MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumprval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumprval 18372
Description: Value of the group sum operation over a pair of sequential integers. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumprval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumprval.p + = (+g𝐺)
gsumprval.g (𝜑𝐺𝑉)
gsumprval.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
gsumprval.n (𝜑𝑁 = (𝑀 + 1))
gsumprval.f (𝜑𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumprval (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹𝑀) + (𝐹𝑁)))

Proof of Theorem gsumprval
StepHypRef Expression
1 gsumprval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumprval.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 gsumprval.g . . 3 (𝜑𝐺𝑉)
4 gsumprval.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 uzid 12597 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
7 peano2uz 12641 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
9 gsumprval.f . . . 4 (𝜑𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵)
10 fzpr 13311 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
114, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
12 gsumprval.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 = (𝑀 + 1))
1312eqcomd 2744 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 + 1) = 𝑁)
1413preq2d 4676 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑀, (𝑀 + 1)} = {𝑀, 𝑁})
1511, 14eqtrd 2778 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, 𝑁})
1615feq2d 6586 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:(𝑀...(𝑀 + 1))⟶𝐵𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵))
179, 16mpbird 256 . . 3 (𝜑𝐹:(𝑀...(𝑀 + 1))⟶𝐵)
181, 2, 3, 8, 17gsumval2 18370 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)))
19 seqp1 13736 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))))
206, 19syl 17 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))))
21 seq1 13734 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
224, 21syl 17 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
2313fveq2d 6778 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝑀 + 1)) = (𝐹𝑁))
2422, 23oveq12d 7293 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))) = ((𝐹𝑀) + (𝐹𝑁)))
2518, 20, 243eqtrd 2782 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹𝑀) + (𝐹𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  {cpr 4563  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874  cz 12319  cuz 12582  ...cfz 13239  seqcseq 13721  Basecbs 16912  +gcplusg 16962   Σg cgsu 17151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-0g 17152  df-gsum 17153
This theorem is referenced by:  gsumpr12val  18373
  Copyright terms: Public domain W3C validator