Theorem psgnevpmb 21720

Description: A class is an even permutation if it is a permutation with sign 1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
evpmss.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n	⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psgnevpmb	⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))

Proof of Theorem psgnevpmb

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3483	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝐷 ∈ V)
2		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = (pmSgn‘𝐷))
3		psgnevpmb.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
4	2, 3	eqtr4di 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (pmSgn‘𝑑) = 𝑁)
5	4	cnveqd 5865	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ◡(pmSgn‘𝑑) = ◡𝑁)
6	5	imaeq1d 6065	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}) = (◡𝑁 “ {1}))
7		df-evpm 19565	. . . . 5 ⊢ pmEven = (𝑑 ∈ V ↦ (◡(pmSgn‘𝑑) “ {1}))
8	3	fvexi 6899	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ V
9	8	cnvex 7925	. . . . . 6 ⊢ ◡𝑁 ∈ V
10	9	imaex 7914	. . . . 5 ⊢ (◡𝑁 “ {1}) ∈ V
11	6, 7, 10	fvmpt 6993	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ V → (pmEven‘𝐷) = (◡𝑁 “ {1}))
12	1, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (pmEven‘𝐷) = (◡𝑁 “ {1}))
13	12	eleq2d 2856	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (◡𝑁 “ {1})))
14		evpmss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
15		eqid 2770	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
16	14, 3, 15	psgnghm2 21714	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
17		evpmss.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑆)
18		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
19	17, 18	ghmf 19293	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
20		ffn 6709	. . 3 ⊢ (𝑁:𝑃⟶(Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁 Fn 𝑃)
21		fniniseg 7059	. . 3 ⊢ (𝑁 Fn 𝑃 → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
22	16, 19, 20, 21	4syl 20	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (◡𝑁 “ {1}) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))
23	13, 22	bitrd 282	1 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ 𝑃 ∧ (𝑁‘𝐹) = 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  Vcvv 3462  {csn 4594  {cpr 4596  ^◡ccnv 5664   “ cima 5668   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Fincfn 8946  1c1 11104  -cneg 11445  Basecbs 17272   ↾_s cress 17293   GrpHom cghm 19286  SymGrpcsymg 19442  pmSgncpsgn 19562  pmEvencevpm 19563  mulGrpcmgp 20219  ℂ_fldccnfld 21505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-addf 11182  ax-mulf 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-xor 1540  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-se 5619  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12508  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-dec 12715  df-uz 12866  df-rp 13020  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-seq 14041  df-exp 14101  df-hash 14370  df-word 14554  df-lsw 14603  df-concat 14611  df-s1 14637  df-substr 14682  df-pfx 14712  df-splice 14790  df-reverse 14799  df-s2 14888  df-struct 17210  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-starv 17328  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-unif 17336  df-0g 17497  df-gsum 17498  df-mre 17641  df-mrc 17642  df-acs 17644  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-mhm 18844  df-submnd 18845  df-efmnd 18931  df-grp 19006  df-minusg 19007  df-subg 19192  df-ghm 19287  df-gim 19332  df-oppg 19419  df-symg 19443  df-pmtr 19515  df-psgn 19564  df-evpm 19565  df-cmn 19855  df-abl 19856  df-mgp 20220  df-rng 20234  df-ur 20267  df-ring 20320  df-cring 20321  df-oppr 20422  df-dvdsr 20442  df-unit 20443  df-invr 20473  df-dvr 20486  df-drng 20818  df-cnfld 21506

This theorem is referenced by:  psgnodpm  21721  psgnevpm  21722  evpmodpmf1o  21729  mdet0pr  22732  odpmco  33376  evpmid  33438  cyc3evpm  33440