Theorem gsummptfif1o 20095

Description: Re-index a finite group sum as map, using a bijection. (Contributed by by AV, 23-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
gsummptcl.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵)
gsummptfif1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)
gsummptfif1o.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐶–1-1-onto→𝑁)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfif1o	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem gsummptfif1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		gsummptcl.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsummptcl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
5		gsummptcl.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵)
6		gsummptfif1o.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)
7	6	fmpt 7103	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝑁⟶𝐵)
8	5, 7	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑁⟶𝐵)
9		fvexd 6893	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ V)
10	8, 4, 9	fdmfifsupp 9345	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘𝐺))
11		gsummptfif1o.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐶–1-1-onto→𝑁)
12	1, 2, 3, 4, 8, 10, 11	gsumf1o 20043	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘ 𝐻)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6529  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  Basecbs 17301  0_gc0g 17524   Σ_g cgsu 17525  CMndccmn 19907

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-cntz 19444  df-cmn 19909

This theorem is used by:  mdetleib2  22810  mdetralt  22830