Theorem frgpup3 19992

Description: Universal property of the free monoid by existential uniqueness. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup3.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup3.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frgpup3	⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝑚,𝐻   𝑚,𝐼   𝑈,𝑚   𝑚,𝑉

Proof of Theorem frgpup3

Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦))))
4		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐻 ∈ Grp)
5		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
8		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ~FG ‘𝐼) = ( ~FG ‘𝐼)
9		frgpup3.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
10		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
11		eqid 2760	. . 3 ⊢ ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	frgpup1 19989	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
13	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝐻 ∈ Grp)
14	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
15	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
16		frgpup3.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
17		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑘 ∈ 𝐼)
18	1, 2, 3, 13, 14, 15, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17	frgpup2 19990	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
19	18	mpteq2dva 5197	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑘)))
20	10, 1	ghmf 19434	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵)
21	12, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵)
22	8, 16, 9, 10	vrgpf 19982	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
23	5, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
24		fcompt 7134	. . . 4 ⊢ ((ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩):(Base‘𝐺)⟶𝐵 ∧ 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺)) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈‘𝑘))))
25	21, 23, 24	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)‘(𝑈‘𝑘))))
26	6	feqmptd 6953	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑘)))
27	19, 25, 26	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹)
28	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝐻 ∈ Grp)
29	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
30	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
31		simprl 783	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
32		simprr 785	. . . . 5 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)
33	1, 2, 3, 28, 29, 30, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 31, 32	frgpup3lem 19991	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ (𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)) → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩))
34	33	expr 462	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) ∧ 𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹 → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)))
35	34	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ∀𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹 → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩)))
36		coeq1 5834	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) → (𝑚 ∘ 𝑈) = (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈))
37	36	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) → ((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹 ↔ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹))
38	37	eqreu 3686	. 2 ⊢ ((ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ∧ (ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩) ∘ 𝑈) = 𝐹 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)((𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹 → 𝑚 = ran (𝑔 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ ⟨[𝑔]( ~FG ‘𝐼), (𝐻 Σg ((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), ((invg‘𝐻)‘(𝐹‘𝑦)))) ∘ 𝑔))⟩))) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)
39	12, 27, 35, 38	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶𝐵) → ∃!𝑚 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻)(𝑚 ∘ 𝑈) = 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃!wreu 3363  ∅c0 4278  ifcif 4481  ⟨cop 4589   ↦ cmpt 5185   I cid 5544   × cxp 5648  ran crn 5651   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  2_oc2o 8470  [cec 8715  Word cword 14658  Basecbs 17387   Σ_g cgsu 17611  Grpcgrp 19144  inv_gcminusg 19145   GrpHom cghm 19427   ~_FG cefg 19920  freeGrpcfrgp 19921  var_FGrpcvrgp 19922

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-splice 14899  df-reverse 14908  df-s2 14999  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-imas 17680  df-qus 17681  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-frmd 19045  df-vrmd 19046  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-ghm 19428  df-efg 19923  df-frgp 19924  df-vrgp 19925

This theorem is used by:  0frgp  19993  frgpcyg  21879