MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  freshmansdream Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem freshmansdream 21594
Description: For a prime number 𝑃, if 𝑋 and 𝑌 are members of a commutative ring 𝑅 of characteristic 𝑃, then ((𝑋 + 𝑌)↑𝑃) = ((𝑋𝑃) + (𝑌𝑃)). This theorem is sometimes referred to as "the freshman's dream" . (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
freshmansdream.s 𝐵 = (Base‘𝑅)
freshmansdream.a + = (+g𝑅)
freshmansdream.p = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
freshmansdream.c 𝑃 = (chr‘𝑅)
freshmansdream.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
freshmansdream.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
freshmansdream.x (𝜑𝑋𝐵)
freshmansdream.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
freshmansdream (𝜑 → (𝑃 (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑃 𝑋) + (𝑃 𝑌)))

Proof of Theorem freshmansdream
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 freshmansdream.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 crngring 20243 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3 freshmansdream.c . . . . 5 𝑃 = (chr‘𝑅)
43chrcl 21540 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ ℕ0)
51, 2, 43syl 18 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
6 freshmansdream.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
7 freshmansdream.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
8 freshmansdream.s . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 eqid 2736 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
10 eqid 2736 . . . 4 (.g𝑅) = (.g𝑅)
11 freshmansdream.a . . . 4 + = (+g𝑅)
12 eqid 2736 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
13 freshmansdream.p . . . 4 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
148, 9, 10, 11, 12, 13crngbinom 20333 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑃 (𝑋 + 𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))))
151, 5, 6, 7, 14syl22anc 838 . 2 (𝜑 → (𝑃 (𝑋 + 𝑌)) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))))
165nn0cnd 12591 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
17 1cnd 11257 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1816, 17npcand 11625 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
1918oveq2d 7448 . . . . 5 (𝜑 → (0...((𝑃 − 1) + 1)) = (0...𝑃))
2019eqcomd 2742 . . . 4 (𝜑 → (0...𝑃) = (0...((𝑃 − 1) + 1)))
2120mpteq1d 5236 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))) = (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))))
2221oveq2d 7448 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑃) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))))
23 ringcmn 20280 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
241, 2, 233syl 18 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
25 freshmansdream.1 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
26 prmnn 16712 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
27 nnm1nn0 12569 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
2825, 26, 273syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
29 ringgrp 20236 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
301, 2, 293syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
3130adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑅 ∈ Grp)
325adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
33 fzssz 13567 . . . . . . . . 9 (0...((𝑃 − 1) + 1)) ⊆ ℤ
3433a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...((𝑃 − 1) + 1)) ⊆ ℤ)
3534sselda 3982 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
36 bccl 14362 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℤ) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
3732, 35, 36syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
3837nn0zd 12641 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℤ)
391, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4039adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
4112, 8mgpbas 20143 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4212ringmgp 20237 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4339, 42syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4443adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
45 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)))
4619adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (0...((𝑃 − 1) + 1)) = (0...𝑃))
4745, 46eleqtrd 2842 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑃))
48 fznn0sub 13597 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝑃) → (𝑃𝑖) ∈ ℕ0)
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑃𝑖) ∈ ℕ0)
506adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑋𝐵)
5141, 13, 44, 49, 50mulgnn0cld 19114 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → ((𝑃𝑖) 𝑋) ∈ 𝐵)
52 elfznn0 13661 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
5352adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
547adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → 𝑌𝐵)
5541, 13, 44, 53, 54mulgnn0cld 19114 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (𝑖 𝑌) ∈ 𝐵)
568, 9ringcl 20248 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑃𝑖) 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑖 𝑌) ∈ 𝐵) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵)
5740, 51, 55, 56syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵)
588, 10mulgcl 19110 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑃C𝑖) ∈ ℤ ∧ (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) ∈ 𝐵)
5931, 38, 57, 58syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) ∈ 𝐵)
608, 11, 24, 28, 59gsummptfzsplit 19951 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))))))
6130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Grp)
62 elfzelz 13565 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
635, 62, 36syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℕ0)
6463nn0zd 12641 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃C𝑖) ∈ ℤ)
6539adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
6665, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
67 fzssp1 13608 . . . . . . . . . . . 12 (0...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...((𝑃 − 1) + 1))
6867, 19sseqtrid 4025 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...𝑃))
6968sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑃))
7069, 48syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑃𝑖) ∈ ℕ0)
716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑋𝐵)
7241, 13, 66, 70, 71mulgnn0cld 19114 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → ((𝑃𝑖) 𝑋) ∈ 𝐵)
73 elfznn0 13661 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
7473adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
757adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → 𝑌𝐵)
7641, 13, 66, 74, 75mulgnn0cld 19114 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (𝑖 𝑌) ∈ 𝐵)
7765, 72, 76, 56syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵)
7861, 64, 77, 58syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) ∈ 𝐵)
798, 11, 24, 28, 78gsummptfzsplitl 19952 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))))))
8039adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ Ring)
81 prmdvdsbc 16764 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖))
8225, 81sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖))
8380, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
845nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
85 1nn0 12544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
86 eluzmn 12886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)))
8784, 85, 86sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)))
88 fzss2 13605 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑃 − 1)) → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (1...𝑃))
9089sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ (1...𝑃))
91 fznn0sub 13597 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...𝑃) → (𝑃𝑖) ∈ ℕ0)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑃𝑖) ∈ ℕ0)
936adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑋𝐵)
9441, 13, 83, 92, 93mulgnn0cld 19114 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑃𝑖) 𝑋) ∈ 𝐵)
95 elfznn 13594 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
9695nnnn0d 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9796adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
987adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑌𝐵)
9941, 13, 83, 97, 98mulgnn0cld 19114 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑖 𝑌) ∈ 𝐵)
10080, 94, 99, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵)
101 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1023, 8, 10, 101dvdschrmulg 21544 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∥ (𝑃C𝑖) ∧ (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = (0g𝑅))
10380, 82, 100, 102syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = (0g𝑅))
104103mpteq2dva 5241 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g𝑅)))
105104oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g𝑅))))
106 ringmnd 20241 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
10739, 106syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
108 ovex 7465 . . . . . . . 8 (1...(𝑃 − 1)) ∈ V
109101gsumz 18850 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (1...(𝑃 − 1)) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
110107, 108, 109sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ (0g𝑅))) = (0g𝑅))
111105, 110eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (0g𝑅))
112 0nn0 12543 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
113112a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
11441, 13, 43, 5, 6mulgnn0cld 19114 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 𝑋) ∈ 𝐵)
115 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = 0) → 𝑖 = 0)
116115oveq2d 7448 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑃C𝑖) = (𝑃C0))
117115oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑃𝑖) = (𝑃 − 0))
118117oveq1d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑃𝑖) 𝑋) = ((𝑃 − 0) 𝑋))
119115oveq1d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑖 𝑌) = (0 𝑌))
120118, 119oveq12d 7450 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = 0) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) = (((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌)))
121116, 120oveq12d 7450 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = ((𝑃C0)(.g𝑅)(((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌))))
122 bcn0 14350 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃C0) = 1)
1235, 122syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃C0) = 1)
12416subid1d 11610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑃 − 0) = 𝑃)
125124oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 − 0) 𝑋) = (𝑃 𝑋))
126 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1r𝑅) = (1r𝑅)
12712, 126ringidval 20181 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
12841, 127, 13mulg0 19093 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝐵 → (0 𝑌) = (1r𝑅))
1297, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 𝑌) = (1r𝑅))
130125, 129oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌)) = ((𝑃 𝑋)(.r𝑅)(1r𝑅)))
