MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tmmul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1tmmul2 22018
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the right by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
coe1tm.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
coe1tm.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
coe1tm.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
coe1tm.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
coe1tm.n ๐‘ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
coe1tm.e โ†‘ = (.gโ€˜๐‘)
coe1tmmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
coe1tmmul.t โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ƒ)
coe1tmmul.u ร— = (.rโ€˜๐‘…)
coe1tmmul.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
coe1tmmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
coe1tmmul.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
coe1tmmul.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul2 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ, 0   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐ท   ๐‘ฅ,๐พ   ๐‘ฅ, โ†‘   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐‘ฅ,๐‘‹   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ, ร—   ๐‘ฅ, โˆ™
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem coe1tmmul2
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tmmul.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 coe1tmmul.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
3 coe1tmmul.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
4 coe1tmmul.d . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
5 coe1tm.k . . . . 5 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
6 coe1tm.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
7 coe1tm.x . . . . 5 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
8 coe1tm.m . . . . 5 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
9 coe1tm.n . . . . 5 ๐‘ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
10 coe1tm.e . . . . 5 โ†‘ = (.gโ€˜๐‘)
11 coe1tmmul.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11ply1tmcl 22014 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
131, 3, 4, 12syl3anc 1369 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
14 coe1tmmul.t . . . 4 โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ƒ)
15 coe1tmmul.u . . . 4 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
166, 14, 15, 11coe1mul 22012 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต) โ†’ (coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))))))
171, 2, 13, 16syl3anc 1369 . 2 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))))))
18 eqeq2 2742 . . . 4 ((((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ) = if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ) โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ) โ†” (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
19 eqeq2 2742 . . . 4 ( 0 = if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ) โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = 0 โ†” (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
20 coe1tm.z . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐‘…)
211adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
22 ringmnd 20137 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
24 ovex 7444 . . . . . . . 8 (0...๐‘ฅ) โˆˆ V
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (0...๐‘ฅ) โˆˆ V)
26 simprr 769 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)
274adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
28 simprl 767 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
29 nn0sub 12526 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„•0))
3027, 28, 29syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„•0))
3126, 30mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„•0)
3227nn0ge0d 12539 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
33 nn0re 12485 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
3433ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
354nn0red 12537 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
3635adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
3734, 36subge02d 11810 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ท โ†” (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ‰ค ๐‘ฅ))
3832, 37mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ‰ค ๐‘ฅ)
39 fznn0 13597 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ‰ค ๐‘ฅ)))
4039ad2antrl 724 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ‰ค ๐‘ฅ)))
4131, 38, 40mpbir2and 709 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ (0...๐‘ฅ))
421ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
43 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (coe1โ€˜๐ด) = (coe1โ€˜๐ด)
4443, 11, 6, 5coe1f 21954 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (coe1โ€˜๐ด):โ„•0โŸถ๐พ)
452, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜๐ด):โ„•0โŸถ๐พ)
4645ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (coe1โ€˜๐ด):โ„•0โŸถ๐พ)
47 elfznn0 13598 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
4847adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
4946, 48ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
50 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))) = (coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))
5150, 11, 6, 5coe1f 21954 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต โ†’ (coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))):โ„•0โŸถ๐พ)
5213, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))):โ„•0โŸถ๐พ)
5352ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))):โ„•0โŸถ๐พ)
54 fznn0sub 13537 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
5554adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
5653, 55ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ ๐พ)
575, 15ringcl 20144 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ โˆง ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ ๐พ) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) โˆˆ ๐พ)
5842, 49, 56, 57syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) โˆˆ ๐พ)
5958fmpttd 7115 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))):(0...๐‘ฅ)โŸถ๐พ)
601ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
613ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
624ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
63 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)}) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))
6463, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)}) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
6564adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
66 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)}) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฆ โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))
67 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
6867nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6947nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
7069adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
7168, 70nncand 11580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = ๐‘ฆ)
7271eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))
73 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ท = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) = (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))
7473eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ท = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†” ๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))
7572, 74syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (๐ท = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))
7675necon3d 2959 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฆ โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†’ ๐ท โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))
7776impr 453 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฆ โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท))) โ†’ ๐ท โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
7866, 77sylan2b 592 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ ๐ท โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
7920, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 60, 61, 62, 65, 78coe1tmfv2 22017 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = 0 )
8079oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ))
815, 15, 20ringrz 20182 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ) = 0 )
8242, 49, 81syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ) = 0 )
8363, 82sylan2 591 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ) = 0 )
8480, 83eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = 0 )
8584, 25suppss2 8187 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))) supp 0 ) โІ {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})
865, 20, 23, 25, 41, 59, 85gsumpt 19871 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = ((๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))
87 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†’ ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) = ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))
88 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))
8988fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท))))
9087, 89oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))))
91 eqid 2730 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))) = (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))
92 ovex 7444 . . . . . . . 8 (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))) โˆˆ V
9390, 91, 92fvmpt 6997 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))))
9441, 93syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))))
9528nn0cnd 12538 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
9627nn0cnd 12538 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
9795, 96nncand 11580 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) = ๐ท)
9897fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท))) = ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜๐ท))
993adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
10020, 5, 6, 7, 8, 9, 10coe1tmfv1 22016 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜๐ท) = ๐ถ)
10121, 99, 27, 100syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜๐ท) = ๐ถ)
10298, 101eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท))) = ๐ถ)
103102oveq2d 7427 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ))
10486, 94, 1033eqtrd 2774 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ))
105104anassrs 466 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ))
1061ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1073ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
1084ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
10954ad2antll 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
11054nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
111110ad2antll 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
11233ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
11335ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
11447ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
115114nn0ge0d 12539 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฆ)
11647nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
117116ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
118112, 117subge02d 11810 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘ฅ))
119115, 118mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘ฅ)
120 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)
121112, 113ltnled 11365 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ < ๐ท โ†” ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ))
122120, 121mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ < ๐ท)
123111, 112, 113, 119, 122lelttrd 11376 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) < ๐ท)
124111, 123gtned 11353 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐ท โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
12520, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 106, 107, 108, 109, 124coe1tmfv2 22017 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = 0 )
126125oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ))
12745ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (coe1โ€˜๐ด):โ„•0โŸถ๐พ)
128127, 114ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
129106, 128, 81syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ) = 0 )
130126, 129eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = 0 )
131130anassrs 466 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = 0 )
132131mpteq2dva 5247 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))) = (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ 0 ))
133132oveq2d 7427 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ 0 )))
1341, 22syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
13520gsumz 18753 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง (0...๐‘ฅ) โˆˆ V) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ 0 )) = 0 )
136134, 24, 135sylancl 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ 0 )) = 0 )
137136ad2antrr 722 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ 0 )) = 0 )
138133, 137eqtrd 2770 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = 0 )
13918, 19, 105, 138ifbothda 4565 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))
140139mpteq2dva 5247 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
14117, 140eqtrd 2770 1 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  Vcvv 3472   โˆ– cdif 3944  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•0cn0 12476  ...cfz 13488  Basecbs 17148  .rcmulr 17202   ยท๐‘  cvsca 17205  0gc0g 17389   ฮฃg cgsu 17390  Mndcmnd 18659  .gcmg 18986  mulGrpcmgp 20028  Ringcrg 20127  var1cv1 21919  Poly1cpl1 21920  coe1cco1 21921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-coe1 21926
This theorem is referenced by:  coe1tmmul2fv  22020  coe1sclmul2  22026
  Copyright terms: Public domain W3C validator