MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frgpup3 19640
Description: Universal property of the free monoid by existential uniqueness. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup3.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpup3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
frgpup3.u π‘ˆ = (varFGrpβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frgpup3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ βˆƒ!π‘š ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝐡,π‘š   π‘š,𝐹   π‘š,𝐺   π‘š,𝐻   π‘š,𝐼   π‘ˆ,π‘š   π‘š,𝑉
Proof of Theorem frgpup3
Dummy variables 𝑔 π‘˜ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup3.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
2 eqid 2732 . . 3 (invgβ€˜π») = (invgβ€˜π»)
3 eqid 2732 . . 3 (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
4 simp1 1136 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ 𝐻 ∈ Grp)
5 simp2 1137 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
6 simp3 1138 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
7 eqid 2732 . . 3 ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
8 eqid 2732 . . 3 ( ~FG β€˜πΌ) = ( ~FG β€˜πΌ)
9 frgpup3.g . . 3 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
10 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
11 eqid 2732 . . 3 ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩) = ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11frgpup1 19637 . 2 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
134adantr 481 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐻 ∈ Grp)
145adantr 481 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
156adantr 481 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
16 frgpup3.u . . . . 5 π‘ˆ = (varFGrpβ€˜πΌ)
17 simpr 485 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
181, 2, 3, 13, 14, 15, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17frgpup2 19638 . . . 4 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜π‘˜))
1918mpteq2dva 5247 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
2010, 1ghmf 19090 . . . . 5 (ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) β†’ ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Baseβ€˜πΊ)⟢𝐡)
2112, 20syl 17 . . . 4 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Baseβ€˜πΊ)⟢𝐡)
228, 16, 9, 10vrgpf 19630 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
235, 22syl 17 . . . 4 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
24 fcompt 7127 . . . 4 ((ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Baseβ€˜πΊ)⟢𝐡 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ π‘ˆ) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘˜))))
2521, 23, 24syl2anc 584 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ π‘ˆ) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘˜))))
266feqmptd 6957 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ 𝐹 = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘˜)))
2719, 25, 263eqtr4d 2782 . 2 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ (ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ π‘ˆ) = 𝐹)
284adantr 481 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) ∧ (π‘š ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐹)) β†’ 𝐻 ∈ Grp)
295adantr 481 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) ∧ (π‘š ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐹)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
306adantr 481 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) ∧ (π‘š ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐹)) β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
31 simprl 769 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) ∧ (π‘š ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐹)) β†’ π‘š ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
32 simprr 771 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) ∧ (π‘š ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐹)) β†’ (π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐹)
331, 2, 3, 28, 29, 30, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 31, 32frgpup3lem 19639 . . . 4 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) ∧ (π‘š ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐹)) β†’ π‘š = ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩))
3433expr 457 . . 3 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) ∧ π‘š ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)) β†’ ((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐹 β†’ π‘š = ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩)))
3534ralrimiva 3146 . 2 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ βˆ€π‘š ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐹 β†’ π‘š = ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩)))
36 coeq1 5855 . . . 4 (π‘š = ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩) β†’ (π‘š ∘ π‘ˆ) = (ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ π‘ˆ))
3736eqeq1d 2734 . . 3 (π‘š = ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩) β†’ ((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐹 ↔ (ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ π‘ˆ) = 𝐹))
3837eqreu 3724 . 2 ((ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ π‘ˆ) = 𝐹 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)((π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐹 β†’ π‘š = ran (𝑔 ∈ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG β€˜πΌ), (𝐻 Ξ£g ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), ((invgβ€˜π»)β€˜(πΉβ€˜π‘¦)))) ∘ 𝑔))⟩))) β†’ βˆƒ!π‘š ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐹)
3912, 27, 35, 38syl3anc 1371 1 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟢𝐡) β†’ βˆƒ!π‘š ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(π‘š ∘ π‘ˆ) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒ!wreu 3374  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  βŸ¨cop 4633   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  2oc2o 8456  [cec 8697  Word cword 14460  Basecbs 17140   Ξ£g cgsu 17382  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816   GrpHom cghm 19083   ~FG cefg 19568  freeGrpcfrgp 19569  varFGrpcvrgp 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-splice 14696  df-reverse 14705  df-s2 14795  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-frmd 18726  df-vrmd 18727  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-ghm 19084  df-efg 19571  df-frgp 19572  df-vrgp 19573
This theorem is referenced by:  0frgp  19641  frgpcyg  21120
  Copyright terms: Public domain W3C validator