Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  freshmansdream Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem freshmansdream 31010
 Description: For a prime number 𝑃, if 𝑋 and 𝑌 are members of a commutative ring 𝑅 of characteristic 𝑃, then ((𝑋 + 𝑌)↑𝑃) = ((𝑋↑𝑃) + (𝑌↑𝑃)). This theorem is sometimes referred to as "the freshman's dream" . (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
freshmansdream.s 𝐵 = (Base‘𝑅)
freshmansdream.a + = (+g𝑅)
freshmansdream.p = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
freshmansdream.c 𝑃 = (chr‘𝑅)
freshmansdream.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
freshmansdream.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
freshmansdream.x (𝜑𝑋𝐵)
freshmansdream.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
freshmansdream (𝜑 → (𝑃 (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑃 𝑋) + (𝑃 𝑌)))

Proof of Theorem freshmansdream
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 freshmansdream.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 crngring 19377 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3 freshmansdream.c . . . . 5 𝑃 = (chr‘𝑅)
43chrcl 20294 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ ℕ0)
51, 2, 43syl 18 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
6 freshmansdream.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
7 freshmansdream.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
8 freshmansdream.s . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 eqid 2758 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
10 eqid 2758 . . . 4 (.g𝑅) = (.g𝑅)
11 freshmansdream.a . . . 4 + = (+g𝑅)
12 eqid 2758 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
13 freshmansdream.p . . . 4 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
148, 9, 10, 11, 12, 13crngbinom 19442 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑃 (𝑋 + 𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))))
151, 5, 6, 7, 14syl22anc 837 . 2 (𝜑 → (𝑃 (𝑋 + 𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))))
165nn0cnd 11996 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
17 1cnd 10674 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1816, 17npcand 11039 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
1918oveq2d 7166 . . . . 5 (𝜑 → (0...((𝑃 − 1) + 1)) = (0...𝑃))
2019eqcomd 2764 . . . 4 (𝜑 → (0...𝑃) = (0...((𝑃 − 1) + 1)))
2120mpteq1d 5121 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))) = (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))))
2221oveq2d 7166 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))))
23 ringcmn 19402 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
241, 2, 233syl 18 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
25 freshmansdream.1 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
26 prmnn 16070 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
27 nnm1nn0 11975 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2825, 26, 273syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
29 ringgrp 19370 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
301, 2, 293syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
3130adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑅 ∈ Grp)
325adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
33 fzssz 12958 . . . . . . . . 9 (0...((𝑃 − 1) + 1)) ⊆ ℤ
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...((𝑃 − 1) + 1)) ⊆ ℤ)
3534sselda 3892 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
36 bccl 13732 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℤ) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
3732, 35, 36syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
3837nn0zd 12124 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℤ)
391, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4039adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
4112ringmgp 19371 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4239, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4342adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
44 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)))
4519adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (0...((𝑃 − 1) + 1)) = (0...𝑃))
4644, 45eleqtrd 2854 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑃))
47 fznn0sub 12988 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝑃) → (𝑃𝑖) ∈ ℕ0)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃𝑖) ∈ ℕ0)
496adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑋𝐵)
5012, 8mgpbas 19313 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5150, 13mulgnn0cl 18311 . . . . . . 7 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (𝑃𝑖) ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑃𝑖) 𝑋) ∈ 𝐵)
5243, 48, 49, 51syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → ((𝑃𝑖) 𝑋) ∈ 𝐵)
53 elfznn0 13049 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
5453adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
557adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑌𝐵)
5650, 13mulgnn0cl 18311 . . . . . . 7 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑖 ∈ ℕ0𝑌𝐵) → (𝑖 𝑌) ∈ 𝐵)
5743, 54, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑖 𝑌) ∈ 𝐵)
588, 9ringcl 19382 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑃𝑖) 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖 𝑌) ∈ 𝐵) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵)
5940, 52, 57, 58syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵)
608, 10mulgcl 18312 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑃C𝑖) ∈ ℤ ∧ (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) ∈ 𝐵)
6131, 38, 59, 60syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) ∈ 𝐵)
