Theorem zrhpsgnevpm 21897

Description: The sign of an even permutation embedded into a ring is the unity element of the ring. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpsgnevpm.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhpsgnevpm.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
zrhpsgnevpm.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnevpm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = 1 )

Proof of Theorem zrhpsgnevpm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2		zrhpsgnevpm.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
4	1, 2, 3	psgnghm2 21887	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
7	5, 6	ghmf 19434	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ ((SymGrp‘𝑁) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑆:(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
8	4, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝑆:(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
9	8	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝑆:(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
10	1, 5	evpmss 21892	. . . . 5 ⊢ (pmEven‘𝑁) ⊆ (Base‘(SymGrp‘𝑁))
11	10	sseli 3927	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁) → 𝐹 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
12	11	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → 𝐹 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
13		fvco3 6985	. . 3 ⊢ ((𝑆:(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
14	9, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = (𝑌‘(𝑆‘𝐹)))
15	1, 5, 2	psgnevpm 21895	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (𝑆‘𝐹) = 1)
16	15	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (𝑆‘𝐹) = 1)
17	16	fveq2d 6889	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (𝑌‘(𝑆‘𝐹)) = (𝑌‘1))
18		zrhpsgnevpm.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
19		zrhpsgnevpm.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
20	18, 19	zrh1 21818	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) = 1 )
21	20	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → (𝑌‘1) = 1 )
22	14, 17, 21	3eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝑁)) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝐹) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4586   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  1c1 11201   -cneg 11542  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408   GrpHom cghm 19427  SymGrpcsymg 19583  pmSgncpsgn 19703  pmEvencevpm 19704  mulGrpcmgp 20360  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  ℂ_fldccnfld 21678  ℤRHomczrh 21805

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-splice 14899  df-reverse 14908  df-s2 14999  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-efmnd 19065  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-gim 19473  df-oppg 19560  df-symg 19584  df-pmtr 19656  df-psgn 19705  df-evpm 19706  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-drng 20982  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809

This theorem is used by:  mdet0pr  22907  mdetralt  22923