Theorem freshmansdream 21540

Description: For a prime number 𝑃, if 𝑋 and 𝑌 are members of a commutative ring 𝑅 of characteristic 𝑃, then ((𝑋 + 𝑌)↑𝑃) = ((𝑋↑𝑃) + (𝑌↑𝑃)). This theorem is sometimes referred to as "the freshman's dream" . (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
freshmansdream.s	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
freshmansdream.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
freshmansdream.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
freshmansdream.c	⊢ 𝑃 = (chr‘𝑅)
freshmansdream.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
freshmansdream.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
freshmansdream.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
freshmansdream.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
freshmansdream	⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + (𝑃 ↑ 𝑌)))

Proof of Theorem freshmansdream

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		freshmansdream.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 20210	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3		freshmansdream.c	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝑅)
4	3	chrcl 21490	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ ℕ0)
5	1, 2, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
6		freshmansdream.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		freshmansdream.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		freshmansdream.s	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
11		freshmansdream.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
13		freshmansdream.p	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	crngbinom 20300	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))))
15	1, 5, 6, 7, 14	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))))
16	5	nn0cnd 12569	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
17		1cnd 11235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18	16, 17	npcand 11603	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
19	18	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑃 − 1) + 1)) = (0...𝑃))
20	19	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑃) = (0...((𝑃 − 1) + 1)))
21	20	mpteq1d 5215	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))) = (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))))
22	21	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))))
23		ringcmn 20247	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
24	1, 2, 23	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
25		freshmansdream.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
26		prmnn 16698	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
27		nnm1nn0 12547	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
28	25, 26, 27	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
29		ringgrp 20203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
30	1, 2, 29	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑅 ∈ Grp)
32	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
33		fzssz 13548	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ⊆ ℤ
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑃 − 1) + 1)) ⊆ ℤ)
35	34	sselda 3963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
36		bccl 14345	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
37	32, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
38	37	nn0zd 12619	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℤ)
39	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
41	12, 8	mgpbas 20110	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
42	12	ringmgp 20204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
43	39, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
45		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)))
46	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (0...((𝑃 − 1) + 1)) = (0...𝑃))
47	45, 46	eleqtrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑃))
48		fznn0sub 13578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑃) → (𝑃 − 𝑖) ∈ ℕ0)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃 − 𝑖) ∈ ℕ0)
50	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
51	41, 13, 44, 49, 50	mulgnn0cld 19083	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
52		elfznn0 13642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
53	52	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
54	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
55	41, 13, 44, 53, 54	mulgnn0cld 19083	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑖 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵)
56	8, 9	ringcl 20215	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵)
57	40, 51, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵)
58	8, 10	mulgcl 19079	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑃C𝑖) ∈ ℤ ∧ (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) ∈ 𝐵)
59	31, 38, 57, 58	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) ∈ 𝐵)
60	8, 11, 24, 28, 59	gsummptfzsplit 19918	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))))))
61	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Grp)
62		elfzelz 13546	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
63	5, 62, 36	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
64	63	nn0zd 12619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℤ)
65	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
66	65, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
67		fzssp1 13589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...((𝑃 − 1) + 1))
68	67, 19	sseqtrid 4006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...𝑃))
69	68	sselda 3963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑃))
70	69, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃 − 𝑖) ∈ ℕ0)
71	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
72	41, 13, 66, 70, 71	mulgnn0cld 19083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
73		elfznn0 13642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
75	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
76	41, 13, 66, 74, 75	mulgnn0cld 19083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑖 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵)
77	65, 72, 76, 56	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵)
78	61, 64, 77, 58	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) ∈ 𝐵)
79	8, 11, 24, 28, 78	gsummptfzsplitl 19919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))))))
80	39	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
81		prmdvdsbc 16750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖))
82	25, 81	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖))
83	80, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
84	5	nn0zd 12619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
85		1nn0 12522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ0
86		eluzmn 12864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 − 1)))
87	84, 85, 86	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 − 1)))
88		fzss2 13586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 − 1)) → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
90	89	sselda 3963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ (1...𝑃))
91		fznn0sub 13578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑃) → (𝑃 − 𝑖) ∈ ℕ0)
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃 − 𝑖) ∈ ℕ0)
93	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
94	41, 13, 83, 92, 93	mulgnn0cld 19083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
95		elfznn 13575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
96	95	nnnn0d 12567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
97	96	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
98	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
99	41, 13, 83, 97, 98	mulgnn0cld 19083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑖 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵)