628, 11, 24, 28, 61gsummptfzsplit 19120 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))))))
6330adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Grp)
64 elfzelz 12956 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
655, 64, 36syl2an 598 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
6665nn0zd 12124 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℤ)
6739adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
6867, 41syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
69 fzssp1 12999 . . . . . . . . . . . 12 (0...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...((𝑃 − 1) + 1))
7069, 19sseqtrid 3944 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...𝑃))
7170sselda 3892 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑃))
7271, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃𝑖) ∈ ℕ0)
736adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑋𝐵)
7468, 72, 73, 51syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → ((𝑃𝑖) 𝑋) ∈ 𝐵)
75 elfznn0 13049 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
7675adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
777adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑌𝐵)
7868, 76, 77, 56syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑖 𝑌) ∈ 𝐵)
7967, 74, 78, 58syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵)
8063, 66, 79, 60syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) ∈ 𝐵)
818, 11, 24, 28, 80gsummptfzsplitl 19121 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))))))
8239adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
83 prmdvdsbc 30654 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖))
8425, 83sylan 583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖))
8582, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
865nn0zd 12124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
87 1nn0 11950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
88 eluzmn 12289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)))
8986, 87, 88sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)))
90 fzss2 12996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)) → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
9291sselda 3892 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ (1...𝑃))
93 fznn0sub 12988 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...𝑃) → (𝑃𝑖) ∈ ℕ0)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃𝑖) ∈ ℕ0)
956adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑋𝐵)
9685, 94, 95, 51syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑃𝑖) 𝑋) ∈ 𝐵)
97 elfznn 12985 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
9897nnnn0d 11994 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9998adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
1007adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑌𝐵)
10185, 99, 100, 56syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑖 𝑌) ∈ 𝐵)
10282, 96, 101, 58syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵)
103 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1043, 8, 10, 103dvdschrmulg 31009 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖) ∧ (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = (0g𝑅))
10582, 84, 102, 104syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = (0g𝑅))
106105mpteq2dva 5127 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g𝑅)))
107106oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g𝑅))))
108 ringmnd 19375 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
10939, 108syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
110 ovex 7183 . . . . . . . 8 (1...(𝑃 − 1)) ∈ V
111103gsumz 18066 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (1...(𝑃 − 1)) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
112109, 110, 111sylancl 589 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
113107, 112eqtrd 2793 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (0g𝑅))
114 0nn0 11949 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
115114a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
11650, 13mulgnn0cl 18311 . . . . . . . 8 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑃 𝑋) ∈ 𝐵)
11742, 5, 6, 116syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 𝑋) ∈ 𝐵)
118 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
119118oveq2d 7166 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑃C𝑖) = (𝑃C0))
120118oveq2d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑃𝑖) = (𝑃 − 0))
121120oveq1d 7165 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑃𝑖) 𝑋) = ((𝑃 − 0) 𝑋))
122118oveq1d 7165 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑖 𝑌) = (0 𝑌))
123121, 122oveq12d 7168 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = 0) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) = (((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌)))
124119, 123oveq12d 7168 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = ((𝑃C0)(.g𝑅)(((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌))))
125 bcn0 13720 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃C0) = 1)
1265, 125syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃C0) = 1)
12716subid1d 11024 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 − 0) = 𝑃)
128127oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 − 0) 𝑋) = (𝑃 𝑋))
129 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝑅) = (1r𝑅)
13012, 129ringidval 19321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
13150, 130, 13mulg0 18298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝐵 → (0 𝑌) = (1r𝑅))
1327, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 𝑌) = (1r𝑅))
133128, 132oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌)) = ((𝑃 𝑋)(.r𝑅)(1r𝑅)))
