Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1mulgsumlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mulgsumlem2 47068
Description: Lemma 2 for ply1mulgsum 47071. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
ply1mulgsum.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
ply1mulgsum.a ๐ด = (coe1โ€˜๐พ)
ply1mulgsum.c ๐ถ = (coe1โ€˜๐ฟ)
ply1mulgsum.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
ply1mulgsum.pm ร— = (.rโ€˜๐‘ƒ)
ply1mulgsum.sm ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
ply1mulgsum.rm โˆ— = (.rโ€˜๐‘…)
ply1mulgsum.m ๐‘€ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
ply1mulgsum.e โ†‘ = (.gโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsumlem2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›,๐‘    ๐ต,๐‘›,๐‘    ๐ถ,๐‘›,๐‘    ๐‘›,๐พ,๐‘    ๐‘›,๐ฟ,๐‘    ๐‘…,๐‘›,๐‘    ๐ด,๐‘™,๐‘›   ๐ต,๐‘™   ๐ถ,๐‘™   ๐พ,๐‘™   ๐ฟ,๐‘™   ๐‘…,๐‘™,๐‘    โˆ— ,๐‘ 
Allowed substitution hints:   ๐‘ƒ(๐‘›,๐‘ ,๐‘™)   ยท (๐‘›,๐‘ ,๐‘™)   ร— (๐‘›,๐‘ ,๐‘™)   โ†‘ (๐‘›,๐‘ ,๐‘™)   โˆ— (๐‘›,๐‘™)   ๐‘€(๐‘›,๐‘ ,๐‘™)   ๐‘‹(๐‘›,๐‘ ,๐‘™)

Proof of Theorem ply1mulgsumlem2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mulgsum.p . . 3 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
2 ply1mulgsum.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
3 ply1mulgsum.a . . 3 ๐ด = (coe1โ€˜๐พ)
4 ply1mulgsum.c . . 3 ๐ถ = (coe1โ€˜๐ฟ)
5 ply1mulgsum.x . . 3 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
6 ply1mulgsum.pm . . 3 ร— = (.rโ€˜๐‘ƒ)
7 ply1mulgsum.sm . . 3 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
8 ply1mulgsum.rm . . 3 โˆ— = (.rโ€˜๐‘…)
9 ply1mulgsum.m . . 3 ๐‘€ = (mulGrpโ€˜๐‘ƒ)
10 ply1mulgsum.e . . 3 โ†‘ = (.gโ€˜๐‘€)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ply1mulgsumlem1 47067 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))))
12 2nn0 12489 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•0
1312a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
14 id 22 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
1513, 14nn0mulcld 12537 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
1615ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (2 ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
17 breq1 5152 . . . . . . . 8 (๐‘  = (2 ยท ๐‘ง) โ†’ (๐‘  < ๐‘› โ†” (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›))
1817imbi1d 342 . . . . . . 7 (๐‘  = (2 ยท ๐‘ง) โ†’ ((๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†” ((2 ยท ๐‘ง) < ๐‘› โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…))))
1918ralbidv 3178 . . . . . 6 (๐‘  = (2 ยท ๐‘ง) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘ง) < ๐‘› โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…))))
2019adantl 483 . . . . 5 ((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘  = (2 ยท ๐‘ง)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘ง) < ๐‘› โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…))))
21 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 โˆˆ โ„
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„)
23 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
2422, 23remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„)
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (2 ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„)
26 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
2726adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
2827adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
29 elfznn0 13594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„•0)
30 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„)
3231adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„)
3325, 28, 32ltsub1d 11823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ((2 ยท ๐‘ง) < ๐‘› โ†” ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™) < (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
3423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
3532, 34, 25lesub2d 11822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โ†” ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) โ‰ค ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™)))
3635adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™) < (๐‘› โˆ’ ๐‘™)) โ†’ (๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โ†” ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) โ‰ค ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™)))
3724, 23resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„)
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„)
3924adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„)
40 resubcl 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((2 ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„)
4139, 31, 40syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„)
42 resubcl 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘› โˆˆ โ„ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„)
4327, 31, 42syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„)
44 lelttr 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„) โ†’ ((((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) โ‰ค ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™) โˆง ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™) < (๐‘› โˆ’ ๐‘™)) โ†’ ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) < (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
4538, 41, 43, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ((((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) โ‰ค ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™) โˆง ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™) < (๐‘› โˆ’ ๐‘™)) โ†’ ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) < (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
46 nn0cn 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
47 2txmxeqx 12352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) = ๐‘ง)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) = ๐‘ง)
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) = ๐‘ง)
5049breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) < (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โ†” ๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
5145, 50sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ((((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) โ‰ค ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™) โˆง ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™) < (๐‘› โˆ’ ๐‘™)) โ†’ ๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
5251expcomd 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™) < (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โ†’ (((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) โ‰ค ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™) โ†’ ๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™))))
5352imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™) < (๐‘› โˆ’ ๐‘™)) โ†’ (((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘ง) โ‰ค ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™) โ†’ ๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
5436, 53sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™) < (๐‘› โˆ’ ๐‘™)) โ†’ (๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โ†’ ๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
