Theorem gsummptfif1o 19569

Description: Re-index a finite group sum as map, using a bijection. (Contributed by by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
gsummptcl.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummptfif1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)
gsummptfif1o.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐶–1-1-onto→𝑁)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfif1o	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem gsummptfif1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsummptcl.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummptcl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
5		gsummptcl.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵)
6		gsummptfif1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)
7	6	fmpt 6984	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝑁⟶𝐵)
8	5, 7	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑁⟶𝐵)
9		fvexd 6789	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
10	8, 4, 9	fdmfifsupp 9138	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝐺))
11		gsummptfif1o.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐶–1-1-onto→𝑁)
12	1, 2, 3, 4, 8, 10, 11	gsumf1o 19517	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432   ↦ cmpt 5157   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  Basecbs 16912  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  CMndccmn 19386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-cntz 18923  df-cmn 19388

This theorem is referenced by:  mdetleib2  21737  mdetralt  21757