Theorem gsumprval 18713

Description: Value of the group sum operation over a pair of sequential integers. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumprval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumprval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumprval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumprval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + 1))
gsumprval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumprval	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹‘𝑀) + (𝐹‘𝑁)))

Proof of Theorem gsumprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumprval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumprval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumprval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
4		gsumprval.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		uzid 12848	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		peano2uz 12896	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		gsumprval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵)
10		fzpr 13578	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
11	4, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
12		gsumprval.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + 1))
13	12	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) = 𝑁)
14	13	preq2d 4696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑀, (𝑀 + 1)} = {𝑀, 𝑁})
15	11, 14	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, 𝑁})
16	15	feq2d 6670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝑀...(𝑀 + 1))⟶𝐵 ↔ 𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵))
17	9, 16	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑀 + 1))⟶𝐵)
18	1, 2, 3, 8, 17	gsumval2 18711	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)))
19		seqp1 14023	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))))
20	6, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))))
21		seq1 14021	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
22	4, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
23	13	fveq2d 6866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀 + 1)) = (𝐹‘𝑁))
24	22, 23	oveq12d 7409	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))) = ((𝐹‘𝑀) + (𝐹‘𝑁)))
25	18, 20, 24	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹‘𝑀) + (𝐹‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {cpr 4581  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  1c1 11068   + caddc 11070  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833  ...cfz 13506  seqcseq 14008  Basecbs 17236  +_gcplusg 17277   Σ_g cgsu 17460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-seq 14009  df-0g 17461  df-gsum 17462

This theorem is referenced by:  gsumpr12val  18714