Theorem freshmansdream 21886

Description: For a prime number 𝑃, if 𝑋 and 𝑌 are members of a commutative ring 𝑅 of characteristic 𝑃, then ((𝑋 + 𝑌)↑𝑃) = ((𝑋↑𝑃) + (𝑌↑𝑃)). This theorem is sometimes referred to as "the freshman's dream" . (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
freshmansdream.s	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
freshmansdream.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
freshmansdream.p	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
freshmansdream.c	⊢ 𝑃 = (chr‘𝑅)
freshmansdream.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
freshmansdream.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
freshmansdream.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
freshmansdream.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
freshmansdream	⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + (𝑃 ↑ 𝑌)))

Proof of Theorem freshmansdream

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		freshmansdream.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 20478	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3		freshmansdream.c	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝑅)
4	3	chrcl 21836	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ ℕ0)
5	1, 2, 4	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
6		freshmansdream.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		freshmansdream.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		freshmansdream.s	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
11		freshmansdream.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
13		freshmansdream.p	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	crngbinom 20571	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))))
15	1, 5, 6, 7, 14	syl22anc 852	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))))
16	5	nn0cnd 12673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
17		1cnd 11306	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18	16, 17	npcand 11677	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
19	18	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑃 − 1) + 1)) = (0...𝑃))
20	19	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑃) = (0...((𝑃 − 1) + 1)))
21	20	mpteq1d 5194	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))) = (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))))
22	21	oveq2d 7437	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))))
23		ringcmn 20517	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
24	1, 2, 23	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
25		freshmansdream.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
26		prmnn 16855	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
27		nnm1nn0 12651	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
28	25, 26, 27	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
29		ringgrp 20470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
30	1, 2, 29	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
31	30	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑅 ∈ Grp)
32	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
33		fzssz 13662	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ⊆ ℤ
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑃 − 1) + 1)) ⊆ ℤ)
35	34	sselda 3908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
36		bccl 14470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
37	32, 35, 36	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
38	37	nn0zd 12722	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℤ)
39	1, 2	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
40	39	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
41	12, 8	mgpbas 20371	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
42	12	ringmgp 20471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
43	39, 42	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
44	43	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
45		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)))
46	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (0...((𝑃 − 1) + 1)) = (0...𝑃))
47	45, 46	eleqtrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑃))
48		fznn0sub 13694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑃) → (𝑃 − 𝑖) ∈ ℕ0)
49	47, 48	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃 − 𝑖) ∈ ℕ0)
50	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
51	41, 13, 44, 49, 50	mulgnn0cld 19311	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
52		elfznn0 13758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
53	52	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
54	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
55	41, 13, 44, 53, 54	mulgnn0cld 19311	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑖 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵)
56	8, 9	ringcl 20483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵)
57	40, 51, 55, 56	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵)
58	8, 10	mulgcl 19307	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑃C𝑖) ∈ ℤ ∧ (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) ∈ 𝐵)
59	31, 38, 57, 58	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) ∈ 𝐵)
60	8, 11, 24, 28, 59	gsummptfzsplit 20152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))))))
61	30	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Grp)
62		elfzelz 13660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
63	5, 62, 36	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
64	63	nn0zd 12722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℤ)
65	39	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
66	65, 42	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
67		fzssp1 13705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...((𝑃 − 1) + 1))
68	67, 19	sseqtrid 3950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...𝑃))
69	68	sselda 3908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑃))
70	69, 48	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃 − 𝑖) ∈ ℕ0)
71	6	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
72	41, 13, 66, 70, 71	mulgnn0cld 19311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
73		elfznn0 13758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
74	73	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
75	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
76	41, 13, 66, 74, 75	mulgnn0cld 19311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑖 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵)
77	65, 72, 76, 56	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵)
78	61, 64, 77, 58	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) ∈ 𝐵)
79	8, 11, 24, 28, 78	gsummptfzsplitl 20153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))))))
80	39	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
81		prmdvdsbc 16908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖))
82	25, 81	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖))
83	80, 42	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
84	5	nn0zd 12722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
85		1nn0 12626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ0
86		eluzmn 12976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 − 1)))
87	84, 85, 86	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 − 1)))
88		fzss2 13702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘(𝑃 − 1)) → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
89	87, 88	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
90	89	sselda 3908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ (1...𝑃))
91		fznn0sub 13694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑃) → (𝑃 − 𝑖) ∈ ℕ0)
92	90, 91	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃 − 𝑖) ∈ ℕ0)
93	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
94	41, 13, 83, 92, 93	mulgnn0cld 19311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
95		elfznn 13691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
96	95	nnnn0d 12671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
97	96	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
98	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
99	41, 13, 83, 97, 98	mulgnn0cld 19311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑖 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵)
100	80, 94, 99, 56	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵)
