Theorem psgnevpmb 21854

Description: A class is an even permutation if it is a permutation with sign 1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmss.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnevpmb	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))

Proof of Theorem psgnevpmb

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3471	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐷 ∈ V)
2		fveq2 6873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
3		psgnevpmb.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
4	2, 3	eqtr4di 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = 𝑁)
5	4	cnveqd 5849	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ◡(pmSgn‘𝑑) = ◡𝑁)
6	5	imaeq1d 6049	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (◡𝑁 “ {1}))
7		df-evpm 19667	. . . . 5 ⊢ pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}))
8	3	fvexi 6887	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ V
9	8	cnvex 7920	. . . . . 6 ⊢ ◡𝑁 ∈ V
10	9	imaex 7909	. . . . 5 ⊢ (◡𝑁 “ {1}) ∈ V
11	6, 7, 10	fvmpt 6981	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (◡𝑁 “ {1}))
12	1, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) = (◡𝑁 “ {1}))
13	12	eleq2d 2846	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (◡𝑁 “ {1})))
14		evpmss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
15		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
16	14, 3, 15	psgnghm2 21848	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
17		evpmss.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
18		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
19	17, 18	ghmf 19395	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
20		ffn 6697	. . 3 ⊢ (𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁 Fn 𝑃)
21		fniniseg 7047	. . 3 ⊢ (𝑁 Fn 𝑃 → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
22	16, 19, 20, 21	4syl 20	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
23	13, 22	bitrd 282	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  {csn 4583  {cpr 4585  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650   Fn wfn 6522  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Fincfn 8951  1c1 11172  -cneg 11513  Basecbs 17348   ↾_s cress 17369   GrpHom cghm 19388  SymGrpcsymg 19544  pmSgncpsgn 19664  pmEvencevpm 19665  mulGrpcmgp 20321  ℂ_fldccnfld 21639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-addf 11250  ax-mulf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-rp 13090  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-word 14626  df-lsw 14675  df-concat 14683  df-s1 14710  df-substr 14756  df-pfx 14788  df-splice 14866  df-reverse 14875  df-s2 14966  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-efmnd 19026  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-subg 19294  df-ghm 19389  df-gim 19434  df-oppg 19521  df-symg 19545  df-pmtr 19617  df-psgn 19666  df-evpm 19667  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-oppr 20528  df-dvdsr 20548  df-unit 20549  df-invr 20579  df-dvr 20592  df-drng 20943  df-cnfld 21640

This theorem is used by:  psgnodpm  21855  psgnevpm  21856  evpmodpmf1o  21863  mdet0pr  22868  odpmco  33580  evpmid  33642  cyc3evpm  33644