Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  freshmansdream Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem freshmansdream 32652
Description: For a prime number 𝑃, if 𝑋 and π‘Œ are members of a commutative ring 𝑅 of characteristic 𝑃, then ((𝑋 + π‘Œ)↑𝑃) = ((𝑋↑𝑃) + (π‘Œβ†‘π‘ƒ)). This theorem is sometimes referred to as "the freshman's dream" . (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
freshmansdream.s 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
freshmansdream.a + = (+gβ€˜π‘…)
freshmansdream.p ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
freshmansdream.c 𝑃 = (chrβ€˜π‘…)
freshmansdream.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
freshmansdream.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
freshmansdream.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
freshmansdream.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
freshmansdream (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ (𝑋 + π‘Œ)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + (𝑃 ↑ π‘Œ)))

Proof of Theorem freshmansdream
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 freshmansdream.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
2 crngring 20140 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 freshmansdream.c . . . . 5 𝑃 = (chrβ€˜π‘…)
43chrcl 21298 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
51, 2, 43syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
6 freshmansdream.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 freshmansdream.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
8 freshmansdream.s . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
9 eqid 2731 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
10 eqid 2731 . . . 4 (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜π‘…)
11 freshmansdream.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘…)
12 eqid 2731 . . . 4 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
13 freshmansdream.p . . . 4 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
148, 9, 10, 11, 12, 13crngbinom 20224 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ β„•0) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ↑ (𝑋 + π‘Œ)) = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))))))
151, 5, 6, 7, 14syl22anc 836 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ (𝑋 + π‘Œ)) = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))))))
165nn0cnd 12539 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„‚)
17 1cnd 11214 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
1816, 17npcand 11580 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) + 1) = 𝑃)
1918oveq2d 7428 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) = (0...𝑃))
2019eqcomd 2737 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0...𝑃) = (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1)))
2120mpteq1d 5243 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ)))) = (𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ)))))
2221oveq2d 7428 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))))))
23 ringcmn 20171 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
241, 2, 233syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
25 freshmansdream.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
26 prmnn 16616 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
27 nnm1nn0 12518 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
2825, 26, 273syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
29 ringgrp 20133 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
301, 2, 293syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
3130adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
325adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
33 fzssz 13508 . . . . . . . . 9 (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) βŠ† β„€
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) βŠ† β„€)
3534sselda 3982 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
36 bccl 14287 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ β„€) β†’ (𝑃C𝑖) ∈ β„•0)
3732, 35, 36syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ (𝑃C𝑖) ∈ β„•0)
3837nn0zd 12589 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ (𝑃C𝑖) ∈ β„€)
391, 2syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4039adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4112, 8mgpbas 20035 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
4212ringmgp 20134 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
4339, 42syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
4443adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
45 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1)))
4619adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) = (0...𝑃))
4745, 46eleqtrd 2834 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑃))
48 fznn0sub 13538 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝑃) β†’ (𝑃 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0)
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ (𝑃 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0)
506adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5141, 13, 44, 49, 50mulgnn0cld 19012 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ ((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
52 elfznn0 13599 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
5352adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
547adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5541, 13, 44, 53, 54mulgnn0cld 19012 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ (𝑖 ↑ π‘Œ) ∈ 𝐡)
568, 9ringcl 20145 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝑖 ↑ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
5740, 51, 55, 56syl3anc 1370 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ (((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
588, 10mulgcl 19008 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑃C𝑖) ∈ β„€ ∧ (((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ)) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))) ∈ 𝐡)
5931, 38, 57, 58syl3anc 1370 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))) β†’ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))) ∈ 𝐡)
608, 11, 24, 28, 59gsummptfzsplit 19842 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))))) + (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ {((𝑃 βˆ’ 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ)))))))
6130adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
62 elfzelz 13506 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
635, 62, 36syl2an 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (𝑃C𝑖) ∈ β„•0)
6463nn0zd 12589 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (𝑃C𝑖) ∈ β„€)
6539adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6665, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
67 fzssp1 13549 . . . . . . . . . . . 12 (0...(𝑃 βˆ’ 1)) βŠ† (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1))
6867, 19sseqtrid 4034 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) βŠ† (0...𝑃))
6968sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑃))
7069, 48syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (𝑃 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0)
716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7241, 13, 66, 70, 71mulgnn0cld 19012 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
73 elfznn0 13599 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
7473adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
757adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7641, 13, 66, 74, 75mulgnn0cld 19012 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 ↑ π‘Œ) ∈ 𝐡)
7765, 72, 76, 56syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
7861, 64, 77, 58syl3anc 1370 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))) ∈ 𝐡)
798, 11, 24, 28, 78gsummptfzsplitl 19843 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))))) + (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ)))))))
8039adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
81 prmdvdsbc 32290 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 βˆ₯ (𝑃C𝑖))
8225, 81sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 βˆ₯ (𝑃C𝑖))
8380, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ Mnd)
845nn0zd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
85 1nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ β„•0
86 eluzmn 12834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„•0) β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
8784, 85, 86sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
88 fzss2 13546 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) βŠ† (1...𝑃))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) βŠ† (1...𝑃))
9089sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (1...𝑃))
91 fznn0sub 13538 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...𝑃) β†’ (𝑃 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (𝑃 βˆ’ 𝑖) ∈ β„•0)
936adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
9441, 13, 83, 92, 93mulgnn0cld 19012 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
95 elfznn 13535 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
9695nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
9796adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
987adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9941, 13, 83, 97, 98mulgnn0cld 19012 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 ↑ π‘Œ) ∈ 𝐡)
10080, 94, 99, 56syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
101 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
1023, 8, 10, 101dvdschrmulg 32651 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 βˆ₯ (𝑃C𝑖) ∧ (((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ)) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))) = (0gβ€˜π‘…))
10380, 82, 100, 102syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))) = (0gβ€˜π‘…))
104103mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ↦ (0gβ€˜π‘…)))
105104oveq2d 7428 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ↦ (0gβ€˜π‘…))))
106 ringmnd 20138 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
10739, 106syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
108 ovex 7445 . . . . . . . 8 (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ V
109101gsumz 18754 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ V) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ↦ (0gβ€˜π‘…))) = (0gβ€˜π‘…))
110107, 108, 109sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ↦ (0gβ€˜π‘…))) = (0gβ€˜π‘…))
111105, 110eqtrd 2771 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))))) = (0gβ€˜π‘…))
112 0nn0 12492 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
113112a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
11441, 13, 43, 5, 6mulgnn0cld 19012 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
115 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ 𝑖 = 0)
116115oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (𝑃C𝑖) = (𝑃C0))
117115oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (𝑃 βˆ’ 𝑖) = (𝑃 βˆ’ 0))
118117oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋) = ((𝑃 βˆ’ 0) ↑ 𝑋))
119115oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (𝑖 ↑ π‘Œ) = (0 ↑ π‘Œ))
120118, 119oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ)) = (((𝑃 βˆ’ 0) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(0 ↑ π‘Œ)))
121116, 120oveq12d 7430 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))) = ((𝑃C0)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 0) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(0 ↑ π‘Œ))))
122 bcn0 14275 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ β„•0 β†’ (𝑃C0) = 1)
1235, 122syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑃C0) = 1)
12416subid1d 11565 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 0) = 𝑃)
125124oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 0) ↑ 𝑋) = (𝑃 ↑ 𝑋))
126 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
12712, 126ringidval 20078 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
12841, 127, 13mulg0 18994 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ (0 ↑ π‘Œ) = (1rβ€˜π‘…))
1297, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (0 ↑ π‘Œ) = (1rβ€˜π‘…))
130125, 129oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 0) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(0 ↑ π‘Œ)) = ((𝑃 ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
1318, 9, 126ringridm 20159 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ↑ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
13239, 114, 131syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
133130, 132eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 0) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(0 ↑ π‘Œ)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
134123, 133oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑃C0)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 0) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(0 ↑ π‘Œ))) = (1(.gβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ 𝑋)))
1358, 10mulg1 18998 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ↑ 𝑋) ∈ 𝐡 β†’ (1(.gβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ 𝑋)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
