Theorem nmoeq0 24757

Description: The operator norm is zero only for the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmo0.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmo0.3	⊢ 0 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
nmoeq0	⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem nmoeq0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 0 → (𝑁‘𝐹) = 0)
2		0re 11263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
3	1, 2	eqeltrdi 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝐹) = 0 → (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ)
4		nmo0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
5	4	isnghm2 24745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ))
6	5	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
7	3, 6	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
8		nmo0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
9		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
10		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
11	4, 8, 9, 10	nmoi 24749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
12	7, 11	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
13		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐹) = 0)
14	13	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
15		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
16	8, 9	nmcl 24629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
17	15, 16	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
19	18	mul02d 11459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
20	14, 19	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝐹) · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
21	12, 20	breqtrd 5169	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 0)
22		simpll2 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
23		simpl3 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
24		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
25	8, 24	ghmf 19238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
27	26	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
28	24, 10	nmge0 24630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))
29	22, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))
30	24, 10	nmcl 24629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
31	22, 27, 30	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
32		letri3 11346	. . . . . . . 8 ⊢ ((((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))))
33	31, 2, 32	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)))))
34	21, 29, 33	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0)
35		nmo0.3	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑇)
36	24, 10, 35	nmeq0 24631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
37	22, 27, 36	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (((norm‘𝑇)‘(𝐹‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 ))
38	34, 37	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
39	38	mpteq2dva 5242	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 ))
40	26	feqmptd 6977	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝐹‘𝑥)))
41		fconstmpt 5747	. . . . 5 ⊢ (𝑉 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 )
42	41	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → (𝑉 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ 0 ))
43	39, 40, 42	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁‘𝐹) = 0) → 𝐹 = (𝑉 × { 0 }))
44	43	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) = 0 → 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))
45	4, 8, 35	nmo0 24756	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
46	45	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
47		fveqeq2 6915	. . 3 ⊢ (𝐹 = (𝑉 × { 0 }) → ((𝑁‘𝐹) = 0 ↔ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0))
48	46, 47	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 = (𝑉 × { 0 }) → (𝑁‘𝐹) = 0))
49	44, 48	impbid 212	1 ⊢ ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 × { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160   ≤ cle 11296  Basecbs 17247  0_gc0g 17484   GrpHom cghm 19230  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590   normOp cnmo 24726   NGHom cnghm 24727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-ghm 19231  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nmo 24729  df-nghm 24730

This theorem is referenced by: (None)