Theorem gsumprval 18613

Description: Value of the group sum operation over a pair of sequential integers. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumprval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumprval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumprval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumprval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + 1))
gsumprval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumprval	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹‘𝑀) + (𝐹‘𝑁)))

Proof of Theorem gsumprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumprval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumprval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumprval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
4		gsumprval.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		uzid 12766	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		peano2uz 12814	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		gsumprval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵)
10		fzpr 13495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
11	4, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
12		gsumprval.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + 1))
13	12	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) = 𝑁)
14	13	preq2d 4697	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑀, (𝑀 + 1)} = {𝑀, 𝑁})
15	11, 14	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, 𝑁})
16	15	feq2d 6646	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝑀...(𝑀 + 1))⟶𝐵 ↔ 𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵))
17	9, 16	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑀 + 1))⟶𝐵)
18	1, 2, 3, 8, 17	gsumval2 18611	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)))
19		seqp1 13939	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))))
20	6, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))))
21		seq1 13937	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
22	4, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
23	13	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀 + 1)) = (𝐹‘𝑁))
24	22, 23	oveq12d 7376	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))) = ((𝐹‘𝑀) + (𝐹‘𝑁)))
25	18, 20, 24	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹‘𝑀) + (𝐹‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cpr 4582  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1c1 11027   + caddc 11029  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  seqcseq 13924  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177   Σ_g cgsu 17360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-seq 13925  df-0g 17361  df-gsum 17362

This theorem is referenced by:  gsumpr12val  18614