topgen 16717  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-grp 18106  df-ghm 18356  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-xms 22934  df-ms 22935  df-nm 23196  df-ngp 23197  df-nmo 23321  df-nghm 23322 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator