MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpup3 19796
Description: Universal property of the free monoid by existential uniqueness. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup3.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup3.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup3.u 𝑈 = (varFGrp𝐼)
Assertion
Ref Expression
frgpup3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚𝑈) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝑚,𝐻   𝑚,𝐼   𝑈,𝑚   𝑚,𝑉

Proof of Theorem frgpup3
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐻)
2 eqid 2737 . . 3 (invg𝐻) = (invg𝐻)
3 eqid 2737 . . 3 (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦))))
4 simp1 1137 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → 𝐻 ∈ Grp)
5 simp2 1138 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → 𝐼𝑉)
6 simp3 1139 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → 𝐹:𝐼𝐵)
7 eqid 2737 . . 3 ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
8 eqid 2737 . . 3 ( ~FG𝐼) = ( ~FG𝐼)
9 frgpup3.g . . 3 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
10 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11 eqid 2737 . . 3 ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11frgpup1 19793 . 2 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
134adantr 480 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → 𝐻 ∈ Grp)
145adantr 480 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → 𝐼𝑉)
156adantr 480 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → 𝐹:𝐼𝐵)
16 frgpup3.u . . . . 5 𝑈 = (varFGrp𝐼)
17 simpr 484 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑘𝐼)
181, 2, 3, 13, 14, 15, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17frgpup2 19794 . . . 4 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑘𝐼) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈𝑘)) = (𝐹𝑘))
1918mpteq2dva 5242 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → (𝑘𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈𝑘))) = (𝑘𝐼 ↦ (𝐹𝑘)))
2010, 1ghmf 19238 . . . . 5 (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵)
2112, 20syl 17 . . . 4 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵)
228, 16, 9, 10vrgpf 19786 . . . . 5 (𝐼𝑉𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
235, 22syl 17 . . . 4 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
24 fcompt 7153 . . . 4 ((ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺)) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = (𝑘𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈𝑘))))
2521, 23, 24syl2anc 584 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = (𝑘𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈𝑘))))
266feqmptd 6977 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → 𝐹 = (𝑘𝐼 ↦ (𝐹𝑘)))
2719, 25, 263eqtr4d 2787 . 2 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹)
284adantr 480 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚𝑈) = 𝐹)) → 𝐻 ∈ Grp)
295adantr 480 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚𝑈) = 𝐹)) → 𝐼𝑉)
306adantr 480 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚𝑈) = 𝐹)) → 𝐹:𝐼𝐵)
31 simprl 771 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚𝑈) = 𝐹)) → 𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
32 simprr 773 . . . . 5 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚𝑈) = 𝐹)) → (𝑚𝑈) = 𝐹)
331, 2, 3, 28, 29, 30, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 31, 32frgpup3lem 19795 . . . 4 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚𝑈) = 𝐹)) → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩))
3433expr 456 . . 3 (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)) → ((𝑚𝑈) = 𝐹𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)))
3534ralrimiva 3146 . 2 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → ∀𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)((𝑚𝑈) = 𝐹𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)))
36 coeq1 5868 . . . 4 (𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) → (𝑚𝑈) = (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈))
3736eqeq1d 2739 . . 3 (𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) → ((𝑚𝑈) = 𝐹 ↔ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹))
3837eqreu 3735 . 2 ((ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)((𝑚𝑈) = 𝐹𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), ((invg𝐻)‘(𝐹𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩))) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚𝑈) = 𝐹)
3912, 27, 35, 38syl3anc 1373 1 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝐹:𝐼𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚𝑈) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  ∃!wreu 3378  c0 4333  ifcif 4525  cop 4632  cmpt 5225   I cid 5577   × cxp 5683  ran crn 5686  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  2oc2o 8500  [cec 8743  Word cword 14552  Basecbs 17247   Σg cgsu 17485  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952   GrpHom cghm 19230   ~FG cefg 19724  freeGrpcfrgp 19725  varFGrpcvrgp 19726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-frmd 18862  df-vrmd 18863  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-ghm 19231  df-efg 19727  df-frgp 19728  df-vrgp 19729
This theorem is referenced by:  0frgp  19797  frgpcyg  21592
  Copyright terms: Public domain W3C validator