MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tmmul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1tmmul2 22019
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the right by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
coe1tm.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
coe1tm.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
coe1tm.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
coe1tm.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
coe1tm.n ๐‘ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
coe1tm.e โ†‘ = (.gโ€˜๐‘)
coe1tmmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
coe1tmmul.t โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ƒ)
coe1tmmul.u ร— = (.rโ€˜๐‘…)
coe1tmmul.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
coe1tmmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
coe1tmmul.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
coe1tmmul.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul2 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ, 0   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐ท   ๐‘ฅ,๐พ   ๐‘ฅ, โ†‘   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐‘ฅ,๐‘‹   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ, ร—   ๐‘ฅ, โˆ™
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem coe1tmmul2
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tmmul.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 coe1tmmul.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
3 coe1tmmul.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
4 coe1tmmul.d . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
5 coe1tm.k . . . . 5 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
6 coe1tm.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
7 coe1tm.x . . . . 5 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
8 coe1tm.m . . . . 5 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
9 coe1tm.n . . . . 5 ๐‘ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
10 coe1tm.e . . . . 5 โ†‘ = (.gโ€˜๐‘)
11 coe1tmmul.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11ply1tmcl 22015 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
131, 3, 4, 12syl3anc 1370 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
14 coe1tmmul.t . . . 4 โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ƒ)
15 coe1tmmul.u . . . 4 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
166, 14, 15, 11coe1mul 22013 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต) โ†’ (coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))))))
171, 2, 13, 16syl3anc 1370 . 2 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))))))
18 eqeq2 2743 . . . 4 ((((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ) = if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ) โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ) โ†” (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
19 eqeq2 2743 . . . 4 ( 0 = if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ) โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = 0 โ†” (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
20 coe1tm.z . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐‘…)
211adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
22 ringmnd 20138 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
24 ovex 7445 . . . . . . . 8 (0...๐‘ฅ) โˆˆ V
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (0...๐‘ฅ) โˆˆ V)
26 simprr 770 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)
274adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
28 simprl 768 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
29 nn0sub 12527 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„•0))
3027, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„•0))
3126, 30mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„•0)
3227nn0ge0d 12540 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
33 nn0re 12486 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
3433ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
354nn0red 12538 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
3635adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
3734, 36subge02d 11811 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ท โ†” (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ‰ค ๐‘ฅ))
3832, 37mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ‰ค ๐‘ฅ)
39 fznn0 13598 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ‰ค ๐‘ฅ)))
4039ad2antrl 725 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ‰ค ๐‘ฅ)))
4131, 38, 40mpbir2and 710 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ (0...๐‘ฅ))
421ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
43 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (coe1โ€˜๐ด) = (coe1โ€˜๐ด)
4443, 11, 6, 5coe1f 21955 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (coe1โ€˜๐ด):โ„•0โŸถ๐พ)
452, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜๐ด):โ„•0โŸถ๐พ)
4645ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (coe1โ€˜๐ด):โ„•0โŸถ๐พ)
47 elfznn0 13599 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
4847adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
4946, 48ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
50 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))) = (coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))
5150, 11, 6, 5coe1f 21955 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต โ†’ (coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))):โ„•0โŸถ๐พ)
5213, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))):โ„•0โŸถ๐พ)
5352ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))):โ„•0โŸถ๐พ)
54 fznn0sub 13538 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
5554adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
5653, 55ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ ๐พ)
575, 15ringcl 20145 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ โˆง ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ ๐พ) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) โˆˆ ๐พ)
5842, 49, 56, 57syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) โˆˆ ๐พ)
5958fmpttd 7116 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))):(0...๐‘ฅ)โŸถ๐พ)
601ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
613ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
624ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
63 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)}) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))
6463, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)}) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
6564adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
66 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)}) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฆ โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))
67 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
6867nn0cnd 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6947nn0cnd 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
7069adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
7168, 70nncand 11581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = ๐‘ฆ)
7271eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))
73 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ท = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) = (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))
7473eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ท = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†” ๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))
7572, 74syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (๐ท = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))
7675necon3d 2960 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฆ โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†’ ๐ท โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))
7776impr 454 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฆ โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท))) โ†’ ๐ท โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
7866, 77sylan2b 593 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ ๐ท โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
7920, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 60, 61, 62, 65, 78coe1tmfv2 22018 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = 0 )
8079oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ))
815, 15, 20ringrz 20183 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ) = 0 )
8242, 49, 81syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ) = 0 )
8363, 82sylan2 592 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ) = 0 )
8480, 83eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = 0 )
8584, 25suppss2 8189 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))) supp 0 ) โІ {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})
865, 20, 23, 25, 41, 59, 85gsumpt 19872 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = ((๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))
87 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†’ ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) = ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))
88 oveq2 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))
8988fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท))))
9087, 89oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))))
91 eqid 2731 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))) = (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))
92 ovex 7445 . . . . . . . 8 (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))) โˆˆ V
9390, 91, 92fvmpt 6998 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))))
9441, 93syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))))
9528nn0cnd 12539 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
9627nn0cnd 12539 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
9795, 96nncand 11581 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) = ๐ท)
9897fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท))) = ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜๐ท))
993adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
10020, 5, 6, 7, 8, 9, 10coe1tmfv1 22017 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜๐ท) = ๐ถ)
10121, 99, 27, 100syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜๐ท) = ๐ถ)
10298, 101eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท))) = ๐ถ)
103102oveq2d 7428 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ))
10486, 94, 1033eqtrd 2775 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ))
105104anassrs 467 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ))
1061ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1073ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
1084ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
10954ad2antll 726 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
11054nn0red 12538 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
111110ad2antll 726 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
11233ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
11335ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
11447ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
115114nn0ge0d 12540 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฆ)
11647nn0red 12538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
117116ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
118112, 117subge02d 11811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘ฅ))
119115, 118mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘ฅ)
120 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)
121112, 113ltnled 11366 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ < ๐ท โ†” ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ))
122120, 121mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ < ๐ท)
123111, 112, 113, 119, 122lelttrd 11377 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) < ๐ท)
124111, 123gtned 11354 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐ท โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
12520, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 106, 107, 108, 109, 124coe1tmfv2 22018 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = 0 )
126125oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ))
12745ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (coe1โ€˜๐ด):โ„•0โŸถ๐พ)
128127, 114ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
129106, 128, 81syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ) = 0 )
130126, 129eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = 0 )
131130anassrs 467 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = 0 )
132131mpteq2dva 5248 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))) = (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ 0 ))
133132oveq2d 7428 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ 0 )))
1341, 22syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
13520gsumz 18754 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง (0...๐‘ฅ) โˆˆ V) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ 0 )) = 0 )
136134, 24, 135sylancl 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ 0 )) = 0 )
137136ad2antrr 723 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ 0 )) = 0 )
138133, 137eqtrd 2771 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = 0 )
13918, 19, 105, 138ifbothda 4566 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))
140139mpteq2dva 5248 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
14117, 140eqtrd 2771 1 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  Vcvv 3473   โˆ– cdif 3945  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  โ„•0cn0 12477  ...cfz 13489  Basecbs 17149  .rcmulr 17203   ยท๐‘  cvsca 17206  0gc0g 17390   ฮฃg cgsu 17391  Mndcmnd 18660  .gcmg 18987  mulGrpcmgp 20029  Ringcrg 20128  var1cv1 21920  Poly1cpl1 21921  coe1cco1 21922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-psr 21682  df-mvr 21683  df-mpl 21684  df-opsr 21686  df-psr1 21924  df-vr1 21925  df-ply1 21926  df-coe1 21927
This theorem is referenced by:  coe1tmmul2fv  22021  coe1sclmul2  22027
  Copyright terms: Public domain W3C validator