MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoeq0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmoeq0 24152
Description: The operator norm is zero only for the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmo0.3 0 = (0gβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
nmoeq0 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 Γ— { 0 })))
Proof of Theorem nmoeq0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜πΉ) = 0 β†’ (π‘β€˜πΉ) = 0)
2 0re 11181 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
31, 2eqeltrdi 2840 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜πΉ) = 0 β†’ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ)
4 nmo0.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
54isnghm2 24140 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ))
65biimpar 478 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
73, 6sylan2 593 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
8 nmo0.2 . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
9 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (normβ€˜π‘†) = (normβ€˜π‘†)
10 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (normβ€˜π‘‡) = (normβ€˜π‘‡)
114, 8, 9, 10nmoi 24144 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
127, 11sylan 580 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ ((π‘β€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
13 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜πΉ) = 0)
1413oveq1d 7392 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = (0 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)))
15 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
168, 9nmcl 24024 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1715, 16sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1817recnd 11207 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1918mul02d 11377 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (0 Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = 0)
2014, 19eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜πΉ) Β· ((normβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = 0)
2112, 20breqtrd 5151 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 0)
22 simpll2 1213 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
23 simpl3 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
24 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
258, 24ghmf 19041 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
2623, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π‘‡))
2726ffvelcdmda 7055 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
2824, 10nmge0 24025 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ 0 ≀ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
2922, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 0 ≀ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
3024, 10nmcl 24024 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
3122, 27, 30syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
32 letri3 11264 . . . . . . . 8 ((((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = 0 ↔ (((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
3331, 2, 32sylancl 586 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = 0 ↔ (((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
3421, 29, 33mpbir2and 711 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = 0)
35 nmo0.3 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘‡)
3624, 10, 35nmeq0 24026 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘‡)) β†’ (((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ))
3722, 27, 36syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (((normβ€˜π‘‡)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ))
3834, 37mpbid 231 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )
3938mpteq2dva 5225 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 ))
4026feqmptd 6930 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
41 fconstmpt 5714 . . . . 5 (𝑉 Γ— { 0 }) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 )
4241a1i 11 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ 0 ))
4339, 40, 423eqtr4d 2781 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (π‘β€˜πΉ) = 0) β†’ 𝐹 = (𝑉 Γ— { 0 }))
4443ex 413 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 0 β†’ 𝐹 = (𝑉 Γ— { 0 })))
454, 8, 35nmo0 24151 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0)
46453adant3 1132 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0)
47 fveqeq2 6871 . . 3 (𝐹 = (𝑉 Γ— { 0 }) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 0 ↔ (π‘β€˜(𝑉 Γ— { 0 })) = 0))
4846, 47syl5ibrcom 246 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ (𝐹 = (𝑉 Γ— { 0 }) β†’ (π‘β€˜πΉ) = 0))
4944, 48impbid 211 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) β†’ ((π‘β€˜πΉ) = 0 ↔ 𝐹 = (𝑉 Γ— { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4606   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5208   Γ— cxp 5651  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  β„cr 11074  0cc0 11075   Β· cmul 11080   ≀ cle 11214  Basecbs 17109  0gc0g 17350   GrpHom cghm 19034  normcnm 23984  NrmGrpcngp 23985   normOp cnmo 24121   NGHom cnghm 24122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-q 12898  df-rp 12940  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ico 13295  df-0g 17352  df-topgen 17354  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-mhm 18630  df-grp 18780  df-ghm 19035  df-psmet 20840  df-xmet 20841  df-met 20842  df-bl 20843  df-mopn 20844  df-top 22295  df-topon 22312  df-topsp 22334  df-bases 22348  df-xms 23725  df-ms 23726  df-nm 23990  df-ngp 23991  df-nmo 24124  df-nghm 24125
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator