MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tmmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1tmmul 21799
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
coe1tm.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
coe1tm.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
coe1tm.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
coe1tm.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
coe1tm.n 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
coe1tm.e ↑ = (.gβ€˜π‘)
coe1tmmul.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
coe1tmmul.t βˆ™ = (.rβ€˜π‘ƒ)
coe1tmmul.u Γ— = (.rβ€˜π‘…)
coe1tmmul.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
coe1tmmul.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
coe1tmmul.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
coe1tmmul.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul (πœ‘ β†’ (coe1β€˜((𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) βˆ™ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(𝐷 ≀ π‘₯, (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))), 0 )))
Distinct variable groups:   π‘₯, 0   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐾   π‘₯, ↑   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑅   π‘₯, Β·   π‘₯, Γ—   π‘₯, βˆ™
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem coe1tmmul
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tmmul.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 coe1tmmul.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
3 coe1tmmul.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
4 coe1tm.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
5 coe1tm.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
6 coe1tm.x . . . . 5 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
7 coe1tm.m . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
8 coe1tm.n . . . . 5 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
9 coe1tm.e . . . . 5 ↑ = (.gβ€˜π‘)
10 coe1tmmul.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10ply1tmcl 21794 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
121, 2, 3, 11syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
13 coe1tmmul.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
14 coe1tmmul.t . . . 4 βˆ™ = (.rβ€˜π‘ƒ)
15 coe1tmmul.u . . . 4 Γ— = (.rβ€˜π‘…)
165, 14, 15, 10coe1mul 21792 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜((𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) βˆ™ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))))))
171, 12, 13, 16syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜((𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) βˆ™ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))))))
18 eqeq2 2745 . . . 4 ((𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))) = if(𝐷 ≀ π‘₯, (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))), 0 ) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))) ↔ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = if(𝐷 ≀ π‘₯, (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))), 0 )))
19 eqeq2 2745 . . . 4 ( 0 = if(𝐷 ≀ π‘₯, (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))), 0 ) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = 0 ↔ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = if(𝐷 ≀ π‘₯, (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))), 0 )))
20 coe1tm.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
211ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
22 ringmnd 20066 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
24 ovexd 7444 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (0...π‘₯) ∈ V)
253ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
26 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ 𝐷 ≀ π‘₯)
27 fznn0 13593 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (𝐷 ∈ (0...π‘₯) ↔ (𝐷 ∈ β„•0 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)))
2827ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (𝐷 ∈ (0...π‘₯) ↔ (𝐷 ∈ β„•0 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)))
2925, 26, 28mpbir2and 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ 𝐷 ∈ (0...π‘₯))
301ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋))) = (coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))
3231, 10, 5, 4coe1f 21735 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋))):β„•0⟢𝐾)
3312, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋))):β„•0⟢𝐾)
3433adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋))):β„•0⟢𝐾)
35 elfznn0 13594 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0...π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
36 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . 10 (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋))):β„•0⟢𝐾 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) ∈ 𝐾)
3734, 35, 36syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) ∈ 𝐾)
38 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (coe1β€˜π΄) = (coe1β€˜π΄)
3938, 10, 5, 4coe1f 21735 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜π΄):β„•0⟢𝐾)
4013, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜π΄):β„•0⟢𝐾)
4140adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (coe1β€˜π΄):β„•0⟢𝐾)
42 fznn0sub 13533 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0...π‘₯) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„•0)
43 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . 10 (((coe1β€˜π΄):β„•0⟢𝐾 ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ∈ 𝐾)
4441, 42, 43syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ∈ 𝐾)
454, 15ringcl 20073 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) ∈ 𝐾 ∧ ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ∈ 𝐾) β†’ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) ∈ 𝐾)
4630, 37, 44, 45syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) ∈ 𝐾)
4746fmpttd 7115 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))):(0...π‘₯)⟢𝐾)
4847adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))):(0...π‘₯)⟢𝐾)
491ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
502ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
513ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
52 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷}) β†’ 𝑦 ∈ (0...π‘₯))
5352, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷}) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
5453adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
55 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷}) β†’ 𝑦 β‰  𝐷)
5655necomd 2997 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷}) β†’ 𝐷 β‰  𝑦)
5756adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ 𝐷 β‰  𝑦)
5820, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 49, 50, 51, 54, 57coe1tmfv2 21797 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) = 0 )
5958oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = ( 0 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
604, 15, 20ringlz 20107 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ∈ 𝐾) β†’ ( 0 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = 0 )
6130, 44, 60syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ ( 0 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = 0 )
6252, 61sylan2 594 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ ( 0 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = 0 )
6362adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ ( 0 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = 0 )
6459, 63eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = 0 )
6564, 24suppss2 8185 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))) supp 0 ) βŠ† {𝐷})
664, 20, 23, 24, 29, 48, 65gsumpt 19830 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = ((𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))β€˜π·))
67 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐷 β†’ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) = ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·))
68 oveq2 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐷 β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) = (π‘₯ βˆ’ 𝐷))
6968fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐷 β†’ ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) = ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷)))
7067, 69oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐷 β†’ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))))
71 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
72 ovex 7442 . . . . . . . 8 (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))) ∈ V
7370, 71, 72fvmpt 6999 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (0...π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))β€˜π·) = (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))))
7429, 73syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))β€˜π·) = (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))))
7520, 4, 5, 6, 7, 8, 9coe1tmfv1 21796 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·) = 𝐢)
761, 2, 3, 75syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·) = 𝐢)
7776ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·) = 𝐢)
7877oveq1d 7424 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))) = (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))))
7974, 78eqtrd 2773 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))β€˜π·) = (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))))
8066, 79eqtrd 2773 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))))
811ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
822ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
833ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
8435adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
85 elfzle2 13505 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (0...π‘₯) β†’ 𝑦 ≀ π‘₯)
8685adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ 𝑦 ≀ π‘₯)
87 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 = 𝑦 β†’ (𝐷 ≀ π‘₯ ↔ 𝑦 ≀ π‘₯))
8886, 87syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ (𝐷 = 𝑦 β†’ 𝐷 ≀ π‘₯))
8988necon3bd 2955 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ (Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯ β†’ 𝐷 β‰  𝑦))
9089imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ 𝐷 β‰  𝑦)
9190an32s 651 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ 𝐷 β‰  𝑦)
9220, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 81, 82, 83, 84, 91coe1tmfv2 21797 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) = 0 )
9392oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = ( 0 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
9461adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ ( 0 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = 0 )
9593, 94eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = 0 )
9695mpteq2dva 5249 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ 0 ))
9796oveq2d 7425 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ 0 )))
981, 22syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
9998ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
100 ovexd 7444 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (0...π‘₯) ∈ V)
10120gsumz 18717 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0...π‘₯) ∈ V) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ 0 )) = 0 )
10299, 100, 101syl2anc 585 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ 0 )) = 0 )
10397, 102eqtrd 2773 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = 0 )
10418, 19, 80, 103ifbothda 4567 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = if(𝐷 ≀ π‘₯, (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))), 0 ))
105104mpteq2dva 5249 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))))) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(𝐷 ≀ π‘₯, (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))), 0 )))
10617, 105eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜((𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) βˆ™ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(𝐷 ≀ π‘₯, (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))), 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•0cn0 12472  ...cfz 13484  Basecbs 17144  .rcmulr 17198   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  Mndcmnd 18625  .gcmg 18950  mulGrpcmgp 19987  Ringcrg 20056  var1cv1 21700  Poly1cpl1 21701  coe1cco1 21702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-psr1 21704  df-vr1 21705  df-ply1 21706  df-coe1 21707
This theorem is referenced by:  coe1pwmul  21801  coe1sclmul  21804
  Copyright terms: Public domain W3C validator