Theorem frgpup3 18654

Description: Universal property of the free monoid by existential uniqueness. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup3.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup3.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frgpup3	⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝑚,𝐻   𝑚,𝐼   𝑈,𝑚   𝑚,𝑉

Proof of Theorem frgpup3

Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
2		eqid 2772	. . 3 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
3		eqid 2772	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦))))
4		simp1 1116	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐻 ∈ Grp)
5		simp2 1117	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		simp3 1118	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
7		eqid 2772	. . 3 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
8		eqid 2772	. . 3 ⊢ ( ~FG ‘𝐼) = ( ~FG ‘𝐼)
9		frgpup3.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
10		eqid 2772	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11		eqid 2772	. . 3 ⊢ ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	frgpup1 18651	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
13	4	adantr 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝐻 ∈ Grp)
14	5	adantr 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
15	6	adantr 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
16		frgpup3.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
17		simpr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑘 ∈ 𝐼)
18	1, 2, 3, 13, 14, 15, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17	frgpup2 18652	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
19	18	mpteq2dva 5016	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑘)))
20	10, 1	ghmf 18123	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵)
21	12, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵)
22	8, 16, 9, 10	vrgpf 18644	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
23	5, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
24		fcompt 6712	. . . 4 ⊢ ((ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵 ∧ 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺)) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈‘𝑘))))
25	21, 23, 24	syl2anc 576	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈‘𝑘))))
26	6	feqmptd 6556	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑘)))
27	19, 25, 26	3eqtr4d 2818	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹)
28	4	adantr 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝐻 ∈ Grp)
29	5	adantr 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
30	6	adantr 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
31		simprl 758	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
32		simprr 760	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)
33	1, 2, 3, 28, 29, 30, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 31, 32	frgpup3lem 18653	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩))
34	33	expr 449	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹 → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)))
35	34	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ∀𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹 → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)))
36		coeq1 5571	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) → (𝑚 ∘ 𝑈) = (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈))
37	36	eqeq1d 2774	. . 3 ⊢ (𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹 ↔ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹))
38	37	eqreu 3628	. 2 ⊢ ((ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹 → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩))) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)
39	12, 27, 35, 38	syl3anc 1351	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ∀wral 3082  ∃!wreu 3084  ∅c0 4173  ifcif 4344  ⟨cop 4441   ↦ cmpt 5002   I cid 5304   × cxp 5398  ran crn 5401   ∘ ccom 5404  ⟶wf 6178  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970   ∈ cmpo 6972  2_oc2o 7891  [cec 8079  Word cword 13662  Basecbs 16329   Σ_g cgsu 16560  Grpcgrp 17881  inv_gcminusg 17882   GrpHom cghm 18116   ~_FG cefg 18580  freeGrpcfrgp 18581  var_FGrpcvrgp 18582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-ot 4444  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-er 8081  df-ec 8083  df-qs 8087  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-inf 8694  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-xnn0 11773  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-seq 13178  df-hash 13499  df-word 13663  df-lsw 13716  df-concat 13724  df-s1 13749  df-substr 13794  df-pfx 13843  df-splice 13950  df-reverse 13968  df-s2 14062  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-imas 16627  df-qus 16628  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-mhm 17793  df-submnd 17794  df-frmd 17845  df-vrmd 17846  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-ghm 18117  df-efg 18583  df-frgp 18584  df-vrgp 18585

This theorem is referenced by:  0frgp  18655  frgpcyg  20412