Theorem frgpup3 19657

Description: Universal property of the free monoid by existential uniqueness. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup3.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup3.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frgpup3	⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝑚,𝐻   𝑚,𝐼   𝑈,𝑚   𝑚,𝑉

Proof of Theorem frgpup3

Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦))))
4		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐻 ∈ Grp)
5		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( ~FG ‘𝐼) = ( ~FG ‘𝐼)
9		frgpup3.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
10		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11		eqid 2729	. . 3 ⊢ ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	frgpup1 19654	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
13	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝐻 ∈ Grp)
14	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
15	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
16		frgpup3.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑘 ∈ 𝐼)
18	1, 2, 3, 13, 14, 15, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17	frgpup2 19655	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
19	18	mpteq2dva 5185	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑘)))
20	10, 1	ghmf 19099	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵)
21	12, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵)
22	8, 16, 9, 10	vrgpf 19647	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
23	5, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
24		fcompt 7067	. . . 4 ⊢ ((ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵 ∧ 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺)) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈‘𝑘))))
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈‘𝑘))))
26	6	feqmptd 6891	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑘)))
27	19, 25, 26	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹)
28	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝐻 ∈ Grp)
29	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
30	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
31		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
32		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)
33	1, 2, 3, 28, 29, 30, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 31, 32	frgpup3lem 19656	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩))
34	33	expr 456	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹 → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)))
35	34	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ∀𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹 → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)))
36		coeq1 5800	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) → (𝑚 ∘ 𝑈) = (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈))
37	36	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹 ↔ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹))
38	37	eqreu 3689	. 2 ⊢ ((ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹 → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩))) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)
39	12, 27, 35, 38	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃!wreu 3341  ∅c0 4284  ifcif 4476  ⟨cop 4583   ↦ cmpt 5173   I cid 5513   × cxp 5617  ran crn 5620   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  2_oc2o 8382  [cec 8623  Word cword 14420  Basecbs 17120   Σ_g cgsu 17344  Grpcgrp 18812  inv_gcminusg 18813   GrpHom cghm 19091   ~_FG cefg 19585  freeGrpcfrgp 19586  var_FGrpcvrgp 19587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-word 14421  df-lsw 14470  df-concat 14478  df-s1 14503  df-substr 14548  df-pfx 14578  df-splice 14656  df-reverse 14665  df-s2 14755  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-frmd 18723  df-vrmd 18724  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-ghm 19092  df-efg 19588  df-frgp 19589  df-vrgp 19590

This theorem is referenced by:  0frgp  19658  frgpcyg  21480