MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  freshmansdream Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem freshmansdream 21611
Description: For a prime number 𝑃, if 𝑋 and 𝑌 are members of a commutative ring 𝑅 of characteristic 𝑃, then ((𝑋 + 𝑌)↑𝑃) = ((𝑋𝑃) + (𝑌𝑃)). This theorem is sometimes referred to as "the freshman's dream" . (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
freshmansdream.s 𝐵 = (Base‘𝑅)
freshmansdream.a + = (+g𝑅)
freshmansdream.p = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
freshmansdream.c 𝑃 = (chr‘𝑅)
freshmansdream.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
freshmansdream.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
freshmansdream.x (𝜑𝑋𝐵)
freshmansdream.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
freshmansdream (𝜑 → (𝑃 (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑃 𝑋) + (𝑃 𝑌)))

Proof of Theorem freshmansdream
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 freshmansdream.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 crngring 20263 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3 freshmansdream.c . . . . 5 𝑃 = (chr‘𝑅)
43chrcl 21557 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ ℕ0)
51, 2, 43syl 18 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
6 freshmansdream.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
7 freshmansdream.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
8 freshmansdream.s . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 eqid 2735 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
10 eqid 2735 . . . 4 (.g𝑅) = (.g𝑅)
11 freshmansdream.a . . . 4 + = (+g𝑅)
12 eqid 2735 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
13 freshmansdream.p . . . 4 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
148, 9, 10, 11, 12, 13crngbinom 20349 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑃 (𝑋 + 𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))))
151, 5, 6, 7, 14syl22anc 839 . 2 (𝜑 → (𝑃 (𝑋 + 𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))))
165nn0cnd 12587 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
17 1cnd 11254 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1816, 17npcand 11622 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
1918oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (0...((𝑃 − 1) + 1)) = (0...𝑃))
2019eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑 → (0...𝑃) = (0...((𝑃 − 1) + 1)))
2120mpteq1d 5243 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))) = (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))))
2221oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))))
23 ringcmn 20296 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
241, 2, 233syl 18 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
25 freshmansdream.1 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
26 prmnn 16708 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
27 nnm1nn0 12565 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2825, 26, 273syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
29 ringgrp 20256 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
301, 2, 293syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
3130adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑅 ∈ Grp)
325adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
33 fzssz 13563 . . . . . . . . 9 (0...((𝑃 − 1) + 1)) ⊆ ℤ
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...((𝑃 − 1) + 1)) ⊆ ℤ)
3534sselda 3995 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
36 bccl 14358 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℤ) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
3732, 35, 36syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
3837nn0zd 12637 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℤ)
391, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4039adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
4112, 8mgpbas 20158 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4212ringmgp 20257 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4339, 42syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4443adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
45 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)))
4619adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (0...((𝑃 − 1) + 1)) = (0...𝑃))
4745, 46eleqtrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑃))
48 fznn0sub 13593 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝑃) → (𝑃𝑖) ∈ ℕ0)
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃𝑖) ∈ ℕ0)
506adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑋𝐵)
5141, 13, 44, 49, 50mulgnn0cld 19126 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → ((𝑃𝑖) 𝑋) ∈ 𝐵)
52 elfznn0 13657 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
5352adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
547adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑌𝐵)
5541, 13, 44, 53, 54mulgnn0cld 19126 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑖 𝑌) ∈ 𝐵)
568, 9ringcl 20268 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑃𝑖) 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖 𝑌) ∈ 𝐵) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵)
5740, 51, 55, 56syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵)
588, 10mulgcl 19122 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑃C𝑖) ∈ ℤ ∧ (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) ∈ 𝐵)
5931, 38, 57, 58syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) ∈ 𝐵)
608, 11, 24, 28, 59gsummptfzsplit 19965 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))))))
6130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Grp)
62 elfzelz 13561 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
635, 62, 36syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
6463nn0zd 12637 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℤ)
6539adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
6665, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
67 fzssp1 13604 . . . . . . . . . . . 12 (0...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...((𝑃 − 1) + 1))
6867, 19sseqtrid 4048 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...𝑃))
6968sselda 3995 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑃))
7069, 48syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃𝑖) ∈ ℕ0)
716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑋𝐵)
7241, 13, 66, 70, 71mulgnn0cld 19126 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → ((𝑃𝑖) 𝑋) ∈ 𝐵)
73 elfznn0 13657 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
7473adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
757adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑌𝐵)
7641, 13, 66, 74, 75mulgnn0cld 19126 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑖 𝑌) ∈ 𝐵)
7765, 72, 76, 56syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵)
7861, 64, 77, 58syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) ∈ 𝐵)
798, 11, 24, 28, 78gsummptfzsplitl 19966 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))))))
8039adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
81 prmdvdsbc 16760 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖))
8225, 81sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖))
8380, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
845nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
85 1nn0 12540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
86 eluzmn 12883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)))
8784, 85, 86sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)))
88 fzss2 13601 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)) → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
9089sselda 3995 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ (1...𝑃))
91 fznn0sub 13593 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...𝑃) → (𝑃𝑖) ∈ ℕ0)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃𝑖) ∈ ℕ0)
936adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑋𝐵)
