Theorem coe1tmmul 21448

Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1tm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
coe1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1tmmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1tmmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1tmmul.u	⊢ × = (.r‘𝑅)
coe1tmmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
coe1tmmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1tmmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
coe1tmmul.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1tmmul	⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∙ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥, ↑   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥, ×   𝑥, ∙

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem coe1tmmul

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1tmmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1tmmul.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
3		coe1tmmul.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
4		coe1tm.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		coe1tm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		coe1tm.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
7		coe1tm.m	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
8		coe1tm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
9		coe1tm.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
10		coe1tmmul.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ply1tmcl 21443	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
13		coe1tmmul.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
14		coe1tmmul.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
15		coe1tmmul.u	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
16	5, 14, 15, 10	coe1mul 21441	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∙ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))))))
17	1, 12, 13, 16	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∙ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))))))
18		eqeq2 2750	. . . 4 ⊢ ((𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) = if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 ) → ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) ↔ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))
19		eqeq2 2750	. . . 4 ⊢ ( 0 = if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 ) → ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = 0 ↔ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))
20		coe1tm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
21	1	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑅 ∈ Ring)
22		ringmnd 19793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑅 ∈ Mnd)
24		ovexd 7310	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (0...𝑥) ∈ V)
25	3	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ∈ ℕ0)
26		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ≤ 𝑥)
27		fznn0 13348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∈ (0...𝑥) ↔ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)))
28	27	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝐷 ∈ (0...𝑥) ↔ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)))
29	25, 26, 28	mpbir2and 710	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ∈ (0...𝑥))
30	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
31		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))
32	31, 10, 5, 4	coe1f 21382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐾)
33	12, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐾)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐾)
35		elfznn0 13349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝑥) → 𝑦 ∈ ℕ0)
36		ffvelrn 6959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐾 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) ∈ 𝐾)
37	34, 35, 36	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) ∈ 𝐾)
38		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (coe1‘𝐴) = (coe1‘𝐴)
39	38, 10, 5, 4	coe1f 21382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶𝐾)
40	13, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶𝐾)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶𝐾)
42		fznn0sub 13288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝑥) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)
43		ffvelrn 6959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coe1‘𝐴):ℕ0⟶𝐾 ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ 𝐾)
44	41, 42, 43	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ 𝐾)
45	4, 15	ringcl 19800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) ∈ 𝐾 ∧ ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ 𝐾) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) ∈ 𝐾)
46	30, 37, 44, 45	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) ∈ 𝐾)
47	46	fmpttd 6989	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))):(0...𝑥)⟶𝐾)
48	47	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))):(0...𝑥)⟶𝐾)
49	1	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝑅 ∈ Ring)
50	2	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝐶 ∈ 𝐾)
51	3	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝐷 ∈ ℕ0)
52		eldifi 4061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷}) → 𝑦 ∈ (0...𝑥))
53	52, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷}) → 𝑦 ∈ ℕ0)
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝑦 ∈ ℕ0)
55		eldifsni 4723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷}) → 𝑦 ≠ 𝐷)
56	55	necomd 2999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷}) → 𝐷 ≠ 𝑦)
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝐷 ≠ 𝑦)
58	20, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 49, 50, 51, 54, 57	coe1tmfv2 21446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) = 0 )
59	58	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))
60	4, 15, 20	ringlz 19826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ 𝐾) → ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
61	30, 44, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
62	52, 61	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
63	62	adantlr 712	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
64	59, 63	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
65	64, 24	suppss2 8016	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))) supp 0 ) ⊆ {𝐷})
66	4, 20, 23, 24, 29, 48, 65	gsumpt 19563	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))‘𝐷))
67		fveq2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) = ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷))
68		oveq2 7283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝐷))
69	68	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)) = ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)))
70	67, 69	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
71		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))
72		ovex 7308	. . . . . . . 8 ⊢ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) ∈ V
73	70, 71, 72	fvmpt 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (0...𝑥) → ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))‘𝐷) = (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
74	29, 73	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))‘𝐷) = (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
75	20, 4, 5, 6, 7, 8, 9	coe1tmfv1 21445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) = 𝐶)
76	1, 2, 3, 75	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) = 𝐶)
77	76	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) = 𝐶)
78	77	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) = (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
79	74, 78	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))‘𝐷) = (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
80	66, 79	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
81	1	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
82	2	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
83	3	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
84	35	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
85		elfzle2 13260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑥)
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝑦 ≤ 𝑥)
87		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 = 𝑦 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑥))
88	86, 87	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (𝐷 = 𝑦 → 𝐷 ≤ 𝑥))
89	88	necon3bd 2957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (¬ 𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐷 ≠ 𝑦))
90	89	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ≠ 𝑦)
91	90	an32s 649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝐷 ≠ 𝑦)
92	20, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 81, 82, 83, 84, 91	coe1tmfv2 21446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) = 0 )
93	92	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))
94	61	adantlr 712	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
95	93, 94	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
96	95	mpteq2dva 5174	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ 0 ))
97	96	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ 0 )))
98	1, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
99	98	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑅 ∈ Mnd)
100		ovexd 7310	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → (0...𝑥) ∈ V)
101	20	gsumz 18474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0...𝑥) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ 0 )) = 0 )
102	99, 100, 101	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ 0 )) = 0 )
103	97, 102	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = 0 )
104	18, 19, 80, 103	ifbothda 4497	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 ))
105	104	mpteq2dva 5174	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))
106	17, 105	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∙ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884  ifcif 4459  {csn 4561   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13239  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  Mndcmnd 18385  ._gcmg 18700  mulGrpcmgp 19720  Ringcrg 19783  var₁cv1 21347  Poly₁cpl1 21348  coe₁cco1 21349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-ple 16982  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-vr1 21352  df-ply1 21353  df-coe1 21354

This theorem is referenced by:  coe1pwmul  21450  coe1sclmul  21453