100	80, 94, 99, 56	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵)
101		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
102	3, 8, 10, 101	dvdschrmulg 21494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖) ∧ (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = (0g‘𝑅))
103	80, 82, 100, 102	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = (0g‘𝑅))
104	103	mpteq2dva 5219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g‘𝑅)))
105	104	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g‘𝑅))))
106		ringmnd 20208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
107	39, 106	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
108		ovex 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ∈ V
109	101	gsumz 18819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (1...(𝑃 − 1)) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
110	107, 108, 109	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
111	105, 110	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (0g‘𝑅))
112		0nn0 12521	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
113	112	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
114	41, 13, 43, 5, 6	mulgnn0cld 19083	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
115		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
116	115	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑃C𝑖) = (𝑃C0))
117	115	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑃 − 𝑖) = (𝑃 − 0))
118	117	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) = ((𝑃 − 0) ↑ 𝑋))
119	115	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 ↑ 𝑌) = (0 ↑ 𝑌))
120	118, 119	oveq12d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) = (((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌)))
121	116, 120	oveq12d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = ((𝑃C0)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌))))
122		bcn0 14333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃C0) = 1)
123	5, 122	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃C0) = 1)
124	16	subid1d 11588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 0) = 𝑃)
125	124	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 0) ↑ 𝑋) = (𝑃 ↑ 𝑋))
126		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
127	12, 126	ringidval 20148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
128	41, 127, 13	mulg0 19062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑌) = (1r‘𝑅))
129	7, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑌) = (1r‘𝑅))
130	125, 129	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌)) = ((𝑃 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
131	8, 9, 126	ringridm 20235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑃 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
132	39, 114, 131	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
133	130, 132	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
134	123, 133	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃C0)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌))) = (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑋)))
135	8, 10	mulg1 19069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 → (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑋)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
136	114, 135	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑋)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
137	134, 136	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃C0)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
138	137	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑃C0)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
139	121, 138	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
140	8, 107, 113, 114, 139	gsumsnd 19938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
141	111, 140	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))))) = ((0g‘𝑅) + (𝑃 ↑ 𝑋)))
142	8, 11, 101	grplid 18955	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑃 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) + (𝑃 ↑ 𝑋)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
143	30, 114, 142	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) + (𝑃 ↑ 𝑋)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
144	79, 141, 143	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
145	18, 5	eqeltrd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) ∈ ℕ0)
146	41, 13, 43, 5, 7	mulgnn0cld 19083	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵)
147		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1))
148	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
149	147, 148	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 = 𝑃)
150	149	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑃C𝑖) = (𝑃C𝑃))
151	149	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑃 − 𝑖) = (𝑃 − 𝑃))
152	151	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) = ((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋))
153	149	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑖 ↑ 𝑌) = (𝑃 ↑ 𝑌))
154	152, 153	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) = (((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)))
155	150, 154	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = ((𝑃C𝑃)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌))))
156		bcnn 14335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃C𝑃) = 1)
157	5, 156	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃C𝑃) = 1)
158	16	subidd 11587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 𝑃) = 0)
159	158	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
160	41, 127, 13	mulg0 19062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
161	6, 160	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
162	159, 161	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
163	162	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)))
164	8, 9, 126	ringlidm 20234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑌))
165	39, 146, 164	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑌))
166	163, 165	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑌))
167	157, 166	oveq12d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃C𝑃)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌))) = (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)))
168	8, 10	mulg1 19069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵 → (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑌))
169	146, 168	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑌))
170	167, 169	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃C𝑃)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑌))
171	170	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑃)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑌))
172	155, 171	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑌))
173	8, 107, 145, 146, 172	gsumsnd 19938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (𝑃 ↑ 𝑌))
174	144, 173	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))))) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + (𝑃 ↑ 𝑌)))
175	60, 174	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + (𝑃 ↑ 𝑌)))
176	15, 22, 175	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + (𝑃 ↑ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  {csn 4606   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   − cmin 11471  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529  Ccbc 14325   ∥ cdvds 16277  ℙcprime 16695  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458   Σ_g cgsu 17459  Mndcmnd 18717  Grpcgrp 18921  ._gcmg 19055  CMndccmn 19766  mulGrpcmgp 20105  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  CRingccrg 20199  chrcchr 21467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-od 19514  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-srg 20152  df-ring 20200  df-cring 20201  df-chr 21471

This theorem is referenced by:  frobrhm  21541  ply1fermltlchr  22255