Theorem frgpup3 19692

Description: Universal property of the free monoid by existential uniqueness. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup3.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup3.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frgpup3	⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝑚,𝐻   𝑚,𝐼   𝑈,𝑚   𝑚,𝑉

Proof of Theorem frgpup3

Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦))))
4		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐻 ∈ Grp)
5		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( ~FG ‘𝐼) = ( ~FG ‘𝐼)
9		frgpup3.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
10		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11		eqid 2729	. . 3 ⊢ ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	frgpup1 19689	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
13	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝐻 ∈ Grp)
14	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
15	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
16		frgpup3.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
17		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑘 ∈ 𝐼)
18	1, 2, 3, 13, 14, 15, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17	frgpup2 19690	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
19	18	mpteq2dva 5195	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑘)))
20	10, 1	ghmf 19134	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵)
21	12, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵)
22	8, 16, 9, 10	vrgpf 19682	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
23	5, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
24		fcompt 7087	. . . 4 ⊢ ((ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵 ∧ 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺)) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈‘𝑘))))
25	21, 23, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈‘𝑘))))
26	6	feqmptd 6911	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑘)))
27	19, 25, 26	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹)
28	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝐻 ∈ Grp)
29	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
30	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
31		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
32		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)
33	1, 2, 3, 28, 29, 30, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 31, 32	frgpup3lem 19691	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩))
34	33	expr 456	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹 → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)))
35	34	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ∀𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹 → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)))
36		coeq1 5811	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) → (𝑚 ∘ 𝑈) = (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈))
37	36	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹 ↔ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹))
38	37	eqreu 3697	. 2 ⊢ ((ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹 → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩))) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)
39	12, 27, 35, 38	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃!wreu 3349  ∅c0 4292  ifcif 4484  ⟨cop 4591   ↦ cmpt 5183   I cid 5525   × cxp 5629  ran crn 5632   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  2_oc2o 8405  [cec 8646  Word cword 14454  Basecbs 17155   Σ_g cgsu 17379  Grpcgrp 18847  inv_gcminusg 18848   GrpHom cghm 19126   ~_FG cefg 19620  freeGrpcfrgp 19621  var_FGrpcvrgp 19622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-word 14455  df-lsw 14504  df-concat 14512  df-s1 14537  df-substr 14582  df-pfx 14612  df-splice 14691  df-reverse 14700  df-s2 14790  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-imas 17447  df-qus 17448  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-frmd 18758  df-vrmd 18759  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-ghm 19127  df-efg 19623  df-frgp 19624  df-vrgp 19625

This theorem is referenced by:  0frgp  19693  frgpcyg  21515