Theorem psgnevpmb 21566

Description: A class is an even permutation if it is a permutation with sign 1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmss.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnevpmb	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))

Proof of Theorem psgnevpmb

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3454	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐷 ∈ V)
2		fveq2 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
3		psgnevpmb.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
4	2, 3	eqtr4di 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = 𝑁)
5	4	cnveqd 5820	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ◡(pmSgn‘𝑑) = ◡𝑁)
6	5	imaeq1d 6018	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (◡𝑁 “ {1}))
7		df-evpm 19462	. . . . 5 ⊢ pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}))
8	3	fvexi 6845	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ V
9	8	cnvex 7869	. . . . . 6 ⊢ ◡𝑁 ∈ V
10	9	imaex 7858	. . . . 5 ⊢ (◡𝑁 “ {1}) ∈ V
11	6, 7, 10	fvmpt 6939	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (◡𝑁 “ {1}))
12	1, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) = (◡𝑁 “ {1}))
13	12	eleq2d 2827	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (◡𝑁 “ {1})))
14		evpmss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
15		eqid 2741	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
16	14, 3, 15	psgnghm2 21560	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
17		evpmss.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
18		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
19	17, 18	ghmf 19190	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
20		ffn 6659	. . 3 ⊢ (𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁 Fn 𝑃)
21		fniniseg 7005	. . 3 ⊢ (𝑁 Fn 𝑃 → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
22	16, 19, 20, 21	4syl 19	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
23	13, 22	bitrd 281	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  {csn 4558  {cpr 4560  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  1c1 11034  -cneg 11373  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195   GrpHom cghm 19182  SymGrpcsymg 19339  pmSgncpsgn 19459  pmEvencevpm 19460  mulGrpcmgp 20116  ℂ_fldccnfld 21351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-addf 11112  ax-mulf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-xor 1520  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-word 14471  df-lsw 14520  df-concat 14528  df-s1 14554  df-substr 14599  df-pfx 14629  df-splice 14707  df-reverse 14716  df-s2 14805  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-efmnd 18832  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-gim 19229  df-oppg 19316  df-symg 19340  df-pmtr 19412  df-psgn 19461  df-evpm 19462  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-dvr 20376  df-drng 20707  df-cnfld 21352

This theorem is referenced by:  psgnodpm  21567  psgnevpm  21568  evpmodpmf1o  21575  mdet0pr  22579  odpmco  33171  evpmid  33233  cyc3evpm  33235