MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smadiadetlem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smadiadetlem1a 22581
Description: Lemma 1a for smadiadet 22588: The summands of the Leibniz' formula vanish for all permutations fixing the index of the row containing the 0's and the 1 to the column with the 1. (Contributed by AV, 3-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marep01ma.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
marep01ma.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
marep01ma.r ๐‘… โˆˆ CRing
marep01ma.0 0 = (0gโ€˜๐‘…)
marep01ma.1 1 = (1rโ€˜๐‘…)
smadiadetlem.p ๐‘ƒ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
smadiadetlem.g ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
madetminlem.y ๐‘Œ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
madetminlem.s ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
madetminlem.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
smadiadetlem1a ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ}) โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐บ ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘›(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐ฟ, 1 , 0 ), (๐‘–๐‘€๐‘—)))(๐‘โ€˜๐‘›))))))) = 0 )
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘—,๐‘›,๐ต   ๐‘–,๐‘ž,๐พ,๐‘—,๐‘›   ๐‘–,๐ฟ,๐‘—,๐‘›,๐‘ž   ๐‘–,๐‘€,๐‘—,๐‘›   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘›   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—,๐‘›,๐‘ž   ๐‘…,๐‘–,๐‘—,๐‘›   1 ,๐‘–,๐‘—,๐‘›   0 ,๐‘–,๐‘—,๐‘›   ๐‘›,๐บ   ๐‘›,๐‘,๐ต   ๐พ,๐‘   ๐ฟ,๐‘   ๐‘€,๐‘   ๐‘,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘…,๐‘,๐‘–,๐‘—   ๐‘ž,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—,๐‘›,๐‘ž,๐‘)   ๐ต(๐‘ž)   ๐‘…(๐‘ž)   ๐‘†(๐‘–,๐‘—,๐‘›,๐‘ž,๐‘)   ยท (๐‘–,๐‘—,๐‘›,๐‘ž,๐‘)   1 (๐‘ž,๐‘)   ๐บ(๐‘–,๐‘—,๐‘ž,๐‘)   ๐‘€(๐‘ž)   ๐‘(๐‘ž)   ๐‘Œ(๐‘–,๐‘—,๐‘›,๐‘ž,๐‘)   0 (๐‘ž,๐‘)

Proof of Theorem smadiadetlem1a
StepHypRef Expression
1 marep01ma.a . . . . . . 7 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 marep01ma.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
3 marep01ma.r . . . . . . 7 ๐‘… โˆˆ CRing
4 marep01ma.0 . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐‘…)
5 marep01ma.1 . . . . . . 7 1 = (1rโ€˜๐‘…)
6 smadiadetlem.p . . . . . . 7 ๐‘ƒ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
7 smadiadetlem.g . . . . . . 7 ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7smadiadetlem0 22579 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ}) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘›(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐ฟ, 1 , 0 ), (๐‘–๐‘€๐‘—)))(๐‘โ€˜๐‘›)))) = 0 ))
98imp 405 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ})) โ†’ (๐บ ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘›(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐ฟ, 1 , 0 ), (๐‘–๐‘€๐‘—)))(๐‘โ€˜๐‘›)))) = 0 )
109oveq2d 7431 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ})) โ†’ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐บ ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘›(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐ฟ, 1 , 0 ), (๐‘–๐‘€๐‘—)))(๐‘โ€˜๐‘›))))) = (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท 0 ))
1110mpteq2dva 5243 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ}) โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐บ ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘›(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐ฟ, 1 , 0 ), (๐‘–๐‘€๐‘—)))(๐‘โ€˜๐‘›)))))) = (๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ}) โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท 0 )))
1211oveq2d 7431 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ}) โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐บ ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘›(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐ฟ, 1 , 0 ), (๐‘–๐‘€๐‘—)))(๐‘โ€˜๐‘›))))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ}) โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท 0 ))))
13 crngring 20187 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
143, 13mp1i 13 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ})) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
151, 2matrcl 22328 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
1615simpld 493 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
17163ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
1817adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ})) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
19 eldifi 4119 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ}) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ)
2019adantl 480 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ})) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ)
21 madetminlem.s . . . . . . 7 ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
22 madetminlem.y . . . . . . 7 ๐‘Œ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
236, 21, 22zrhcopsgnelbas 21529 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2414, 18, 20, 23syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ})) โ†’ ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
25 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
26 madetminlem.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
2725, 26, 4ringrz 20232 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท 0 ) = 0 )
2814, 24, 27syl2anc 582 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ})) โ†’ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท 0 ) = 0 )
2928mpteq2dva 5243 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ}) โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท 0 )) = (๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ}) โ†ฆ 0 ))
3029oveq2d 7431 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ}) โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท 0 ))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ}) โ†ฆ 0 )))
31 ringmnd 20185 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
323, 13, 31mp2b 10 . . 3 ๐‘… โˆˆ Mnd
336fvexi 6905 . . . 4 ๐‘ƒ โˆˆ V
34 difexg 5324 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ V โ†’ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ}) โˆˆ V)
3533, 34mp1i 13 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ}) โˆˆ V)
364gsumz 18790 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ}) โˆˆ V) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ}) โ†ฆ 0 )) = 0 )
3732, 35, 36sylancr 585 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ}) โ†ฆ 0 )) = 0 )
3812, 30, 373eqtrd 2769 1 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ž โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ (๐‘žโ€˜๐พ) = ๐ฟ}) โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐บ ฮฃg (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘›(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐ฟ, 1 , 0 ), (๐‘–๐‘€๐‘—)))(๐‘โ€˜๐‘›))))))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   โˆ– cdif 3937  ifcif 4524   โ†ฆ cmpt 5226   โˆ˜ ccom 5676  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   โˆˆ cmpo 7417  Fincfn 8960  Basecbs 17177  .rcmulr 17231  0gc0g 17418   ฮฃg cgsu 17419  Mndcmnd 18691  SymGrpcsymg 19323  pmSgncpsgn 19446  mulGrpcmgp 20076  1rcur 20123  Ringcrg 20175  CRingccrg 20176  โ„คRHomczrh 21427   Mat cmat 22323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-word 14495  df-lsw 14543  df-concat 14551  df-s1 14576  df-substr 14621  df-pfx 14651  df-splice 14730  df-reverse 14739  df-s2 14829  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-efmnd 18823  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-gim 19215  df-cntz 19270  df-oppg 19299  df-symg 19324  df-pmtr 19399  df-psgn 19448  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-rhm 20413  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-cnfld 21282  df-zring 21375  df-zrh 21431  df-dsmm 21668  df-frlm 21683  df-mat 22324
This theorem is referenced by:  smadiadetlem2  22582
  Copyright terms: Public domain W3C validator