MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnevpmb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnevpmb 20138
Description: A class is an even permutation if it is a permutation with sign 1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnevpmb (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))

Proof of Theorem psgnevpmb
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3404 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → 𝐷 ∈ V)
2 fveq2 6406 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
3 psgnevpmb.n . . . . . . . 8 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
42, 3syl6eqr 2856 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = 𝑁)
54cnveqd 5497 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷(pmSgn‘𝑑) = 𝑁)
65imaeq1d 5673 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 → ((pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (𝑁 “ {1}))
7 df-evpm 18111 . . . . 5 pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ ((pmSgn‘𝑑) “ {1}))
83fvexi 6420 . . . . . . 7 𝑁 ∈ V
98cnvex 7341 . . . . . 6 𝑁 ∈ V
109imaex 7332 . . . . 5 (𝑁 “ {1}) ∈ V
116, 7, 10fvmpt 6501 . . . 4 (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (𝑁 “ {1}))
121, 11syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) = (𝑁 “ {1}))
1312eleq2d 2869 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (𝑁 “ {1})))
14 evpmss.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
15 eqid 2804 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
1614, 3, 15psgnghm2 20132 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
17 evpmss.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝑆)
18 eqid 2804 . . . . 5 (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
1917, 18ghmf 17864 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
2016, 19syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
21 ffn 6254 . . 3 (𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁 Fn 𝑃)
22 fniniseg 6558 . . 3 (𝑁 Fn 𝑃 → (𝐹 ∈ (𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
2320, 21, 223syl 18 . 2 (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
2413, 23bitrd 270 1 (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  Vcvv 3389  {csn 4368  {cpr 4370  ccnv 5308  cima 5312   Fn wfn 6094  wf 6095  cfv 6099  (class class class)co 6872  Fincfn 8190  1c1 10220  -cneg 10550  Basecbs 16066  s cress 16067   GrpHom cghm 17857  SymGrpcsymg 17996  pmSgncpsgn 18108  pmEvencevpm 18109  mulGrpcmgp 18689  fldccnfld 19952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2782  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5094  ax-un 7177  ax-cnex 10275  ax-resscn 10276  ax-1cn 10277  ax-icn 10278  ax-addcl 10279  ax-addrcl 10280  ax-mulcl 10281  ax-mulrcl 10282  ax-mulcom 10283  ax-addass 10284  ax-mulass 10285  ax-distr 10286  ax-i2m1 10287  ax-1ne0 10288  ax-1rid 10289  ax-rnegex 10290  ax-rrecex 10291  ax-cnre 10292  ax-pre-lttri 10293  ax-pre-lttrn 10294  ax-pre-ltadd 10295  ax-pre-mulgt0 10296  ax-addf 10298  ax-mulf 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-xor 1619  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2791  df-cleq 2797  df-clel 2800  df-nfc 2935  df-ne 2977  df-nel 3080  df-ral 3099  df-rex 3100  df-reu 3101  df-rmo 3102  df-rab 3103  df-v 3391  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4115  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-ot 4377  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5217  df-eprel 5222  df-po 5230  df-so 5231  df-fr 5268  df-se 5269  df-we 5270  df-xp 5315  df-rel 5316  df-cnv 5317  df-co 5318  df-dm 5319  df-rn 5320  df-res 5321  df-ima 5322  df-pred 5891  df-ord 5937  df-on 5938  df-lim 5939  df-suc 5940  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6833  df-ov 6875  df-oprab 6876  df-mpt2 6877  df-om 7294  df-1st 7396  df-2nd 7397  df-tpos 7585  df-wrecs 7640  df-recs 7702  df-rdg 7740  df-1o 7794  df-2o 7795  df-oadd 7798  df-er 7977  df-map 8092  df-en 8191  df-dom 8192  df-sdom 8193  df-fin 8194  df-card 9046  df-pnf 10359  df-mnf 10360  df-xr 10361  df-ltxr 10362  df-le 10363  df-sub 10551  df-neg 10552  df-div 10968  df-nn 11304  df-2 11362  df-3 11363  df-4 11364  df-5 11365  df-6 11366  df-7 11367  df-8 11368  df-9 11369  df-n0 11558  df-xnn0 11628  df-z 11642  df-dec 11758  df-uz 11903  df-rp 12045  df-fz 12548  df-fzo 12688  df-seq 13023  df-exp 13082  df-hash 13336  df-word 13508  df-lsw 13509  df-concat 13510  df-s1 13511  df-substr 13512  df-splice 13513  df-reverse 13514  df-s2 13815  df-struct 16068  df-ndx 16069  df-slot 16070  df-base 16072  df-sets 16073  df-ress 16074  df-plusg 16164  df-mulr 16165  df-starv 16166  df-tset 16170  df-ple 16171  df-ds 16173  df-unif 16174  df-0g 16305  df-gsum 16306  df-mre 16449  df-mrc 16450  df-acs 16452  df-mgm 17445  df-sgrp 17487  df-mnd 17498  df-mhm 17538  df-submnd 17539  df-grp 17628  df-minusg 17629  df-subg 17791  df-ghm 17858  df-gim 17901  df-oppg 17975  df-symg 17997  df-pmtr 18061  df-psgn 18110  df-evpm 18111  df-cmn 18394  df-abl 18395  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-drng 18951  df-cnfld 19953
This theorem is referenced by:  psgnodpm  20139  psgnevpm  20140  evpmodpmf1o  20148  mdet0pr  20607
  Copyright terms: Public domain W3C validator