Theorem coe1tmmul 22490

Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1tm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
coe1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1tmmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1tmmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1tmmul.u	⊢ × = (.r‘𝑅)
coe1tmmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
coe1tmmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1tmmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
coe1tmmul.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1tmmul	⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∙ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥, ↑   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥, ×   𝑥, ∙

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem coe1tmmul

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1tmmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1tmmul.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
3		coe1tmmul.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
4		coe1tm.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		coe1tm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		coe1tm.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
7		coe1tm.m	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
8		coe1tm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
9		coe1tm.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
10		coe1tmmul.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ply1tmcl 22485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
13		coe1tmmul.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
14		coe1tmmul.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
15		coe1tmmul.u	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
16	5, 14, 15, 10	coe1mul 22483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∙ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))))))
17	1, 12, 13, 16	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∙ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))))))
18		eqeq2 2777	. . . 4 ⊢ ((𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) = if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 ) → ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) ↔ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))
19		eqeq2 2777	. . . 4 ⊢ ( 0 = if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 ) → ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = 0 ↔ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))
20		coe1tm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
21	1	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑅 ∈ Ring)
22		ringmnd 20371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑅 ∈ Mnd)
24		ovexd 7454	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (0...𝑥) ∈ V)
25	3	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ∈ ℕ0)
26		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ≤ 𝑥)
27		fznn0 13666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∈ (0...𝑥) ↔ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)))
28	27	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝐷 ∈ (0...𝑥) ↔ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)))
29	25, 26, 28	mpbir2and 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ∈ (0...𝑥))
30	1	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
31		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))
32	31, 10, 5, 4	coe1f 22423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐾)
33	12, 32	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐾)
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐾)
35		elfznn0 13667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝑥) → 𝑦 ∈ ℕ0)
36		ffvelcdm 7080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐾 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) ∈ 𝐾)
37	34, 35, 36	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) ∈ 𝐾)
38		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (coe1‘𝐴) = (coe1‘𝐴)
39	38, 10, 5, 4	coe1f 22423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶𝐾)
40	13, 39	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶𝐾)
41	40	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶𝐾)
42		fznn0sub 13603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝑥) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)
43		ffvelcdm 7080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coe1‘𝐴):ℕ0⟶𝐾 ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ 𝐾)
44	41, 42, 43	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ 𝐾)
45	4, 15	ringcl 20378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) ∈ 𝐾 ∧ ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ 𝐾) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) ∈ 𝐾)
46	30, 37, 44, 45	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) ∈ 𝐾)
47	46	fmpttd 7114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))):(0...𝑥)⟶𝐾)
48	47	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))):(0...𝑥)⟶𝐾)
49	1	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝑅 ∈ Ring)
50	2	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝐶 ∈ 𝐾)
51	3	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝐷 ∈ ℕ0)
52		eldifi 4085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷}) → 𝑦 ∈ (0...𝑥))
53	52, 35	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷}) → 𝑦 ∈ ℕ0)
54	53	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝑦 ∈ ℕ0)
55		eldifsni 4760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷}) → 𝑦 ≠ 𝐷)
56	55	necomd 3015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷}) → 𝐷 ≠ 𝑦)
57	56	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝐷 ≠ 𝑦)
58	20, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 49, 50, 51, 54, 57	coe1tmfv2 22488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) = 0 )
59	58	oveq1d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))
60	4, 15, 20	ringlz 20424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ 𝐾) → ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
61	30, 44, 60	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
62	52, 61	sylan2 605	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
63	62	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
64	59, 63	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
65	64, 24	suppss2 8202	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))) supp 0 ) ⊆ {𝐷})
66	4, 20, 23, 24, 29, 48, 65	gsumpt 20078	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))‘𝐷))
67		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) = ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷))
68		oveq2 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝐷))
69	68	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)) = ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)))
70	67, 69	oveq12d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
71		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))
72		ovex 7452	. . . . . . . 8 ⊢ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) ∈ V
73	70, 71, 72	fvmpt 6993	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (0...𝑥) → ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))‘𝐷) = (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
74	29, 73	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))‘𝐷) = (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
75	20, 4, 5, 6, 7, 8, 9	coe1tmfv1 22487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) = 𝐶)
76	1, 2, 3, 75	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) = 𝐶)
77	76	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) = 𝐶)
78	77	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) = (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
79	74, 78	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))‘𝐷) = (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
80	66, 79	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
81	1	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
82	2	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
83	3	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
84	35	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
85		elfzle2 13574	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑥)
86	85	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝑦 ≤ 𝑥)
87		breq1 5114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 = 𝑦 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑥))
88	86, 87	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (𝐷 = 𝑦 → 𝐷 ≤ 𝑥))
89	88	necon3bd 2974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (¬ 𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐷 ≠ 𝑦))
90	89	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ≠ 𝑦)
91	90	an32s 665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝐷 ≠ 𝑦)
92	20, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 81, 82, 83, 84, 91	coe1tmfv2 22488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) = 0 )
93	92	oveq1d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))
94	61	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
95	93, 94	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
96	95	mpteq2dva 5206	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ 0 ))
97	96	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ 0 )))
98	1, 22	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
99	98	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑅 ∈ Mnd)
100		ovexd 7454	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → (0...𝑥) ∈ V)
101	20	gsumz 18934	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0...𝑥) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ 0 )) = 0 )
102	99, 100, 101	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ 0 )) = 0 )
103	97, 102	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = 0 )
104	18, 19, 80, 103	ifbothda 4528	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 ))
105	104	mpteq2dva 5206	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))
106	17, 105	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∙ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903  ifcif 4489  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11117   ≤ cle 11261   − cmin 11458  ℕ₀cn0 12521  ...cfz 13553  Basecbs 17293  ._rcmulr 17335   ·_𝑠 cvsca 17338  0_gc0g 17516   Σ_g cgsu 17517  Mndcmnd 18826  ._gcmg 19179  mulGrpcmgp 20262  Ringcrg 20361  var₁cv1 22388  Poly₁cpl1 22389  coe₁cco1 22390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-hom 17358  df-cco 17359  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-prds 17524  df-pws 17526  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-mhm 18880  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-mulg 19180  df-subg 19235  df-ghm 19330  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-subrng 20697  df-subrg 20721  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-psr 22111  df-mvr 22112  df-mpl 22113  df-opsr 22115  df-psr1 22392  df-vr1 22393  df-ply1 22394  df-coe1 22395

This theorem is used by:  coe1pwmul  22492  coe1sclmul  22495