1348, 9, 129ringridm 19393 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑃 𝑋)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑃 𝑋))
13539, 117, 134syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃 𝑋)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑃 𝑋))
136133, 135eqtrd 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌)) = (𝑃 𝑋))
137126, 136oveq12d 7168 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃C0)(.g𝑅)(((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌))) = (1(.g𝑅)(𝑃 𝑋)))
1388, 10mulg1 18302 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 𝑋) ∈ 𝐵 → (1(.g𝑅)(𝑃 𝑋)) = (𝑃 𝑋))
139117, 138syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1(.g𝑅)(𝑃 𝑋)) = (𝑃 𝑋))
140137, 139eqtrd 2793 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃C0)(.g𝑅)(((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌))) = (𝑃 𝑋))
141140adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑃C0)(.g𝑅)(((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌))) = (𝑃 𝑋))
142124, 141eqtrd 2793 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = (𝑃 𝑋))
1438, 109, 115, 117, 142gsumsnd 19140 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (𝑃 𝑋))
144113, 143oveq12d 7168 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))))) = ((0g𝑅) + (𝑃 𝑋)))
1458, 11, 103grplid 18200 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑃 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g𝑅) + (𝑃 𝑋)) = (𝑃 𝑋))
14630, 117, 145syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑅) + (𝑃 𝑋)) = (𝑃 𝑋))
14781, 144, 1463eqtrd 2797 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (𝑃 𝑋))
14818, 5eqeltrd 2852 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) ∈ ℕ0)
14950, 13mulgnn0cl 18311 . . . . . 6 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑃 ∈ ℕ0𝑌𝐵) → (𝑃 𝑌) ∈ 𝐵)
15042, 5, 7, 149syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 𝑌) ∈ 𝐵)
151 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1))
15218adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
153151, 152eqtrd 2793 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 = 𝑃)
154153oveq2d 7166 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑃C𝑖) = (𝑃C𝑃))
155153oveq2d 7166 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑃))
156155oveq1d 7165 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃𝑖) 𝑋) = ((𝑃𝑃) 𝑋))
157153oveq1d 7165 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑖 𝑌) = (𝑃 𝑌))
158156, 157oveq12d 7168 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) = (((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)))
159154, 158oveq12d 7168 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = ((𝑃C𝑃)(.g𝑅)(((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌))))
160 bcnn 13722 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃C𝑃) = 1)
1615, 160syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃C𝑃) = 1)
16216subidd 11023 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃𝑃) = 0)
163162oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃𝑃) 𝑋) = (0 𝑋))
16450, 130, 13mulg0 18298 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐵 → (0 𝑋) = (1r𝑅))
1656, 164syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 𝑋) = (1r𝑅))
166163, 165eqtrd 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃𝑃) 𝑋) = (1r𝑅))
167166oveq1d 7165 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)))
1688, 9, 129ringlidm 19392 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)) = (𝑃 𝑌))
16939, 150, 168syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)) = (𝑃 𝑌))
170167, 169eqtrd 2793 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)) = (𝑃 𝑌))
171161, 170oveq12d 7168 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃C𝑃)(.g𝑅)(((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌))) = (1(.g𝑅)(𝑃 𝑌)))
1728, 10mulg1 18302 . . . . . . . . 9 ((𝑃 𝑌) ∈ 𝐵 → (1(.g𝑅)(𝑃 𝑌)) = (𝑃 𝑌))
173150, 172syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1(.g𝑅)(𝑃 𝑌)) = (𝑃 𝑌))
174171, 173eqtrd 2793 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃C𝑃)(.g𝑅)(((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌))) = (𝑃 𝑌))
175174adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑃)(.g𝑅)(((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌))) = (𝑃 𝑌))
176159, 175eqtrd 2793 . . . . 5 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = (𝑃 𝑌))
1778, 109, 148, 150, 176gsumsnd 19140 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (𝑃 𝑌))
178147, 177oveq12d 7168 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))))) = ((𝑃 𝑋) + (𝑃 𝑌)))
17962, 178eqtrd 2793 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = ((𝑃 𝑋) + (𝑃 𝑌)))
18015, 22, 1793eqtrd 2797 1 (𝜑 → (𝑃 (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑃 𝑋) + (𝑃 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858  {csn 4522   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   − cmin 10908  ℕcn 11674  ℕ0cn0 11934  ℤcz 12020  ℤ≥cuz 12282  ...cfz 12939  Ccbc 13712   ∥ cdvds 15655  ℙcprime 16067  Basecbs 16541  +gcplusg 16623  .rcmulr 16624  0gc0g 16771   Σg cgsu 16772  Mndcmnd 17977  Grpcgrp 18169  .gcmg 18291  CMndccmn 18973  mulGrpcmgp 19307  1rcur 19319  Ringcrg 19365  CRingccrg 19366  chrcchr 20271 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-mod 13287  df-seq 13419  df-exp 13480  df-fac 13684  df-bc 13713  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-dvds 15656  df-gcd 15894  df-prm 16068  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mulg 18292  df-cntz 18514  df-od 18723  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-srg 19324  df-ring 19367  df-cring 19368  df-chr 20275 This theorem is referenced by:  frobrhm  31011  ply1fermltl  31191
 Copyright terms: Public domain W3C validator