9441, 13, 83, 92, 93mulgnn0cld 19126 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑃𝑖) 𝑋) ∈ 𝐵)
95 elfznn 13590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
9695nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9796adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
987adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑌𝐵)
9941, 13, 83, 97, 98mulgnn0cld 19126 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑖 𝑌) ∈ 𝐵)
10080, 94, 99, 56syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵)
101 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1023, 8, 10, 101dvdschrmulg 21561 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖) ∧ (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = (0g𝑅))
10380, 82, 100, 102syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = (0g𝑅))
104103mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g𝑅)))
105104oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g𝑅))))
106 ringmnd 20261 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
10739, 106syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
108 ovex 7464 . . . . . . . 8 (1...(𝑃 − 1)) ∈ V
109101gsumz 18862 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (1...(𝑃 − 1)) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
110107, 108, 109sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
111105, 110eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (0g𝑅))
112 0nn0 12539 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
113112a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
11441, 13, 43, 5, 6mulgnn0cld 19126 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 𝑋) ∈ 𝐵)
115 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
116115oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑃C𝑖) = (𝑃C0))
117115oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑃𝑖) = (𝑃 − 0))
118117oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑃𝑖) 𝑋) = ((𝑃 − 0) 𝑋))
119115oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑖 𝑌) = (0 𝑌))
120118, 119oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = 0) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) = (((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌)))
121116, 120oveq12d 7449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = ((𝑃C0)(.g𝑅)(((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌))))
122 bcn0 14346 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃C0) = 1)
1235, 122syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃C0) = 1)
12416subid1d 11607 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 − 0) = 𝑃)
125124oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 − 0) 𝑋) = (𝑃 𝑋))
126 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝑅) = (1r𝑅)
12712, 126ringidval 20201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
12841, 127, 13mulg0 19105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝐵 → (0 𝑌) = (1r𝑅))
1297, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 𝑌) = (1r𝑅))
130125, 129oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌)) = ((𝑃 𝑋)(.r𝑅)(1r𝑅)))
1318, 9, 126ringridm 20284 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑃 𝑋)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑃 𝑋))
13239, 114, 131syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃 𝑋)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑃 𝑋))
133130, 132eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌)) = (𝑃 𝑋))
134123, 133oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃C0)(.g𝑅)(((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌))) = (1(.g𝑅)(𝑃 𝑋)))
1358, 10mulg1 19112 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 𝑋) ∈ 𝐵 → (1(.g𝑅)(𝑃 𝑋)) = (𝑃 𝑋))
136114, 135syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1(.g𝑅)(𝑃 𝑋)) = (𝑃 𝑋))
137134, 136eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃C0)(.g𝑅)(((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌))) = (𝑃 𝑋))
138137adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑃C0)(.g𝑅)(((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌))) = (𝑃 𝑋))
139121, 138eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = (𝑃 𝑋))
1408, 107, 113, 114, 139gsumsnd 19985 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (𝑃 𝑋))
141111, 140oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))))) = ((0g𝑅) + (𝑃 𝑋)))
1428, 11, 101grplid 18998 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑃 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g𝑅) + (𝑃 𝑋)) = (𝑃 𝑋))
14330, 114, 142syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑅) + (𝑃 𝑋)) = (𝑃 𝑋))
14479, 141, 1433eqtrd 2779 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (𝑃 𝑋))
14518, 5eqeltrd 2839 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) ∈ ℕ0)
14641, 13, 43, 5, 7mulgnn0cld 19126 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 𝑌) ∈ 𝐵)
147 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1))
14818adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
149147, 148eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 = 𝑃)
150149oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑃C𝑖) = (𝑃C𝑃))
151149oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑃))
152151oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃𝑖) 𝑋) = ((𝑃𝑃) 𝑋))
153149oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑖 𝑌) = (𝑃 𝑌))
154152, 153oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) = (((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)))
155150, 154oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = ((𝑃C𝑃)(.g𝑅)(((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌))))
156 bcnn 14348 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃C𝑃) = 1)
1575, 156syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃C𝑃) = 1)
15816subidd 11606 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃𝑃) = 0)
159158oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃𝑃) 𝑋) = (0 𝑋))
16041, 127, 13mulg0 19105 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐵 → (0 𝑋) = (1r𝑅))
1616, 160syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 𝑋) = (1r𝑅))
162159, 161eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃𝑃) 𝑋) = (1r𝑅))
163162oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)))
1648, 9, 126ringlidm 20283 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)) = (𝑃 𝑌))
16539, 146, 164syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)) = (𝑃 𝑌))
166163, 165eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)) = (𝑃 𝑌))
167157, 166oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃C𝑃)(.g𝑅)(((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌))) = (1(.g𝑅)(𝑃 𝑌)))
1688, 10mulg1 19112 . . . . . . . . 9 ((𝑃 𝑌) ∈ 𝐵 → (1(.g𝑅)(𝑃 𝑌)) = (𝑃 𝑌))
169146, 168syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1(.g𝑅)(𝑃 𝑌)) = (𝑃 𝑌))
170167, 169eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃C𝑃)(.g𝑅)(((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌))) = (𝑃 𝑌))
171170adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑃)(.g𝑅)(((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌))) = (𝑃 𝑌))
172155, 171eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = (𝑃 𝑌))
1738, 107, 145, 146, 172gsumsnd 19985 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (𝑃 𝑌))
174144, 173oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))))) = ((𝑃 𝑋) + (𝑃 𝑌)))
17560, 174eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = ((𝑃 𝑋) + (𝑃 𝑌)))
17615, 22, 1753eqtrd 2779 1 (𝜑 → (𝑃 (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑃 𝑋) + (𝑃 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  Ccbc 14338  cdvds 16287  cprime 16705  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  Grpcgrp 18964  .gcmg 19098  CMndccmn 19813  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  chrcchr 21530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-od 19561  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-chr 21534
This theorem is referenced by:  frobrhm  21612  ply1fermltlchr  22332
  Copyright terms: Public domain W3C validator