101		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
102	3, 8, 10, 101	dvdschrmulg 21840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖) ∧ (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = (0g‘𝑅))
103	80, 82, 100, 102	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = (0g‘𝑅))
104	103	mpteq2dva 5197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g‘𝑅)))
105	104	oveq2d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g‘𝑅))))
106		ringmnd 20476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
107	39, 106	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
108		ovex 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ∈ V
109	101	gsumz 19038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (1...(𝑃 − 1)) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
110	107, 108, 109	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g‘𝑅))) = (0g‘𝑅))
111	105, 110	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (0g‘𝑅))
112		0nn0 12625	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
113	112	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
114	41, 13, 43, 5, 6	mulgnn0cld 19311	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
115		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
116	115	oveq2d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑃C𝑖) = (𝑃C0))
117	115	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑃 − 𝑖) = (𝑃 − 0))
118	117	oveq1d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) = ((𝑃 − 0) ↑ 𝑋))
119	115	oveq1d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (𝑖 ↑ 𝑌) = (0 ↑ 𝑌))
120	118, 119	oveq12d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) = (((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌)))
121	116, 120	oveq12d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = ((𝑃C0)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌))))
122		bcn0 14458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃C0) = 1)
123	5, 122	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑃C0) = 1)
124	16	subid1d 11662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 0) = 𝑃)
125	124	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 0) ↑ 𝑋) = (𝑃 ↑ 𝑋))
126		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
127	12, 126	ringidval 20415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
128	41, 127, 13	mulg0 19290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑌) = (1r‘𝑅))
129	7, 128	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑌) = (1r‘𝑅))
130	125, 129	oveq12d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌)) = ((𝑃 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
131	8, 9, 126	ringridm 20505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑃 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
132	39, 114, 131	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
133	130, 132	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
134	123, 133	oveq12d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃C0)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌))) = (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑋)))
135	8, 10	mulg1 19297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 → (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑋)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
136	114, 135	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑋)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
137	134, 136	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃C0)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
138	137	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑃C0)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 0) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(0 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
139	121, 138	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
140	8, 107, 113, 114, 139	gsumsnd 20172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
141	111, 140	oveq12d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))))) = ((0g‘𝑅) + (𝑃 ↑ 𝑋)))
142	8, 11, 101	grplid 19184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑃 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) + (𝑃 ↑ 𝑋)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
143	30, 114, 142	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) + (𝑃 ↑ 𝑋)) = (𝑃 ↑ 𝑋))
144	79, 141, 143	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (𝑃 ↑ 𝑋))
145	18, 5	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) ∈ ℕ0)
146	41, 13, 43, 5, 7	mulgnn0cld 19311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵)
147		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1))
148	18	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
149	147, 148	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 = 𝑃)
150	149	oveq2d 7437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑃C𝑖) = (𝑃C𝑃))
151	149	oveq2d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑃 − 𝑖) = (𝑃 − 𝑃))
152	151	oveq1d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋) = ((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋))
153	149	oveq1d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑖 ↑ 𝑌) = (𝑃 ↑ 𝑌))
154	152, 153	oveq12d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)) = (((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)))
155	150, 154	oveq12d 7439	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = ((𝑃C𝑃)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌))))
156		bcnn 14460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃C𝑃) = 1)
157	5, 156	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃C𝑃) = 1)
158	16	subidd 11661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 𝑃) = 0)
159	158	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
160	41, 127, 13	mulg0 19290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
161	6, 160	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
162	159, 161	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋) = (1r‘𝑅))
163	162	oveq1d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)))
164	8, 9, 126	ringlidm 20504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑌))
165	39, 146, 164	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑌))
166	163, 165	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑌))
167	157, 166	oveq12d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃C𝑃)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌))) = (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)))
168	8, 10	mulg1 19297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ↑ 𝑌) ∈ 𝐵 → (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑌))
169	146, 168	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌)) = (𝑃 ↑ 𝑌))
170	167, 169	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃C𝑃)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑌))
171	170	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑃)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑃) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑃 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑌))
172	155, 171	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))) = (𝑃 ↑ 𝑌))
173	8, 107, 145, 146, 172	gsumsnd 20172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = (𝑃 ↑ 𝑌))
174	144, 173	oveq12d 7439	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌)))))) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + (𝑃 ↑ 𝑌)))
175	60, 174	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g‘𝑅)(((𝑃 − 𝑖) ↑ 𝑋)(.r‘𝑅)(𝑖 ↑ 𝑌))))) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + (𝑃 ↑ 𝑌)))
176	15, 22, 175	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑ (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑃 ↑ 𝑋) + (𝑃 ↑ 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   − cmin 11545  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969  ...cfz 13643  Ccbc 14450   ∥ cdvds 16428  ℙcprime 16852  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  ._rcmulr 17435  0_gc0g 17616   Σ_g cgsu 17617  Mndcmnd 18929  Grpcgrp 19150  ._gcmg 19283  CMndccmn 20000  mulGrpcmgp 20366  1_rcur 20413  Ringcrg 20465  CRingccrg 20466  chrcchr 21813

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-dvds 16429  df-gcd 16671  df-prm 16853  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-od 19748  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-srg 20419  df-ring 20467  df-cring 20468  df-chr 21817

This theorem is used by:  frobrhm  21887  ply1fermltlchr  22636