MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfif1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfif1o 19220
Description: Re-index a finite group sum as map, using a bijection. (Contributed by by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptcl.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptcl.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
gsummptcl.e (𝜑 → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐵)
gsummptfif1o.f 𝐹 = (𝑖𝑁𝑋)
gsummptfif1o.h (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝑁)
Assertion
Ref Expression
gsummptfif1o (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem gsummptfif1o
StepHypRef Expression
1 gsummptcl.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2739 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 gsummptcl.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsummptcl.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
5 gsummptcl.e . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐵)
6 gsummptfif1o.f . . . 4 𝐹 = (𝑖𝑁𝑋)
76fmpt 6897 . . 3 (∀𝑖𝑁 𝑋𝐵𝐹:𝑁𝐵)
85, 7sylib 221 . 2 (𝜑𝐹:𝑁𝐵)
9 fvexd 6702 . . 3 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ V)
108, 4, 9fdmfifsupp 8929 . 2 (𝜑𝐹 finSupp (0g𝐺))
11 gsummptfif1o.h . 2 (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝑁)
121, 2, 3, 4, 8, 10, 11gsumf1o 19168 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  Vcvv 3400  cmpt 5120  ccom 5539  wf 6346  1-1-ontowf1o 6349  cfv 6350  (class class class)co 7183  Fincfn 8568  Basecbs 16599  0gc0g 16829   Σg cgsu 16830  CMndccmn 19037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-oi 9060  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-nn 11730  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-seq 13474  df-hash 13796  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-cntz 18578  df-cmn 19039
This theorem is referenced by:  mdetleib2  21352  mdetralt  21372
  Copyright terms: Public domain W3C validator