Theorem nmoeq0 24715

Description: The operator norm is zero only for the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmo0.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmo0.3	⊢ 0 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmoeq0	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem nmoeq0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 0 → (𝑁‘𝐹) = 0)
2		0re 11141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
3	1, 2	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 0 → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
4		nmo0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
5	4	isnghm2 24703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
6	5	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
7	3, 6	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
8		nmo0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
9		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
10		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
11	4, 8, 9, 10	nmoi 24707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
12	7, 11	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
13		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐹) = 0)
14	13	oveq1d 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
15		simpl1 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
16	8, 9	nmcl 24595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
17	15, 16	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
19	18	mul02d 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
20	14, 19	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
21	12, 20	breqtrd 5112	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 0)
22		simpll2 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
23		simpl3 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
24		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
25	8, 24	ghmf 19190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
27	26	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
28	24, 10	nmge0 24596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))
29	22, 27, 28	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))
30	24, 10	nmcl 24595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
31	22, 27, 30	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
32		letri3 11226	. . . . . . . 8 ⊢ ((((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))))
33	31, 2, 32	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))))
34	21, 29, 33	mpbir2and 714	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0)
35		nmo0.3	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
36	24, 10, 35	nmeq0 24597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
37	22, 27, 36	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
38	34, 37	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
39	38	mpteq2dva 5179	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 ))
40	26	feqmptd 6904	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝐹‘𝑥)))
41		fconstmpt 5688	. . . . 5 ⊢ (𝑉 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → (𝑉 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 ))
43	39, 40, 42	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑉 × { 0 }))
44	43	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) = 0 → 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))
45	4, 8, 35	nmo0 24714	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
46	45	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
47		fveqeq2 6845	. . 3 ⊢ (𝐹 = (𝑉 × { 0 }) → ((𝑁‘𝐹) = 0 ↔ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0))
48	46, 47	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 = (𝑉 × { 0 }) → (𝑁‘𝐹) = 0))
49	44, 48	impbid 212	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5624  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  0cc0 11033   · cmul 11038   ≤ cle 11175  Basecbs 17174  0_gc0g 17397   GrpHom cghm 19182  normcnm 24555  NrmGrpcngp 24556   normOp cnmo 24684   NGHom cnghm 24685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ico 13299  df-0g 17399  df-topgen 17401  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-grp 18907  df-ghm 19183  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-xms 24299  df-ms 24300  df-nm 24561  df-ngp 24562  df-nmo 24687  df-nghm 24688

This theorem is referenced by: (None)