MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smadiadetlem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smadiadetlem1a 22147
Description: Lemma 1a for smadiadet 22154: The summands of the Leibniz' formula vanish for all permutations fixing the index of the row containing the 0's and the 1 to the column with the 1. (Contributed by AV, 3-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marep01ma.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marep01ma.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
marep01ma.r 𝑅 ∈ CRing
marep01ma.0 0 = (0g𝑅)
marep01ma.1 1 = (1r𝑅)
smadiadetlem.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
smadiadetlem.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
madetminlem.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
madetminlem.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
madetminlem.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
smadiadetlem1a ((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿}) ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛))))))) = 0 )
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑛,𝐵   𝑖,𝑞,𝐾,𝑗,𝑛   𝑖,𝐿,𝑗,𝑛,𝑞   𝑖,𝑀,𝑗,𝑛   𝑖,𝑁,𝑗,𝑛   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛,𝑞   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛   1 ,𝑖,𝑗,𝑛   0 ,𝑖,𝑗,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝑝,𝐵   𝐾,𝑝   𝐿,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝,𝑖,𝑗   𝑞,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑞)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   · (𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   1 (𝑞,𝑝)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑞,𝑝)   𝑀(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑌(𝑖,𝑗,𝑛,𝑞,𝑝)   0 (𝑞,𝑝)

Proof of Theorem smadiadetlem1a
StepHypRef Expression
1 marep01ma.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 marep01ma.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 marep01ma.r . . . . . . 7 𝑅 ∈ CRing
4 marep01ma.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
5 marep01ma.1 . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
6 smadiadetlem.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
7 smadiadetlem.g . . . . . . 7 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7smadiadetlem0 22145 . . . . . 6 ((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) → (𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿}) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛)))) = 0 ))
98imp 408 . . . . 5 (((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿})) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛)))) = 0 )
109oveq2d 7420 . . . 4 (((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿})) → (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛))))) = (((𝑌𝑆)‘𝑝) · 0 ))
1110mpteq2dva 5247 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) → (𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿}) ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛)))))) = (𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿}) ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · 0 )))
1211oveq2d 7420 . 2 ((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿}) ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿}) ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · 0 ))))
13 crngring 20059 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
143, 13mp1i 13 . . . . 5 (((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿})) → 𝑅 ∈ Ring)
151, 2matrcl 21894 . . . . . . . . 9 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1615simpld 496 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
17163ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
1817adantr 482 . . . . . 6 (((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿})) → 𝑁 ∈ Fin)
19 eldifi 4125 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿}) → 𝑝𝑃)
2019adantl 483 . . . . . 6 (((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿})) → 𝑝𝑃)
21 madetminlem.s . . . . . . 7 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
22 madetminlem.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
236, 21, 22zrhcopsgnelbas 21132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
2414, 18, 20, 23syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿})) → ((𝑌𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
25 eqid 2733 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26 madetminlem.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
2725, 26, 4ringrz 20098 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑌𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑌𝑆)‘𝑝) · 0 ) = 0 )
2814, 24, 27syl2anc 585 . . . 4 (((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿})) → (((𝑌𝑆)‘𝑝) · 0 ) = 0 )
2928mpteq2dva 5247 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) → (𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿}) ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · 0 )) = (𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿}) ↦ 0 ))
3029oveq2d 7420 . 2 ((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿}) ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · 0 ))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿}) ↦ 0 )))
31 ringmnd 20057 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
323, 13, 31mp2b 10 . . 3 𝑅 ∈ Mnd
336fvexi 6902 . . . 4 𝑃 ∈ V
34 difexg 5326 . . . 4 (𝑃 ∈ V → (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿}) ∈ V)
3533, 34mp1i 13 . . 3 ((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) → (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿}) ∈ V)
364gsumz 18713 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿}) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿}) ↦ 0 )) = 0 )
3732, 35, 36sylancr 588 . 2 ((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿}) ↦ 0 )) = 0 )
3812, 30, 373eqtrd 2777 1 ((𝑀𝐵𝐾𝑁𝐿𝑁) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (𝑃 ∖ {𝑞𝑃 ∣ (𝑞𝐾) = 𝐿}) ↦ (((𝑌𝑆)‘𝑝) · (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ (𝑛(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐾, if(𝑗 = 𝐿, 1 , 0 ), (𝑖𝑀𝑗)))(𝑝𝑛))))))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475  cdif 3944  ifcif 4527  cmpt 5230  ccom 5679  cfv 6540  (class class class)co 7404  cmpo 7406  Fincfn 8935  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  0gc0g 17381   Σg cgsu 17382  Mndcmnd 18621  SymGrpcsymg 19227  pmSgncpsgn 19350  mulGrpcmgp 19979  1rcur 19996  Ringcrg 20047  CRingccrg 20048  ℤRHomczrh 21033   Mat cmat 21889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-splice 14696  df-reverse 14705  df-s2 14795  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-efmnd 18746  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-cntz 19175  df-oppg 19203  df-symg 19228  df-pmtr 19303  df-psgn 19352  df-cmn 19643  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-cring 20050  df-rnghom 20240  df-subrg 20349  df-sra 20773  df-rgmod 20774  df-cnfld 20930  df-zring 21003  df-zrh 21037  df-dsmm 21271  df-frlm 21286  df-mat 21890
This theorem is referenced by:  smadiadetlem2  22148
  Copyright terms: Public domain W3C validator