136114, 135syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1(.gβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ 𝑋)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
137134, 136eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑃C0)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 0) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(0 ↑ π‘Œ))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
138137adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((𝑃C0)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 0) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(0 ↑ π‘Œ))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
139121, 138eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
1408, 107, 113, 114, 139gsumsnd 19862 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
141111, 140oveq12d 7430 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))))) + (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ)))))) = ((0gβ€˜π‘…) + (𝑃 ↑ 𝑋)))
1428, 11, 101grplid 18889 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑃 ↑ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘…) + (𝑃 ↑ 𝑋)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
14330, 114, 142syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜π‘…) + (𝑃 ↑ 𝑋)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
14479, 141, 1433eqtrd 2775 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
14518, 5eqeltrd 2832 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) + 1) ∈ β„•0)
14641, 13, 43, 5, 7mulgnn0cld 19012 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ π‘Œ) ∈ 𝐡)
147 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) β†’ 𝑖 = ((𝑃 βˆ’ 1) + 1))
14818adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) + 1) = 𝑃)
149147, 148eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) β†’ 𝑖 = 𝑃)
150149oveq2d 7428 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) β†’ (𝑃C𝑖) = (𝑃C𝑃))
151149oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) β†’ (𝑃 βˆ’ 𝑖) = (𝑃 βˆ’ 𝑃))
152151oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) β†’ ((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋) = ((𝑃 βˆ’ 𝑃) ↑ 𝑋))
153149oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) β†’ (𝑖 ↑ π‘Œ) = (𝑃 ↑ π‘Œ))
154152, 153oveq12d 7430 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) β†’ (((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ)) = (((𝑃 βˆ’ 𝑃) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ π‘Œ)))
155150, 154oveq12d 7430 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) β†’ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))) = ((𝑃C𝑃)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑃) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ π‘Œ))))
156 bcnn 14277 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„•0 β†’ (𝑃C𝑃) = 1)
1575, 156syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑃C𝑃) = 1)
15816subidd 11564 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑃 βˆ’ 𝑃) = 0)
159158oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 𝑃) ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
16041, 127, 13mulg0 18994 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (0 ↑ 𝑋) = (1rβ€˜π‘…))
1616, 160syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0 ↑ 𝑋) = (1rβ€˜π‘…))
162159, 161eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 𝑃) ↑ 𝑋) = (1rβ€˜π‘…))
163162oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 𝑃) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ π‘Œ)) = ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ π‘Œ)))
1648, 9, 126ringlidm 20158 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ↑ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ π‘Œ)) = (𝑃 ↑ π‘Œ))
16539, 146, 164syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ π‘Œ)) = (𝑃 ↑ π‘Œ))
166163, 165eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 𝑃) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ π‘Œ)) = (𝑃 ↑ π‘Œ))
167157, 166oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑃C𝑃)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑃) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ π‘Œ))) = (1(.gβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ π‘Œ)))
1688, 10mulg1 18998 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ↑ π‘Œ) ∈ 𝐡 β†’ (1(.gβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ π‘Œ)) = (𝑃 ↑ π‘Œ))
169146, 168syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1(.gβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ π‘Œ)) = (𝑃 ↑ π‘Œ))
170167, 169eqtrd 2771 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃C𝑃)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑃) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ π‘Œ))) = (𝑃 ↑ π‘Œ))
171170adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) β†’ ((𝑃C𝑃)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑃) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑃 ↑ π‘Œ))) = (𝑃 ↑ π‘Œ))
172155, 171eqtrd 2771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = ((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) β†’ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))) = (𝑃 ↑ π‘Œ))
1738, 107, 145, 146, 172gsumsnd 19862 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ {((𝑃 βˆ’ 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))))) = (𝑃 ↑ π‘Œ))
174144, 173oveq12d 7430 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...(𝑃 βˆ’ 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))))) + (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ {((𝑃 βˆ’ 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ)))))) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + (𝑃 ↑ π‘Œ)))
17560, 174eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...((𝑃 βˆ’ 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.gβ€˜π‘…)(((𝑃 βˆ’ 𝑖) ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘…)(𝑖 ↑ π‘Œ))))) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + (𝑃 ↑ π‘Œ)))
17615, 22, 1753eqtrd 2775 1 (πœ‘ β†’ (𝑃 ↑ (𝑋 + π‘Œ)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + (𝑃 ↑ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  Ccbc 14267   βˆ₯ cdvds 16202  β„™cprime 16613  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  0gc0g 17390   Ξ£g cgsu 17391  Mndcmnd 18660  Grpcgrp 18856  .gcmg 18987  CMndccmn 19690  mulGrpcmgp 20029  1rcur 20076  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129  chrcchr 21271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-od 19438  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-chr 21275
This theorem is referenced by:  frobrhm  32653  ply1fermltlchr  32937
  Copyright terms: Public domain W3C validator