MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnevpmb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnevpmb 20734
Description: A class is an even permutation if it is a permutation with sign 1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnevpmb (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))

Proof of Theorem psgnevpmb
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3499 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → 𝐷 ∈ V)
2 fveq2 6662 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
3 psgnevpmb.n . . . . . . . 8 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
42, 3syl6eqr 2877 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = 𝑁)
54cnveqd 5734 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷(pmSgn‘𝑑) = 𝑁)
65imaeq1d 5916 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → ((pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (𝑁 “ {1}))
7 df-evpm 18623 . . . . 5 pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ ((pmSgn‘𝑑) “ {1}))
83fvexi 6676 . . . . . . 7 𝑁 ∈ V
98cnvex 7626 . . . . . 6 𝑁 ∈ V
109imaex 7617 . . . . 5 (𝑁 “ {1}) ∈ V
116, 7, 10fvmpt 6760 . . . 4 (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (𝑁 “ {1}))
121, 11syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) = (𝑁 “ {1}))
1312eleq2d 2901 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (𝑁 “ {1})))
14 evpmss.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
15 eqid 2824 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
1614, 3, 15psgnghm2 20728 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
17 evpmss.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝑆)
18 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
1917, 18ghmf 18365 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
2016, 19syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
21 ffn 6504 . . 3 (𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁 Fn 𝑃)
22 fniniseg 6822 . . 3 (𝑁 Fn 𝑃 → (𝐹 ∈ (𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
2320, 21, 223syl 18 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
2413, 23bitrd 282 1 (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3481  {csn 4551  {cpr 4553  ccnv 5542  cima 5546   Fn wfn 6339  wf 6340  cfv 6344  (class class class)co 7150  Fincfn 8506  1c1 10537  -cneg 10870  Basecbs 16486  s cress 16487   GrpHom cghm 18358  SymGrpcsymg 18498  pmSgncpsgn 18620  pmEvencevpm 18621  mulGrpcmgp 19242  fldccnfld 20548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-ot 4560  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-tpos 7889  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-xnn0 11968  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-rp 12390  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-seq 13377  df-exp 13438  df-hash 13699  df-word 13870  df-lsw 13918  df-concat 13926  df-s1 13953  df-substr 14006  df-pfx 14036  df-splice 14115  df-reverse 14124  df-s2 14213  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-submnd 17960  df-efmnd 18037  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-subg 18279  df-ghm 18359  df-gim 18402  df-oppg 18477  df-symg 18499  df-pmtr 18573  df-psgn 18622  df-evpm 18623  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-cring 19303  df-oppr 19379  df-dvdsr 19397  df-unit 19398  df-invr 19428  df-dvr 19439  df-drng 19507  df-cnfld 20549
This theorem is referenced by:  psgnodpm  20735  psgnevpm  20736  evpmodpmf1o  20743  mdet0pr  21204  odpmco  30765  evpmid  30825  cyc3evpm  30827
  Copyright terms: Public domain W3C validator