1318, 9, 126ringridm 20268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑃 𝑋)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑃 𝑋))
13239, 114, 131syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃 𝑋)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (𝑃 𝑋))
133130, 132eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌)) = (𝑃 𝑋))
134123, 133oveq12d 7450 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃C0)(.g𝑅)(((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌))) = (1(.g𝑅)(𝑃 𝑋)))
1358, 10mulg1 19100 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 𝑋) ∈ 𝐵 → (1(.g𝑅)(𝑃 𝑋)) = (𝑃 𝑋))
136114, 135syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1(.g𝑅)(𝑃 𝑋)) = (𝑃 𝑋))
137134, 136eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃C0)(.g𝑅)(((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌))) = (𝑃 𝑋))
138137adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑃C0)(.g𝑅)(((𝑃 − 0) 𝑋)(.r𝑅)(0 𝑌))) = (𝑃 𝑋))
139121, 138eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = (𝑃 𝑋))
1408, 107, 113, 114, 139gsumsnd 19971 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (𝑃 𝑋))
141111, 140oveq12d 7450 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {0} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))))) = ((0g𝑅) + (𝑃 𝑋)))
1428, 11, 101grplid 18986 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑃 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g𝑅) + (𝑃 𝑋)) = (𝑃 𝑋))
14330, 114, 142syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑅) + (𝑃 𝑋)) = (𝑃 𝑋))
14479, 141, 1433eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (𝑃 𝑋))
14518, 5eqeltrd 2840 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 − 1) + 1) ∈ ℕ0)
14641, 13, 43, 5, 7mulgnn0cld 19114 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 𝑌) ∈ 𝐵)
147 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1))
14818adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃 − 1) + 1) = 𝑃)
149147, 148eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → 𝑖 = 𝑃)
150149oveq2d 7448 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑃C𝑖) = (𝑃C𝑃))
151149oveq2d 7448 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑃))
152151oveq1d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃𝑖) 𝑋) = ((𝑃𝑃) 𝑋))
153149oveq1d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (𝑖 𝑌) = (𝑃 𝑌))
154152, 153oveq12d 7450 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → (((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)) = (((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)))
155150, 154oveq12d 7450 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = ((𝑃C𝑃)(.g𝑅)(((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌))))
156 bcnn 14352 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃C𝑃) = 1)
1575, 156syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃C𝑃) = 1)
15816subidd 11609 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃𝑃) = 0)
159158oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃𝑃) 𝑋) = (0 𝑋))
16041, 127, 13mulg0 19093 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐵 → (0 𝑋) = (1r𝑅))
1616, 160syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 𝑋) = (1r𝑅))
162159, 161eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃𝑃) 𝑋) = (1r𝑅))
163162oveq1d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)))
1648, 9, 126ringlidm 20267 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 𝑌) ∈ 𝐵) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)) = (𝑃 𝑌))
16539, 146, 164syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)) = (𝑃 𝑌))
166163, 165eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌)) = (𝑃 𝑌))
167157, 166oveq12d 7450 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃C𝑃)(.g𝑅)(((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌))) = (1(.g𝑅)(𝑃 𝑌)))
1688, 10mulg1 19100 . . . . . . . . 9 ((𝑃 𝑌) ∈ 𝐵 → (1(.g𝑅)(𝑃 𝑌)) = (𝑃 𝑌))
169146, 168syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1(.g𝑅)(𝑃 𝑌)) = (𝑃 𝑌))
170167, 169eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃C𝑃)(.g𝑅)(((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌))) = (𝑃 𝑌))
171170adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑃)(.g𝑅)(((𝑃𝑃) 𝑋)(.r𝑅)(𝑃 𝑌))) = (𝑃 𝑌))
172155, 171eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑖 = ((𝑃 − 1) + 1)) → ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))) = (𝑃 𝑌))
1738, 107, 145, 146, 172gsumsnd 19971 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = (𝑃 𝑌))
174144, 173oveq12d 7450 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) + (𝑅 Σg (𝑖 ∈ {((𝑃 − 1) + 1)} ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌)))))) = ((𝑃 𝑋) + (𝑃 𝑌)))
17560, 174eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...((𝑃 − 1) + 1)) ↦ ((𝑃C𝑖)(.g𝑅)(((𝑃𝑖) 𝑋)(.r𝑅)(𝑖 𝑌))))) = ((𝑃 𝑋) + (𝑃 𝑌)))
17615, 22, 1753eqtrd 2780 1 (𝜑 → (𝑃 (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑃 𝑋) + (𝑃 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  wss 3950  {csn 4625   class class class wbr 5142  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  cmin 11493  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  Ccbc 14342  cdvds 16291  cprime 16709  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18748  Grpcgrp 18952  .gcmg 19086  CMndccmn 19799  mulGrpcmgp 20138  1rcur 20179  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232  chrcchr 21513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-od 19547  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-cring 20234  df-chr 21517
This theorem is referenced by:  frobrhm  21595  ply1fermltlchr  22317
  Copyright terms: Public domain W3C validator