Theorem freshmansdream 32067

Description: For a prime number 𝑃, if 𝑋 and 𝑌 are members of a commutative ring 𝑅 of characteristic 𝑃, then ((𝑋 + 𝑌)↑𝑃) = ((𝑋↑𝑃) + (𝑌↑𝑃)). This theorem is sometimes referred to as "the freshman's dream" . (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
freshmansdream.s	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
freshmansdream.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
freshmansdream.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
freshmansdream.c	⊢ 𝑃 = (chr‘𝑅)
freshmansdream.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
freshmansdream.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
freshmansdream.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
freshmansdream.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
freshmansdream	⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + (𝑃 ↑ 𝑌)))

Proof of Theorem freshmansdream

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		freshmansdream.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 19976	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3		freshmansdream.c	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝑅)
4	3	chrcl 20929	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ ℕ0)
5	1, 2, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
6		freshmansdream.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		freshmansdream.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		freshmansdream.s	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
11		freshmansdream.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
13		freshmansdream.p	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	crngbinom 20047	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))))
15	1, 5, 6, 7, 14	syl22anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))))
16	5	nn0cnd 12475	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
17		1cnd 11150	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18	16, 17	npcand 11516	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
19	18	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑃 − 1) + 1)) = (0...𝑃))
20	19	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑃) = (0...((𝑃 − 1) + 1)))
21	20	mpteq1d 5200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))) = (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))))
22	21	oveq2d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))))
23		ringcmn 20003	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
24	1, 2, 23	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
25		freshmansdream.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
26		prmnn 16550	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
27		nnm1nn0 12454	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
28	25, 26, 27	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
29		ringgrp 19969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
30	1, 2, 29	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
31	30	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑅 ∈ Grp)
32	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
33		fzssz 13443	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ⊆ ℤ
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑃 − 1) + 1)) ⊆ ℤ)
35	34	sselda 3944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
36		bccl 14222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
37	32, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
38	37	nn0zd 12525	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℤ)
39	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
40	39	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
41	12, 8	mgpbas 19902	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
42	12	ringmgp 19970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
43	39, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
44	43	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
45		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)))
46	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (0...((𝑃 − 1) + 1)) = (0...𝑃))
47	45, 46	eleqtrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑃))
48		fznn0sub 13473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑃) → (𝑃 − 𝑖) ∈ ℕ0)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃 − 𝑖) ∈ ℕ0)
50	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
51	41, 13, 44, 49, 50	mulgnn0cld 18897	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
52		elfznn0 13534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
53	52	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
54	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
55	41, 13, 44, 53, 54	mulgnn0cld 18897	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑖 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵)
56	8, 9	ringcl 19981	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵)
57	40, 51, 55, 56	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵)
58	8, 10	mulgcl 18893	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑃C𝑖) ∈ ℤ ∧ (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) ∈ 𝐵)
59	31, 38, 57, 58	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) ∈ 𝐵)
60	8, 11, 24, 28, 59	gsummptfzsplit 19709	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))))))
61	30	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Grp)
62		elfzelz 13441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
63	5, 62, 36	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
64	63	nn0zd 12525	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℤ)
65	39	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
66	65, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
67		fzssp1 13484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...((𝑃 − 1) + 1))
68	67, 19	sseqtrid 3996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...𝑃))
69	68	sselda 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑃))
70	69, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃 − 𝑖) ∈ ℕ0)
71	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
72	41, 13, 66, 70, 71	mulgnn0cld 18897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
73		elfznn0 13534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
74	73	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
75	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
76	41, 13, 66, 74, 75	mulgnn0cld 18897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑖 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵)
77	65, 72, 76, 56	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵)
78	61, 64, 77, 58	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) ∈ 𝐵)
79	8, 11, 24, 28, 78	gsummptfzsplitl 19710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))))))
80	39	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
81		prmdvdsbc 31712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖))
82	25, 81	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖))
83	80, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
84	5	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
85		1nn0 12429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ0
86		eluzmn 12770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 − 1)))
87	84, 85, 86	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 − 1)))
88		fzss2 13481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 − 1)) → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
90	89	sselda 3944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ (1...𝑃))
91		fznn0sub 13473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑃) → (𝑃 − 𝑖) ∈ ℕ0)
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃 − 𝑖) ∈ ℕ0)
93	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
94	41, 13, 83, 92, 93	mulgnn0cld 18897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
95		elfznn 13470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
96	95	nnnn0d 12473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
97	96	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
