MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfif1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfif1o 19987
Description: Re-index a finite group sum as map, using a bijection. (Contributed by by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptcl.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptcl.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
gsummptcl.e (𝜑 → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐵)
gsummptfif1o.f 𝐹 = (𝑖𝑁𝑋)
gsummptfif1o.h (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝑁)
Assertion
Ref Expression
gsummptfif1o (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem gsummptfif1o
StepHypRef Expression
1 gsummptcl.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2736 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 gsummptcl.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsummptcl.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
5 gsummptcl.e . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐵)
6 gsummptfif1o.f . . . 4 𝐹 = (𝑖𝑁𝑋)
76fmpt 7129 . . 3 (∀𝑖𝑁 𝑋𝐵𝐹:𝑁𝐵)
85, 7sylib 218 . 2 (𝜑𝐹:𝑁𝐵)
9 fvexd 6920 . . 3 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ V)
108, 4, 9fdmfifsupp 9416 . 2 (𝜑𝐹 finSupp (0g𝐺))
11 gsummptfif1o.h . 2 (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝑁)
121, 2, 3, 4, 8, 10, 11gsumf1o 19935 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  Vcvv 3479  cmpt 5224  ccom 5688  wf 6556  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  Basecbs 17248  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  CMndccmn 19799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-cntz 19336  df-cmn 19801
This theorem is referenced by:  mdetleib2  22595  mdetralt  22615
  Copyright terms: Public domain W3C validator