Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhpsgnevpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhpsgnevpm 20284
 Description: The sign of an even permutation embedded into a ring is the multiplicative neutral element of the ring. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhpsgnevpm.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhpsgnevpm.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
zrhpsgnevpm.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
zrhpsgnevpm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = 1 )

Proof of Theorem zrhpsgnevpm
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . . . 6 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2 zrhpsgnevpm.s . . . . . 6 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3 eqid 2801 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
41, 2, 3psgnghm2 20274 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5 eqid 2801 . . . . . 6 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6 eqid 2801 . . . . . 6 (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
75, 6ghmf 18358 . . . . 5 (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑆:(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
84, 7syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → 𝑆:(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
983ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑆:(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
101, 5evpmss 20279 . . . . 5 (pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
1110sseli 3914 . . . 4 (𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁) → 𝐹 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
12113ad2ant3 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝐹 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
13 fvco3 6741 . . 3 ((𝑆:(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆𝐹)))
149, 12, 13syl2anc 587 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆𝐹)))
151, 5, 2psgnevpm 20282 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (𝑆𝐹) = 1)
16153adant1 1127 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (𝑆𝐹) = 1)
1716fveq2d 6653 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (𝑌‘(𝑆𝐹)) = (𝑌‘1))
18 zrhpsgnevpm.y . . . 4 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
19 zrhpsgnevpm.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
2018, 19zrh1 20210 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) = 1 )
21203ad2ant1 1130 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (𝑌‘1) = 1 )
2214, 17, 213eqtrd 2840 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((𝑌𝑆)‘𝐹) = 1 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {cpr 4530   ∘ ccom 5527  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  1c1 10531  -cneg 10864  Basecbs 16479   ↾s cress 16480   GrpHom cghm 18351  SymGrpcsymg 18491  pmSgncpsgn 18613  pmEvencevpm 18614  mulGrpcmgp 19236  1rcur 19248  Ringcrg 19294  ℂfldccnfld 20095  ℤRHomczrh 20197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-word 13862  df-lsw 13910  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-splice 14107  df-reverse 14116  df-s2 14205  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-efmnd 18030  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-gim 18395  df-oppg 18470  df-symg 18492  df-pmtr 18566  df-psgn 18615  df-evpm 18616  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-rnghom 19467  df-drng 19501  df-subrg 19530  df-cnfld 20096  df-zring 20168  df-zrh 20201 This theorem is referenced by:  mdet0pr  21201  mdetralt  21217
 Copyright terms: Public domain W3C validator