Theorem gsumprval 18702

Description: Value of the group sum operation over a pair of sequential integers. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumprval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumprval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumprval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
gsumprval.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gsumprval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + 1))
gsumprval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumprval	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹‘𝑀) + (𝐹‘𝑁)))

Proof of Theorem gsumprval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumprval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumprval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumprval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
4		gsumprval.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		uzid 12894	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		peano2uz 12944	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		gsumprval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵)
10		fzpr 13620	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
11	4, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
12		gsumprval.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 + 1))
13	12	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) = 𝑁)
14	13	preq2d 4739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑀, (𝑀 + 1)} = {𝑀, 𝑁})
15	11, 14	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, 𝑁})
16	15	feq2d 6721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:(𝑀...(𝑀 + 1))⟶𝐵 ↔ 𝐹:{𝑀, 𝑁}⟶𝐵))
17	9, 16	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑀 + 1))⟶𝐵)
18	1, 2, 3, 8, 17	gsumval2 18700	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)))
19		seqp1 14058	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))))
20	6, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑀 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))))
21		seq1 14056	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
22	4, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
23	13	fveq2d 6909	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑀 + 1)) = (𝐹‘𝑁))
24	22, 23	oveq12d 7450	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) + (𝐹‘(𝑀 + 1))) = ((𝐹‘𝑀) + (𝐹‘𝑁)))
25	18, 20, 24	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐹‘𝑀) + (𝐹‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {cpr 4627  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  1c1 11157   + caddc 11159  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879  ...cfz 13548  seqcseq 14043  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298   Σ_g cgsu 17486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-seq 14044  df-0g 17487  df-gsum 17488

This theorem is referenced by:  gsumpr12val  18703