MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpup3 19772
Description: Universal property of the free monoid by existential uniqueness. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup3.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup3.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup3.u 𝑈 = (varFGrp𝐼)
Assertion
Ref Expression
frgpup3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚𝑈) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝑚,𝐻   𝑚,𝐼   𝑈,𝑚   𝑚,𝑉

Proof of Theorem frgpup3
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐻)
2 eqid 2726 . . 3 (invg𝐻) = (invg𝐻)
3 eqid 2726 . . 3 (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦))))
4 simp1 1133 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → 𝐻 ∈ Grp)
5 simp2 1134 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → 𝐼𝑉)
6 simp3 1135 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → 𝐹:𝐼𝐵)
7 eqid 2726 . . 3 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
8 eqid 2726 . . 3 ( ~FG𝐼) = ( ~FG𝐼)
9 frgpup3.g . . 3 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
10 eqid 2726 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11 eqid 2726 . . 3 ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11frgpup1 19769 . 2 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
134adantr 479 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → 𝐻 ∈ Grp)
145adantr 479 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → 𝐼𝑉)
156adantr 479 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → 𝐹:𝐼𝐵)
16 frgpup3.u . . . . 5 𝑈 = (varFGrp𝐼)
17 simpr 483 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑘𝐼)
181, 2, 3, 13, 14, 15, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17frgpup2 19770 . . . 4 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈𝑘)) = (𝐹𝑘))
1918mpteq2dva 5245 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → (𝑘𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈𝑘))) = (𝑘𝐼 ↦ (𝐹𝑘)))
2010, 1ghmf 19210 . . . . 5 (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵)
2112, 20syl 17 . . . 4 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵)
228, 16, 9, 10vrgpf 19762 . . . . 5 (𝐼𝑉𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
235, 22syl 17 . . . 4 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
24 fcompt 7139 . . . 4 ((ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺)) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = (𝑘𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈𝑘))))
2521, 23, 24syl2anc 582 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = (𝑘𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈𝑘))))
266feqmptd 6963 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → 𝐹 = (𝑘𝐼 ↦ (𝐹𝑘)))
2719, 25, 263eqtr4d 2776 . 2 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹)
284adantr 479 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚𝑈) = 𝐹)) → 𝐻 ∈ Grp)
295adantr 479 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚𝑈) = 𝐹)) → 𝐼𝑉)
306adantr 479 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚𝑈) = 𝐹)) → 𝐹:𝐼𝐵)
31 simprl 769 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚𝑈) = 𝐹)) → 𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
32 simprr 771 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚𝑈) = 𝐹)) → (𝑚𝑈) = 𝐹)
331, 2, 3, 28, 29, 30, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 31, 32frgpup3lem 19771 . . . 4 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚𝑈) = 𝐹)) → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩))
3433expr 455 . . 3 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)) → ((𝑚𝑈) = 𝐹𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)))
3534ralrimiva 3136 . 2 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → ∀𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)((𝑚𝑈) = 𝐹𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)))
36 coeq1 5856 . . . 4 (𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) → (𝑚𝑈) = (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈))
3736eqeq1d 2728 . . 3 (𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) → ((𝑚𝑈) = 𝐹 ↔ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹))
3837eqreu 3722 . 2 ((ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)((𝑚𝑈) = 𝐹𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩))) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚𝑈) = 𝐹)
3912, 27, 35, 38syl3anc 1368 1 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚𝑈) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  ∃!wreu 3362  c0 4322  ifcif 4523  cop 4629  cmpt 5228   I cid 5571   × cxp 5672  ran crn 5675  ccom 5678  wf 6542  cfv 6546  (class class class)co 7416  cmpo 7418  2oc2o 8482  [cec 8724  Word cword 14517  Basecbs 17208   Σg cgsu 17450  Grpcgrp 18923  invgcminusg 18924   GrpHom cghm 19202   ~FG cefg 19700  freeGrpcfrgp 19701  varFGrpcvrgp 19702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-ec 8728  df-qs 8732  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-inf 9479  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-seq 14016  df-hash 14343  df-word 14518  df-lsw 14566  df-concat 14574  df-s1 14599  df-substr 14644  df-pfx 14674  df-splice 14753  df-reverse 14762  df-s2 14852  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-imas 17518  df-qus 17519  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-mhm 18768  df-submnd 18769  df-frmd 18834  df-vrmd 18835  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-ghm 19203  df-efg 19703  df-frgp 19704  df-vrgp 19705
This theorem is referenced by:  0frgp  19773  frgpcyg  21567
  Copyright terms: Public domain W3C validator