MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnevpmb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnevpmb 20833
Description: A class is an even permutation if it is a permutation with sign 1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
evpmss.p 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
psgnevpmb.n 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
psgnevpmb (𝐷 ∈ Fin β†’ (𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = 1)))

Proof of Theorem psgnevpmb
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3455 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝐷 ∈ V)
2 fveq2 6800 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 β†’ (pmSgnβ€˜π‘‘) = (pmSgnβ€˜π·))
3 psgnevpmb.n . . . . . . . 8 𝑁 = (pmSgnβ€˜π·)
42, 3eqtr4di 2794 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 β†’ (pmSgnβ€˜π‘‘) = 𝑁)
54cnveqd 5793 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ β—‘(pmSgnβ€˜π‘‘) = ◑𝑁)
65imaeq1d 5974 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (β—‘(pmSgnβ€˜π‘‘) β€œ {1}) = (◑𝑁 β€œ {1}))
7 df-evpm 19141 . . . . 5 pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ (β—‘(pmSgnβ€˜π‘‘) β€œ {1}))
83fvexi 6814 . . . . . . 7 𝑁 ∈ V
98cnvex 7800 . . . . . 6 ◑𝑁 ∈ V
109imaex 7791 . . . . 5 (◑𝑁 β€œ {1}) ∈ V
116, 7, 10fvmpt 6903 . . . 4 (𝐷 ∈ V β†’ (pmEvenβ€˜π·) = (◑𝑁 β€œ {1}))
121, 11syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ Fin β†’ (pmEvenβ€˜π·) = (◑𝑁 β€œ {1}))
1312eleq2d 2822 . 2 (𝐷 ∈ Fin β†’ (𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) ↔ 𝐹 ∈ (◑𝑁 β€œ {1})))
14 evpmss.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
15 eqid 2736 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})
1614, 3, 15psgnghm2 20827 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})))
17 evpmss.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜π‘†)
18 eqid 2736 . . . . 5 (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1}))
1917, 18ghmf 18879 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) β†’ 𝑁:π‘ƒβŸΆ(Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})))
2016, 19syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ Fin β†’ 𝑁:π‘ƒβŸΆ(Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})))
21 ffn 6626 . . 3 (𝑁:π‘ƒβŸΆ(Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs {1, -1})) β†’ 𝑁 Fn 𝑃)
22 fniniseg 6965 . . 3 (𝑁 Fn 𝑃 β†’ (𝐹 ∈ (◑𝑁 β€œ {1}) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = 1)))
2320, 21, 223syl 18 . 2 (𝐷 ∈ Fin β†’ (𝐹 ∈ (◑𝑁 β€œ {1}) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = 1)))
2413, 23bitrd 280 1 (𝐷 ∈ Fin β†’ (𝐹 ∈ (pmEvenβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (π‘β€˜πΉ) = 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437  {csn 4565  {cpr 4567  β—‘ccnv 5595   β€œ cima 5599   Fn wfn 6449  βŸΆwf 6450  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303  Fincfn 8760  1c1 10914  -cneg 11248  Basecbs 16953   β†Ύs cress 16982   GrpHom cghm 18872  SymGrpcsymg 19015  pmSgncpsgn 19138  pmEvencevpm 19139  mulGrpcmgp 19761  β„‚fldccnfld 20638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-addf 10992  ax-mulf 10993
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1508  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-ot 4574  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-tpos 8069  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-2o 8325  df-er 8525  df-map 8644  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-div 11675  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-4 12080  df-5 12081  df-6 12082  df-7 12083  df-8 12084  df-9 12085  df-n0 12276  df-xnn0 12348  df-z 12362  df-dec 12480  df-uz 12625  df-rp 12773  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-seq 13764  df-exp 13825  df-hash 14087  df-word 14259  df-lsw 14307  df-concat 14315  df-s1 14342  df-substr 14395  df-pfx 14425  df-splice 14504  df-reverse 14513  df-s2 14602  df-struct 16889  df-sets 16906  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-ress 16983  df-plusg 17016  df-mulr 17017  df-starv 17018  df-tset 17022  df-ple 17023  df-ds 17025  df-unif 17026  df-0g 17193  df-gsum 17194  df-mre 17336  df-mrc 17337  df-acs 17339  df-mgm 18367  df-sgrp 18416  df-mnd 18427  df-mhm 18471  df-submnd 18472  df-efmnd 18549  df-grp 18621  df-minusg 18622  df-subg 18793  df-ghm 18873  df-gim 18916  df-oppg 18991  df-symg 19016  df-pmtr 19091  df-psgn 19140  df-evpm 19141  df-cmn 19429  df-abl 19430  df-mgp 19762  df-ur 19779  df-ring 19826  df-cring 19827  df-oppr 19903  df-dvdsr 19924  df-unit 19925  df-invr 19955  df-dvr 19966  df-drng 20034  df-cnfld 20639
This theorem is referenced by:  psgnodpm  20834  psgnevpm  20835  evpmodpmf1o  20842  mdet0pr  21782  odpmco  31396  evpmid  31456  cyc3evpm  31458
  Copyright terms: Public domain W3C validator