![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > zrhpsgnevpm | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The sign of an even permutation embedded into a ring is the unity element of the ring. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
zrhpsgnevpm.y | โข ๐ = (โคRHomโ๐ ) |
zrhpsgnevpm.s | โข ๐ = (pmSgnโ๐) |
zrhpsgnevpm.o | โข 1 = (1rโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
zrhpsgnevpm | โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ Fin โง ๐น โ (pmEvenโ๐)) โ ((๐ โ ๐)โ๐น) = 1 ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2733 | . . . . . 6 โข (SymGrpโ๐) = (SymGrpโ๐) | |
2 | zrhpsgnevpm.s | . . . . . 6 โข ๐ = (pmSgnโ๐) | |
3 | eqid 2733 | . . . . . 6 โข ((mulGrpโโfld) โพs {1, -1}) = ((mulGrpโโfld) โพs {1, -1}) | |
4 | 1, 2, 3 | psgnghm2 21008 | . . . . 5 โข (๐ โ Fin โ ๐ โ ((SymGrpโ๐) GrpHom ((mulGrpโโfld) โพs {1, -1}))) |
5 | eqid 2733 | . . . . . 6 โข (Baseโ(SymGrpโ๐)) = (Baseโ(SymGrpโ๐)) | |
6 | eqid 2733 | . . . . . 6 โข (Baseโ((mulGrpโโfld) โพs {1, -1})) = (Baseโ((mulGrpโโfld) โพs {1, -1})) | |
7 | 5, 6 | ghmf 19020 | . . . . 5 โข (๐ โ ((SymGrpโ๐) GrpHom ((mulGrpโโfld) โพs {1, -1})) โ ๐:(Baseโ(SymGrpโ๐))โถ(Baseโ((mulGrpโโfld) โพs {1, -1}))) |
8 | 4, 7 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ Fin โ ๐:(Baseโ(SymGrpโ๐))โถ(Baseโ((mulGrpโโfld) โพs {1, -1}))) |
9 | 8 | 3ad2ant2 1135 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ Fin โง ๐น โ (pmEvenโ๐)) โ ๐:(Baseโ(SymGrpโ๐))โถ(Baseโ((mulGrpโโfld) โพs {1, -1}))) |
10 | 1, 5 | evpmss 21013 | . . . . 5 โข (pmEvenโ๐) โ (Baseโ(SymGrpโ๐)) |
11 | 10 | sseli 3944 | . . . 4 โข (๐น โ (pmEvenโ๐) โ ๐น โ (Baseโ(SymGrpโ๐))) |
12 | 11 | 3ad2ant3 1136 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ Fin โง ๐น โ (pmEvenโ๐)) โ ๐น โ (Baseโ(SymGrpโ๐))) |
13 | fvco3 6944 | . . 3 โข ((๐:(Baseโ(SymGrpโ๐))โถ(Baseโ((mulGrpโโfld) โพs {1, -1})) โง ๐น โ (Baseโ(SymGrpโ๐))) โ ((๐ โ ๐)โ๐น) = (๐โ(๐โ๐น))) | |
14 | 9, 12, 13 | syl2anc 585 | . 2 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ Fin โง ๐น โ (pmEvenโ๐)) โ ((๐ โ ๐)โ๐น) = (๐โ(๐โ๐น))) |
15 | 1, 5, 2 | psgnevpm 21016 | . . . 4 โข ((๐ โ Fin โง ๐น โ (pmEvenโ๐)) โ (๐โ๐น) = 1) |
16 | 15 | 3adant1 1131 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ Fin โง ๐น โ (pmEvenโ๐)) โ (๐โ๐น) = 1) |
17 | 16 | fveq2d 6850 | . 2 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ Fin โง ๐น โ (pmEvenโ๐)) โ (๐โ(๐โ๐น)) = (๐โ1)) |
18 | zrhpsgnevpm.y | . . . 4 โข ๐ = (โคRHomโ๐ ) | |
19 | zrhpsgnevpm.o | . . . 4 โข 1 = (1rโ๐ ) | |
20 | 18, 19 | zrh1 20936 | . . 3 โข (๐ โ Ring โ (๐โ1) = 1 ) |
21 | 20 | 3ad2ant1 1134 | . 2 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ Fin โง ๐น โ (pmEvenโ๐)) โ (๐โ1) = 1 ) |
22 | 14, 17, 21 | 3eqtrd 2777 | 1 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ Fin โง ๐น โ (pmEvenโ๐)) โ ((๐ โ ๐)โ๐น) = 1 ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 {cpr 4592 โ ccom 5641 โถwf 6496 โcfv 6500 (class class class)co 7361 Fincfn 8889 1c1 11060 -cneg 11394 Basecbs 17091 โพs cress 17120 GrpHom cghm 19013 SymGrpcsymg 19156 pmSgncpsgn 19279 pmEvencevpm 19280 mulGrpcmgp 19904 1rcur 19921 Ringcrg 19972 โfldccnfld 20819 โคRHomczrh 20923 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 ax-addf 11138 ax-mulf 11139 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-xor 1511 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-tp 4595 df-op 4597 df-ot 4599 df-uni 4870 df-int 4912 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-se 5593 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-isom 6509 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-om 7807 df-1st 7925 df-2nd 7926 df-tpos 8161 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-1o 8416 df-2o 8417 df-er 8654 df-map 8773 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-fin 8893 df-card 9883 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-div 11821 df-nn 12162 df-2 12224 df-3 12225 df-4 12226 df-5 12227 df-6 12228 df-7 12229 df-8 12230 df-9 12231 df-n0 12422 df-xnn0 12494 df-z 12508 df-dec 12627 df-uz 12772 df-rp 12924 df-fz 13434 df-fzo 13577 df-seq 13916 df-exp 13977 df-hash 14240 df-word 14412 df-lsw 14460 df-concat 14468 df-s1 14493 df-substr 14538 df-pfx 14568 df-splice 14647 df-reverse 14656 df-s2 14746 df-struct 17027 df-sets 17044 df-slot 17062 df-ndx 17074 df-base 17092 df-ress 17121 df-plusg 17154 df-mulr 17155 df-starv 17156 df-tset 17160 df-ple 17161 df-ds 17163 df-unif 17164 df-0g 17331 df-gsum 17332 df-mre 17474 df-mrc 17475 df-acs 17477 df-mgm 18505 df-sgrp 18554 df-mnd 18565 df-mhm 18609 df-submnd 18610 df-efmnd 18687 df-grp 18759 df-minusg 18760 df-mulg 18881 df-subg 18933 df-ghm 19014 df-gim 19057 df-oppg 19132 df-symg 19157 df-pmtr 19232 df-psgn 19281 df-evpm 19282 df-cmn 19572 df-abl 19573 df-mgp 19905 df-ur 19922 df-ring 19974 df-cring 19975 df-oppr 20057 df-dvdsr 20078 df-unit 20079 df-invr 20109 df-dvr 20120 df-rnghom 20156 df-drng 20221 df-subrg 20262 df-cnfld 20820 df-zring 20893 df-zrh 20927 |
This theorem is referenced by: mdet0pr 21964 mdetralt 21980 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |