MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tmmul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1tmmul2 21647
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the right by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
coe1tm.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
coe1tm.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
coe1tm.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
coe1tm.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
coe1tm.n ๐‘ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
coe1tm.e โ†‘ = (.gโ€˜๐‘)
coe1tmmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
coe1tmmul.t โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ƒ)
coe1tmmul.u ร— = (.rโ€˜๐‘…)
coe1tmmul.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
coe1tmmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
coe1tmmul.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
coe1tmmul.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul2 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ, 0   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐ท   ๐‘ฅ,๐พ   ๐‘ฅ, โ†‘   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐‘ฅ,๐‘‹   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ, ร—   ๐‘ฅ, โˆ™
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem coe1tmmul2
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tmmul.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 coe1tmmul.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
3 coe1tmmul.c . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
4 coe1tmmul.d . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
5 coe1tm.k . . . . 5 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
6 coe1tm.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
7 coe1tm.x . . . . 5 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
8 coe1tm.m . . . . 5 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
9 coe1tm.n . . . . 5 ๐‘ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
10 coe1tm.e . . . . 5 โ†‘ = (.gโ€˜๐‘)
11 coe1tmmul.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11ply1tmcl 21643 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
131, 3, 4, 12syl3anc 1371 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต)
14 coe1tmmul.t . . . 4 โˆ™ = (.rโ€˜๐‘ƒ)
15 coe1tmmul.u . . . 4 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
166, 14, 15, 11coe1mul 21641 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต) โ†’ (coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))))))
171, 2, 13, 16syl3anc 1371 . 2 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))))))
18 eqeq2 2748 . . . 4 ((((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ) = if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ) โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ) โ†” (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
19 eqeq2 2748 . . . 4 ( 0 = if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ) โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = 0 โ†” (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
20 coe1tm.z . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐‘…)
211adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
22 ringmnd 19974 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
24 ovex 7390 . . . . . . . 8 (0...๐‘ฅ) โˆˆ V
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (0...๐‘ฅ) โˆˆ V)
26 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)
274adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
28 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
29 nn0sub 12463 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„•0))
3027, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„•0))
3126, 30mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„•0)
3227nn0ge0d 12476 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
33 nn0re 12422 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
3433ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
354nn0red 12474 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
3635adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
3734, 36subge02d 11747 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ท โ†” (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ‰ค ๐‘ฅ))
3832, 37mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ‰ค ๐‘ฅ)
39 fznn0 13533 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ‰ค ๐‘ฅ)))
4039ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ‰ค ๐‘ฅ)))
4131, 38, 40mpbir2and 711 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ (0...๐‘ฅ))
421ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
43 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (coe1โ€˜๐ด) = (coe1โ€˜๐ด)
4443, 11, 6, 5coe1f 21582 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ ๐ต โ†’ (coe1โ€˜๐ด):โ„•0โŸถ๐พ)
452, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜๐ด):โ„•0โŸถ๐พ)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (coe1โ€˜๐ด):โ„•0โŸถ๐พ)
47 elfznn0 13534 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
4847adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
4946, 48ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
50 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))) = (coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))
5150, 11, 6, 5coe1f 21582 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ ๐ต โ†’ (coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))):โ„•0โŸถ๐พ)
5213, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))):โ„•0โŸถ๐พ)
5352ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹))):โ„•0โŸถ๐พ)
54 fznn0sub 13473 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
5554adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
5653, 55ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ ๐พ)
575, 15ringcl 19981 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ โˆง ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) โˆˆ ๐พ) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) โˆˆ ๐พ)
5842, 49, 56, 57syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) โˆˆ ๐พ)
5958fmpttd 7063 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))):(0...๐‘ฅ)โŸถ๐พ)
601ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
613ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
624ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
63 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)}) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))
6463, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)}) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
6564adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
66 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)}) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฆ โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))
67 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
6867nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6947nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
7069adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
7168, 70nncand 11517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = ๐‘ฆ)
7271eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))
73 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ท = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) = (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))
7473eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ท = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†” ๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))
7572, 74syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (๐ท = (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))
7675necon3d 2964 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฆ โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†’ ๐ท โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))
7776impr 455 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฆ โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท))) โ†’ ๐ท โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
7866, 77sylan2b 594 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ ๐ท โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
7920, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 60, 61, 62, 65, 78coe1tmfv2 21646 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = 0 )
8079oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ))
815, 15, 20ringrz 20012 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ) = 0 )
8242, 49, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ) = 0 )
8363, 82sylan2 593 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ) = 0 )
8480, 83eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((0...๐‘ฅ) โˆ– {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = 0 )
8584, 25suppss2 8131 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))) supp 0 ) โŠ† {(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)})
865, 20, 23, 25, 41, 59, 85gsumpt 19739 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = ((๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))
87 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†’ ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) = ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))
88 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))
8988fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท))))
9087, 89oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))))
91 eqid 2736 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))) = (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))
92 ovex 7390 . . . . . . . 8 (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))) โˆˆ V
9390, 91, 92fvmpt 6948 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆ’ ๐ท) โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))))
9441, 93syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))))
9528nn0cnd 12475 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
9627nn0cnd 12475 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
9795, 96nncand 11517 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) = ๐ท)
9897fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท))) = ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜๐ท))
993adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
10020, 5, 6, 7, 8, 9, 10coe1tmfv1 21645 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ถ โˆˆ ๐พ โˆง ๐ท โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜๐ท) = ๐ถ)
10121, 99, 27, 100syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜๐ท) = ๐ถ)
10298, 101eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท))) = ๐ถ)
103102oveq2d 7373 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ))
10486, 94, 1033eqtrd 2780 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ))
105104anassrs 468 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ))
1061ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1073ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐พ)
1084ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
10954ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•0)
11054nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
111110ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
11233ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
11335ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
11447ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
115114nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘ฆ)
11647nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
117116ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
118112, 117subge02d 11747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘ฅ))
119115, 118mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘ฅ)
120 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ)
121112, 113ltnled 11302 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ < ๐ท โ†” ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ))
122120, 121mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ < ๐ท)
123111, 112, 113, 119, 122lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ) < ๐ท)
124111, 123gtned 11290 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ๐ท โ‰  (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
12520, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 106, 107, 108, 109, 124coe1tmfv2 21646 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = 0 )
126125oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ))
12745ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (coe1โ€˜๐ด):โ„•0โŸถ๐พ)
128127, 114ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ ((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
129106, 128, 81syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— 0 ) = 0 )
130126, 129eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง (ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ))) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = 0 )
131130anassrs 468 . . . . . . 7 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ)) โ†’ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))) = 0 )
132131mpteq2dva 5205 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))) = (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ 0 ))
133132oveq2d 7373 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ 0 )))
1341, 22syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
13520gsumz 18646 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง (0...๐‘ฅ) โˆˆ V) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ 0 )) = 0 )
136134, 24, 135sylancl 586 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ 0 )) = 0 )
137136ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ 0 )) = 0 )
138133, 137eqtrd 2776 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐ท โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = 0 )
13918, 19, 105, 138ifbothda 4524 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))))) = if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 ))
140139mpteq2dva 5205 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฆ โˆˆ (0...๐‘ฅ) โ†ฆ (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜๐‘ฆ) ร— ((coe1โ€˜(๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
14117, 140eqtrd 2776 1 (๐œ‘ โ†’ (coe1โ€˜(๐ด โˆ™ (๐ถ ยท (๐ท โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐ท โ‰ค ๐‘ฅ, (((coe1โ€˜๐ด)โ€˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐ท)) ร— ๐ถ), 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2943  Vcvv 3445   โˆ– cdif 3907  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105   โ†ฆ cmpt 5188  โŸถwf 6492  โ€˜cfv 6496  (class class class)co 7357  โ„‚cc 11049  โ„cr 11050  0cc0 11051   < clt 11189   โ‰ค cle 11190   โˆ’ cmin 11385  โ„•0cn0 12413  ...cfz 13424  Basecbs 17083  .rcmulr 17134   ยท๐‘  cvsca 17137  0gc0g 17321   ฮฃg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  .gcmg 18872  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  var1cv1 21547  Poly1cpl1 21548  coe1cco1 21549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554
This theorem is referenced by:  coe1tmmul2fv  21649  coe1sclmul2  21655
  Copyright terms: Public domain W3C validator