MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnevpmb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnevpmb 20423
Description: A class is an even permutation if it is a permutation with sign 1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnevpmb (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))

Proof of Theorem psgnevpmb
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3427 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → 𝐷 ∈ V)
2 fveq2 6493 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
3 psgnevpmb.n . . . . . . . 8 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
42, 3syl6eqr 2826 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = 𝑁)
54cnveqd 5589 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷(pmSgn‘𝑑) = 𝑁)
65imaeq1d 5763 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → ((pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (𝑁 “ {1}))
7 df-evpm 18371 . . . . 5 pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ ((pmSgn‘𝑑) “ {1}))
83fvexi 6507 . . . . . . 7 𝑁 ∈ V
98cnvex 7439 . . . . . 6 𝑁 ∈ V
109imaex 7430 . . . . 5 (𝑁 “ {1}) ∈ V
116, 7, 10fvmpt 6589 . . . 4 (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (𝑁 “ {1}))
121, 11syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) = (𝑁 “ {1}))
1312eleq2d 2845 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (𝑁 “ {1})))
14 evpmss.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
15 eqid 2772 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
1614, 3, 15psgnghm2 20417 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
17 evpmss.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝑆)
18 eqid 2772 . . . . 5 (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
1917, 18ghmf 18123 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
2016, 19syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
21 ffn 6338 . . 3 (𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁 Fn 𝑃)
22 fniniseg 6649 . . 3 (𝑁 Fn 𝑃 → (𝐹 ∈ (𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
2320, 21, 223syl 18 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
2413, 23bitrd 271 1 (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  Vcvv 3409  {csn 4435  {cpr 4437  ccnv 5399  cima 5403   Fn wfn 6177  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  Fincfn 8298  1c1 10328  -cneg 10663  Basecbs 16329  s cress 16330   GrpHom cghm 18116  SymGrpcsymg 18256  pmSgncpsgn 18368  pmEvencevpm 18369  mulGrpcmgp 18952  fldccnfld 20237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-addf 10406  ax-mulf 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-xor 1489  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-ot 4444  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-tpos 7688  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-xnn0 11773  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-rp 12198  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-seq 13178  df-exp 13238  df-hash 13499  df-word 13663  df-lsw 13716  df-concat 13724  df-s1 13749  df-substr 13794  df-pfx 13843  df-splice 13950  df-reverse 13968  df-s2 14062  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-mhm 17793  df-submnd 17794  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-subg 18050  df-ghm 18117  df-gim 18160  df-oppg 18235  df-symg 18257  df-pmtr 18321  df-psgn 18370  df-evpm 18371  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-cring 19013  df-oppr 19086  df-dvdsr 19104  df-unit 19105  df-invr 19135  df-dvr 19146  df-drng 19217  df-cnfld 20238
This theorem is referenced by:  psgnodpm  20424  psgnevpm  20425  evpmodpmf1o  20432  mdet0pr  20895
  Copyright terms: Public domain W3C validator