5554ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (((2 ยท ๐‘ง) โˆ’ ๐‘™) < (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โ†’ (๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โ†’ ๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™))))
5633, 55sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ((2 ยท ๐‘ง) < ๐‘› โ†’ (๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โ†’ ๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™))))
5756ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ ((2 ยท ๐‘ง) < ๐‘› โ†’ (๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โ†’ ๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))))
5857com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ๐‘ง) < ๐‘› โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โ†’ ๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))))
5958ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ง) < ๐‘› โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โ†’ ๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™))))))
6059ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘ง) < ๐‘› โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โ†’ ๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™))))))
6160imp41 427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โ†’ ๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
6261impcom 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โˆง (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›))) โ†’ ๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™))
63 fznn0sub2 13608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ (0...๐‘›))
64 elfznn0 13594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„•0)
65 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ = (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โ†’ (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†” ๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
66 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ฅ = (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โ†” (๐ดโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…)))
67 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ฅ = (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โ†” (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…)))
6866, 67anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ = (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†” ((๐ดโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…))))
6965, 68imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ = (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โ†’ ((๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†” (๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โ†’ ((๐ดโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…)))))
7069rspcva 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โ†’ (๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โ†’ ((๐ดโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…))))
71 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐ดโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…))
7270, 71syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โ†’ (๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โ†’ (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…)))
7372ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โ†’ (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…))))
7463, 64, 733syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โ†’ (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…))))
7574com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โ†’ (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…))))
7675ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โ†’ (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…))))
7776imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โ†’ (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…)))
7877adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โˆง (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›))) โ†’ (๐‘ง < (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โ†’ (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…)))
7962, 78mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โˆง (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›))) โ†’ (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = (0gโ€˜๐‘…))
8079oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โˆง (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›))) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))) = ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (0gโ€˜๐‘…)))
81 simplr1 1216 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
8281ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
8382adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โˆง (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
84 simplr2 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ต)
8584adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ต)
8685, 29anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0))
8786adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โˆง (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›))) โ†’ (๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0))
88 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
893, 2, 1, 88coe1fvalcl 21736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘™) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โˆง (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›))) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘™) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
91 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
9288, 8, 91ringrz 20108 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ดโ€˜๐‘™) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
9383, 90, 92syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โˆง (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›))) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
9480, 93eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โˆง (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›))) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))) = (0gโ€˜๐‘…))
95 ltnle 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ง < ๐‘™ โ†” ยฌ ๐‘™ โ‰ค ๐‘ง))
9623, 30, 95syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ง < ๐‘™ โ†” ยฌ ๐‘™ โ‰ค ๐‘ง))
9796bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„•0) โ†’ (ยฌ ๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โ†” ๐‘ง < ๐‘™))
9897expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ (ยฌ ๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โ†” ๐‘ง < ๐‘™)))
9998, 29syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (ยฌ ๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โ†” ๐‘ง < ๐‘™)))
10099ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (ยฌ ๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โ†” ๐‘ง < ๐‘™)))
101100imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (ยฌ ๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โ†” ๐‘ง < ๐‘™))
102 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ = ๐‘™ โ†’ (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†” ๐‘ง < ๐‘™))
103 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ = ๐‘™ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โ†” (๐ดโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…)))
104 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฅ = ๐‘™ โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โ†” (๐ถโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…)))
105103, 104anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ = ๐‘™ โ†’ (((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†” ((๐ดโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…))))
106102, 105imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ = ๐‘™ โ†’ ((๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†” (๐‘ง < ๐‘™ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…)))))
107106rspcva 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘™ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โ†’ (๐‘ง < ๐‘™ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…))))
108 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ดโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…))
109107, 108syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘™ โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โ†’ (๐‘ง < ๐‘™ โ†’ (๐ดโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…)))
110109ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘™ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ง < ๐‘™ โ†’ (๐ดโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…))))
111110, 29syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘ง < ๐‘™ โ†’ (๐ดโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…))))
112111ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘ง < ๐‘™ โ†’ (๐ดโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…))))
113112imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘ง < ๐‘™ โ†’ (๐ดโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…)))
114101, 113sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (ยฌ ๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โ†’ (๐ดโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…)))
115114impcom 409 . . . . . . . . . . . . 13 ((ยฌ ๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โˆง (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›))) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘™) = (0gโ€˜๐‘…))
116115oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 ((ยฌ ๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โˆง (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›))) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))) = ((0gโ€˜๐‘…) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))
11782adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((ยฌ ๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โˆง (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
118 simplr3 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ฟ โˆˆ ๐ต)
119118adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ ๐ฟ โˆˆ ๐ต)
120 fznn0sub 13533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„•0)
121119, 120anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐ฟ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„•0))
122121adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ยฌ ๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โˆง (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›))) โ†’ (๐ฟ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„•0))
1234, 2, 1, 88coe1fvalcl 21736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ฟ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((ยฌ ๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โˆง (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›))) โ†’ (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
12588, 8, 91ringlz 20107 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))) = (0gโ€˜๐‘…))
126117, 124, 125syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((ยฌ ๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โˆง (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›))) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))) = (0gโ€˜๐‘…))
127116, 126eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((ยฌ ๐‘™ โ‰ค ๐‘ง โˆง (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›))) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))) = (0gโ€˜๐‘…))
12894, 127pm2.61ian 811 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))) = (0gโ€˜๐‘…))
129128mpteq2dva 5249 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))) = (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (0gโ€˜๐‘…)))
130129oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (0gโ€˜๐‘…))))
131 ringmnd 20066 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
1321313ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
133 ovex 7442 . . . . . . . . . . 11 (0...๐‘›) โˆˆ V
134132, 133jctir 522 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘… โˆˆ Mnd โˆง (0...๐‘›) โˆˆ V))
135134ad3antlr 730 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ (๐‘… โˆˆ Mnd โˆง (0...๐‘›) โˆˆ V))
13691gsumz 18717 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง (0...๐‘›) โˆˆ V) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (0gโ€˜๐‘…))) = (0gโ€˜๐‘…))
137135, 136syl 17 . . . . . . . 8 (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (0gโ€˜๐‘…))) = (0gโ€˜๐‘…))
138130, 137eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง (2 ยท ๐‘ง) < ๐‘›) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…))
139138ex 414 . . . . . 6 ((((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ๐‘ง) < ๐‘› โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…)))
140139ralrimiva 3147 . . . . 5 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘ง) < ๐‘› โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…)))
14116, 20, 140rspcedvd 3615 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โˆง (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…)))
142141ex 414 . . 3 ((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…)))) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…))))
143142rexlimiva 3148 . 2 (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐‘ง < ๐‘ฅ โ†’ ((๐ดโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…) โˆง (๐ถโ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…))))
14411, 143mpcom 38 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐พ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ฟ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 (๐‘  < ๐‘› โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐ดโ€˜๐‘™) โˆ— (๐ถโ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) = (0gโ€˜๐‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  ...cfz 13484  Basecbs 17144  .rcmulr 17198   ยท๐‘  cvsca 17201  0gc0g 17385   ฮฃg cgsu 17386  Mndcmnd 18625  .gcmg 18950  mulGrpcmgp 19987  Ringcrg 20056  var1cv1 21700  Poly1cpl1 21701  coe1cco1 21702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-tset 17216  df-ple 17217  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mgp 19988  df-ring 20058  df-psr 21462  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-psr1 21704  df-ply1 21706  df-coe1 21707
This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem3  47069  ply1mulgsumlem4  47070
  Copyright terms: Public domain W3C validator