Theorem psgnevpmb 21503

Description: A class is an even permutation if it is a permutation with sign 1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmss.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnevpmb	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))

Proof of Theorem psgnevpmb

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3471	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐷 ∈ V)
2		fveq2 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
3		psgnevpmb.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
4	2, 3	eqtr4di 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = 𝑁)
5	4	cnveqd 5842	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ◡(pmSgn‘𝑑) = ◡𝑁)
6	5	imaeq1d 6033	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (◡𝑁 “ {1}))
7		df-evpm 19429	. . . . 5 ⊢ pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}))
8	3	fvexi 6875	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ V
9	8	cnvex 7904	. . . . . 6 ⊢ ◡𝑁 ∈ V
10	9	imaex 7893	. . . . 5 ⊢ (◡𝑁 “ {1}) ∈ V
11	6, 7, 10	fvmpt 6971	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (◡𝑁 “ {1}))
12	1, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) = (◡𝑁 “ {1}))
13	12	eleq2d 2815	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (◡𝑁 “ {1})))
14		evpmss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
15		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
16	14, 3, 15	psgnghm2 21497	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
17		evpmss.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
18		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
19	17, 18	ghmf 19159	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
20		ffn 6691	. . 3 ⊢ (𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁 Fn 𝑃)
21		fniniseg 7035	. . 3 ⊢ (𝑁 Fn 𝑃 → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
22	16, 19, 20, 21	4syl 19	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
23	13, 22	bitrd 279	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  {csn 4592  {cpr 4594  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  1c1 11076  -cneg 11413  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207   GrpHom cghm 19151  SymGrpcsymg 19306  pmSgncpsgn 19426  pmEvencevpm 19427  mulGrpcmgp 20056  ℂ_fldccnfld 21271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-word 14486  df-lsw 14535  df-concat 14543  df-s1 14568  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-splice 14722  df-reverse 14731  df-s2 14821  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-efmnd 18803  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-gim 19198  df-oppg 19285  df-symg 19307  df-pmtr 19379  df-psgn 19428  df-evpm 19429  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-drng 20647  df-cnfld 21272

This theorem is referenced by:  psgnodpm  21504  psgnevpm  21505  evpmodpmf1o  21512  mdet0pr  22486  odpmco  33050  evpmid  33112  cyc3evpm  33114