MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumprval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumprval 17595
Description: Value of the group sum operation over a pair of sequential integers. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumprval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumprval.p + = (+g𝐺)
gsumprval.g (𝜑𝐺𝑉)
gsumprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
gsumprval.n (𝜑𝑁 = (𝑀 + 1))
gsumprval.f (𝜑𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumprval (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹𝑀) + (𝐹𝑁)))

Proof of Theorem gsumprval
StepHypRef Expression
1 gsumprval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumprval.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 gsumprval.g . . 3 (𝜑𝐺𝑉)
4 gsumprval.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 uzid 11944 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
7 peano2uz 11984 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
9 gsumprval.f . . . 4 (𝜑𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵)
10 fzpr 12649 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
114, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
12 gsumprval.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 = (𝑀 + 1))
1312eqcomd 2806 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 + 1) = 𝑁)
1413preq2d 4465 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑀, (𝑀 + 1)} = {𝑀, 𝑁})
1511, 14eqtrd 2834 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, 𝑁})
1615feq2d 6243 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:(𝑀...(𝑀 + 1))⟶𝐵𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵))
179, 16mpbird 249 . . 3 (𝜑𝐹:(𝑀...(𝑀 + 1))⟶𝐵)
181, 2, 3, 8, 17gsumval2 17594 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)))
19 seqp1 13069 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))))
206, 19syl 17 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))))
21 seq1 13067 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
224, 21syl 17 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
2313fveq2d 6416 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝑀 + 1)) = (𝐹𝑁))
2422, 23oveq12d 6897 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))) = ((𝐹𝑀) + (𝐹𝑁)))
2518, 20, 243eqtrd 2838 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹𝑀) + (𝐹𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  {cpr 4371  wf 6098  cfv 6102  (class class class)co 6879  1c1 10226   + caddc 10228  cz 11665  cuz 11929  ...cfz 12579  seqcseq 13054  Basecbs 16183  +gcplusg 16266   Σg cgsu 16415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-seq 13055  df-0g 16416  df-gsum 16417
This theorem is referenced by:  gsumpr12val  17596
  Copyright terms: Public domain W3C validator