Theorem psgnevpmb 20138

Description: A class is an even permutation if it is a permutation with sign 1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmss.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnevpmb	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))

Proof of Theorem psgnevpmb

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3404	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐷 ∈ V)
2		fveq2 6406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
3		psgnevpmb.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
4	2, 3	syl6eqr 2856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = 𝑁)
5	4	cnveqd 5497	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ◡(pmSgn‘𝑑) = ◡𝑁)
6	5	imaeq1d 5673	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (◡𝑁 “ {1}))
7		df-evpm 18111	. . . . 5 ⊢ pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}))
8	3	fvexi 6420	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ V
9	8	cnvex 7341	. . . . . 6 ⊢ ◡𝑁 ∈ V
10	9	imaex 7332	. . . . 5 ⊢ (◡𝑁 “ {1}) ∈ V
11	6, 7, 10	fvmpt 6501	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (◡𝑁 “ {1}))
12	1, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) = (◡𝑁 “ {1}))
13	12	eleq2d 2869	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (◡𝑁 “ {1})))
14		evpmss.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
15		eqid 2804	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
16	14, 3, 15	psgnghm2 20132	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
17		evpmss.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
18		eqid 2804	. . . . 5 ⊢ (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
19	17, 18	ghmf 17864	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
20	16, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
21		ffn 6254	. . 3 ⊢ (𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁 Fn 𝑃)
22		fniniseg 6558	. . 3 ⊢ (𝑁 Fn 𝑃 → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
23	20, 21, 22	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
24	13, 23	bitrd 270	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   = wceq 1637   ∈ wcel 2156  Vcvv 3389  {csn 4368  {cpr 4370  ^◡ccnv 5308   “ cima 5312   Fn wfn 6094  ⟶wf 6095  ‘cfv 6099  (class class class)co 6872  Fincfn 8190  1c1 10220  -cneg 10550  Basecbs 16066   ↾_s cress 16067   GrpHom cghm 17857  SymGrpcsymg 17996  pmSgncpsgn 18108  pmEvencevpm 18109  mulGrpcmgp 18689  ℂ_fldccnfld 19952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2782  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5094  ax-un 7177  ax-cnex 10275  ax-resscn 10276  ax-1cn 10277  ax-icn 10278  ax-addcl 10279  ax-addrcl 10280  ax-mulcl 10281  ax-mulrcl 10282  ax-mulcom 10283  ax-addass 10284  ax-mulass 10285  ax-distr 10286  ax-i2m1 10287  ax-1ne0 10288  ax-1rid 10289  ax-rnegex 10290  ax-rrecex 10291  ax-cnre 10292  ax-pre-lttri 10293  ax-pre-lttrn 10294  ax-pre-ltadd 10295  ax-pre-mulgt0 10296  ax-addf 10298  ax-mulf 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-xor 1619  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2791  df-cleq 2797  df-clel 2800  df-nfc 2935  df-ne 2977  df-nel 3080  df-ral 3099  df-rex 3100  df-reu 3101  df-rmo 3102  df-rab 3103  df-v 3391  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4115  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-ot 4377  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5217  df-eprel 5222  df-po 5230  df-so 5231  df-fr 5268  df-se 5269  df-we 5270  df-xp 5315  df-rel 5316  df-cnv 5317  df-co 5318  df-dm 5319  df-rn 5320  df-res 5321  df-ima 5322  df-pred 5891  df-ord 5937  df-on 5938  df-lim 5939  df-suc 5940  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6833  df-ov 6875  df-oprab 6876  df-mpt2 6877  df-om 7294  df-1st 7396  df-2nd 7397  df-tpos 7585  df-wrecs 7640  df-recs 7702  df-rdg 7740  df-1o 7794  df-2o 7795  df-oadd 7798  df-er 7977  df-map 8092  df-en 8191  df-dom 8192  df-sdom 8193  df-fin 8194  df-card 9046  df-pnf 10359  df-mnf 10360  df-xr 10361  df-ltxr 10362  df-le 10363  df-sub 10551  df-neg 10552  df-div 10968  df-nn 11304  df-2 11362  df-3 11363  df-4 11364  df-5 11365  df-6 11366  df-7 11367  df-8 11368  df-9 11369  df-n0 11558  df-xnn0 11628  df-z 11642  df-dec 11758  df-uz 11903  df-rp 12045  df-fz 12548  df-fzo 12688  df-seq 13023  df-exp 13082  df-hash 13336  df-word 13508  df-lsw 13509  df-concat 13510  df-s1 13511  df-substr 13512  df-splice 13513  df-reverse 13514  df-s2 13815  df-struct 16068  df-ndx 16069  df-slot 16070  df-base 16072  df-sets 16073  df-ress 16074  df-plusg 16164  df-mulr 16165  df-starv 16166  df-tset 16170  df-ple 16171  df-ds 16173  df-unif 16174  df-0g 16305  df-gsum 16306  df-mre 16449  df-mrc 16450  df-acs 16452  df-mgm 17445  df-sgrp 17487  df-mnd 17498  df-mhm 17538  df-submnd 17539  df-grp 17628  df-minusg 17629  df-subg 17791  df-ghm 17858  df-gim 17901  df-oppg 17975  df-symg 17997  df-pmtr 18061  df-psgn 18110  df-evpm 18111  df-cmn 18394  df-abl 18395  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-drng 18951  df-cnfld 19953

This theorem is referenced by:  psgnodpm  20139  psgnevpm  20140  evpmodpmf1o  20148  mdet0pr  20607