MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoeq0 24697
Description: The operator norm is zero only for the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmo0.3 0 = (0g𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmoeq0 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem nmoeq0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝐹) = 0 → (𝑁𝐹) = 0)
2 0re 11248 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
31, 2eqeltrdi 2833 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐹) = 0 → (𝑁𝐹) ∈ ℝ)
4 nmo0.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
54isnghm2 24685 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁𝐹) ∈ ℝ))
65biimpar 476 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
73, 6sylan2 591 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
8 nmo0.2 . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑆)
9 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
10 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
114, 8, 9, 10nmoi 24689 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
127, 11sylan 578 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
13 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑁𝐹) = 0)
1413oveq1d 7434 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
15 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
168, 9nmcl 24569 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
1715, 16sylan 578 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
1817recnd 11274 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
1918mul02d 11444 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
2014, 19eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑁𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
2112, 20breqtrd 5175 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ≤ 0)
22 simpll2 1210 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
23 simpl3 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
24 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
258, 24ghmf 19183 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
2623, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
2726ffvelcdmda 7093 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
2824, 10nmge0 24570 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))
2922, 27, 28syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))
3024, 10nmcl 24569 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
3122, 27, 30syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
32 letri3 11331 . . . . . . . 8 ((((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) = 0 ↔ (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))))
3331, 2, 32sylancl 584 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) = 0 ↔ (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))))
3421, 29, 33mpbir2and 711 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) = 0)
35 nmo0.3 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑇)
3624, 10, 35nmeq0 24571 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) = 0 ↔ (𝐹𝑥) = 0 ))
3722, 27, 36syl2anc 582 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹𝑥)) = 0 ↔ (𝐹𝑥) = 0 ))
3834, 37mpbid 231 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐹𝑥) = 0 )
3938mpteq2dva 5249 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → (𝑥𝑉 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝑉0 ))
4026feqmptd 6966 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ (𝐹𝑥)))
41 fconstmpt 5740 . . . . 5 (𝑉 × { 0 }) = (𝑥𝑉0 )
4241a1i 11 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → (𝑉 × { 0 }) = (𝑥𝑉0 ))
4339, 40, 423eqtr4d 2775 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑉 × { 0 }))
4443ex 411 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁𝐹) = 0 → 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))
454, 8, 35nmo0 24696 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
46453adant3 1129 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
47 fveqeq2 6905 . . 3 (𝐹 = (𝑉 × { 0 }) → ((𝑁𝐹) = 0 ↔ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0))
4846, 47syl5ibrcom 246 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 = (𝑉 × { 0 }) → (𝑁𝐹) = 0))
4944, 48impbid 211 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4630   class class class wbr 5149  cmpt 5232   × cxp 5676  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11139  0cc0 11140   · cmul 11145  cle 11281  Basecbs 17183  0gc0g 17424   GrpHom cghm 19175  normcnm 24529  NrmGrpcngp 24530   normOp cnmo 24666   NGHom cnghm 24667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ico 13365  df-0g 17426  df-topgen 17428  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-grp 18901  df-ghm 19176  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-xms 24270  df-ms 24271  df-nm 24535  df-ngp 24536  df-nmo 24669  df-nghm 24670
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator