MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumprval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumprval 17890
Description: Value of the group sum operation over a pair of sequential integers. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumprval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumprval.p + = (+g𝐺)
gsumprval.g (𝜑𝐺𝑉)
gsumprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
gsumprval.n (𝜑𝑁 = (𝑀 + 1))
gsumprval.f (𝜑𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumprval (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹𝑀) + (𝐹𝑁)))

Proof of Theorem gsumprval
StepHypRef Expression
1 gsumprval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumprval.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 gsumprval.g . . 3 (𝜑𝐺𝑉)
4 gsumprval.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 uzid 12250 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
7 peano2uz 12293 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
9 gsumprval.f . . . 4 (𝜑𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵)
10 fzpr 12954 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
114, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
12 gsumprval.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 = (𝑀 + 1))
1312eqcomd 2825 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 + 1) = 𝑁)
1413preq2d 4668 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑀, (𝑀 + 1)} = {𝑀, 𝑁})
1511, 14eqtrd 2854 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, 𝑁})
1615feq2d 6493 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:(𝑀...(𝑀 + 1))⟶𝐵𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵))
179, 16mpbird 259 . . 3 (𝜑𝐹:(𝑀...(𝑀 + 1))⟶𝐵)
181, 2, 3, 8, 17gsumval2 17888 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)))
19 seqp1 13376 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))))
206, 19syl 17 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))))
21 seq1 13374 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
224, 21syl 17 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
2313fveq2d 6667 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝑀 + 1)) = (𝐹𝑁))
2422, 23oveq12d 7166 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))) = ((𝐹𝑀) + (𝐹𝑁)))
2518, 20, 243eqtrd 2858 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹𝑀) + (𝐹𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  {cpr 4561  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  1c1 10530   + caddc 10532  cz 11973  cuz 12235  ...cfz 12884  seqcseq 13361  Basecbs 16475  +gcplusg 16557   Σg cgsu 16706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-seq 13362  df-0g 16707  df-gsum 16708
This theorem is referenced by:  gsumpr12val  17891
  Copyright terms: Public domain W3C validator