98	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
99	41, 13, 83, 97, 98	mulgnn0cld 18897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑖 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵)
100	80, 94, 99, 56	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵)
101		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
102	3, 8, 10, 101	dvdschrmulg 32066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖) ∧ (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = (0g‘𝑅))
103	80, 82, 100, 102	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = (0g‘𝑅))
104	103	mpteq2dva 5205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g‘𝑅)))
105	104	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g‘𝑅))))
106		ringmnd 19974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
107	39, 106	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
108		ovex 7390	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ∈ V
109	101	gsumz 18646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (1...(𝑃 − 1)) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
110	107, 108, 109	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
111	105, 110	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (0g‘𝑅))
112		0nn0 12428	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
113	112	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
114	41, 13, 43, 5, 6	mulgnn0cld 18897	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
115		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
116	115	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑃C𝑖) = (𝑃C0))
117	115	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑃 − 𝑖) = (𝑃 − 0))
118	117	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) = ((𝑃 − 0) ↑ 𝑋))
119	115	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 ↑ 𝑌) = (0 ↑ 𝑌))
120	118, 119	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) = (((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌)))
121	116, 120	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = ((𝑃C0)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌))))
122		bcn0 14210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃C0) = 1)
123	5, 122	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃C0) = 1)
124	16	subid1d 11501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 0) = 𝑃)
125	124	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 0) ↑ 𝑋) = (𝑃 ↑ 𝑋))
126		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
127	12, 126	ringidval 19915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
128	41, 127, 13	mulg0 18879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑌) = (1r‘𝑅))
129	7, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑌) = (1r‘𝑅))
130	125, 129	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌)) = ((𝑃 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
131	8, 9, 126	ringridm 19993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑃 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
132	39, 114, 131	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
133	130, 132	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
134	123, 133	oveq12d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃C0)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌))) = (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑋)))
135	8, 10	mulg1 18883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 → (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑋)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
136	114, 135	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑋)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
137	134, 136	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃C0)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
138	137	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑃C0)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
139	121, 138	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
140	8, 107, 113, 114, 139	gsumsnd 19729	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
141	111, 140	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))))) = ((0g‘𝑅) + (𝑃 ↑ 𝑋)))
142	8, 11, 101	grplid 18780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑃 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) + (𝑃 ↑ 𝑋)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
143	30, 114, 142	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) + (𝑃 ↑ 𝑋)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
144	79, 141, 143	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
145	18, 5	eqeltrd 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) ∈ ℕ0)
146	41, 13, 43, 5, 7	mulgnn0cld 18897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵)
147		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1))
148	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
149	147, 148	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 = 𝑃)
150	149	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑃C𝑖) = (𝑃C𝑃))
151	149	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑃 − 𝑖) = (𝑃 − 𝑃))
152	151	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) = ((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋))
153	149	oveq1d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑖 ↑ 𝑌) = (𝑃 ↑ 𝑌))
154	152, 153	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) = (((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)))
155	150, 154	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = ((𝑃C𝑃)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌))))
156		bcnn 14212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃C𝑃) = 1)
157	5, 156	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃C𝑃) = 1)
158	16	subidd 11500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 𝑃) = 0)
159	158	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
160	41, 127, 13	mulg0 18879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
161	6, 160	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
162	159, 161	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
163	162	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)))
164	8, 9, 126	ringlidm 19992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑌))
165	39, 146, 164	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑌))
166	163, 165	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑌))
167	157, 166	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃C𝑃)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌))) = (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)))
168	8, 10	mulg1 18883	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵 → (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑌))
169	146, 168	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑌))
170	167, 169	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃C𝑃)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑌))
171	170	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑃)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑌))
172	155, 171	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑌))
173	8, 107, 145, 146, 172	gsumsnd 19729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (𝑃 ↑ 𝑌))
174	144, 173	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))))) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + (𝑃 ↑ 𝑌)))
175	60, 174	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + (𝑃 ↑ 𝑌)))
176	15, 22, 175	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + (𝑃 ↑ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13424  Ccbc 14202   ∥ cdvds 16136  ℙcprime 16547  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  0_gc0g 17321   Σ_g cgsu 17322  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  ._gcmg 18872  CMndccmn 19562  mulGrpcmgp 19896  1_rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  chrcchr 20902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-od 19310  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-chr 20906

This theorem is referenced by:  frobrhm  32068  ply1fermltlchr  32283