MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1tmmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1tmmul 21648
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1tm.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
coe1tm.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
coe1tm.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
coe1tm.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
coe1tm.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
coe1tm.n 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
coe1tm.e ↑ = (.gβ€˜π‘)
coe1tmmul.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
coe1tmmul.t βˆ™ = (.rβ€˜π‘ƒ)
coe1tmmul.u Γ— = (.rβ€˜π‘…)
coe1tmmul.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
coe1tmmul.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
coe1tmmul.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
coe1tmmul.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
coe1tmmul (πœ‘ β†’ (coe1β€˜((𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) βˆ™ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(𝐷 ≀ π‘₯, (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))), 0 )))
Distinct variable groups:   π‘₯, 0   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐾   π‘₯, ↑   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑅   π‘₯, Β·   π‘₯, Γ—   π‘₯, βˆ™
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem coe1tmmul
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1tmmul.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 coe1tmmul.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
3 coe1tmmul.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
4 coe1tm.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
5 coe1tm.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
6 coe1tm.x . . . . 5 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
7 coe1tm.m . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
8 coe1tm.n . . . . 5 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
9 coe1tm.e . . . . 5 ↑ = (.gβ€˜π‘)
10 coe1tmmul.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10ply1tmcl 21643 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
121, 2, 3, 11syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
13 coe1tmmul.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
14 coe1tmmul.t . . . 4 βˆ™ = (.rβ€˜π‘ƒ)
15 coe1tmmul.u . . . 4 Γ— = (.rβ€˜π‘…)
165, 14, 15, 10coe1mul 21641 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜((𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) βˆ™ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))))))
171, 12, 13, 16syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜((𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) βˆ™ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))))))
18 eqeq2 2748 . . . 4 ((𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))) = if(𝐷 ≀ π‘₯, (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))), 0 ) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))) ↔ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = if(𝐷 ≀ π‘₯, (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))), 0 )))
19 eqeq2 2748 . . . 4 ( 0 = if(𝐷 ≀ π‘₯, (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))), 0 ) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = 0 ↔ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = if(𝐷 ≀ π‘₯, (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))), 0 )))
20 coe1tm.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
211ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
22 ringmnd 19974 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
24 ovexd 7392 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (0...π‘₯) ∈ V)
253ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
26 simpr 485 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ 𝐷 ≀ π‘₯)
27 fznn0 13533 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (𝐷 ∈ (0...π‘₯) ↔ (𝐷 ∈ β„•0 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)))
2827ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (𝐷 ∈ (0...π‘₯) ↔ (𝐷 ∈ β„•0 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)))
2925, 26, 28mpbir2and 711 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ 𝐷 ∈ (0...π‘₯))
301ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
31 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋))) = (coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))
3231, 10, 5, 4coe1f 21582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋))):β„•0⟢𝐾)
3312, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋))):β„•0⟢𝐾)
3433adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋))):β„•0⟢𝐾)
35 elfznn0 13534 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0...π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
36 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . 10 (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋))):β„•0⟢𝐾 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) ∈ 𝐾)
3734, 35, 36syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) ∈ 𝐾)
38 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (coe1β€˜π΄) = (coe1β€˜π΄)
3938, 10, 5, 4coe1f 21582 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜π΄):β„•0⟢𝐾)
4013, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜π΄):β„•0⟢𝐾)
4140adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (coe1β€˜π΄):β„•0⟢𝐾)
42 fznn0sub 13473 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0...π‘₯) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„•0)
43 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . 10 (((coe1β€˜π΄):β„•0⟢𝐾 ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ∈ 𝐾)
4441, 42, 43syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ∈ 𝐾)
454, 15ringcl 19981 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) ∈ 𝐾 ∧ ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ∈ 𝐾) β†’ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) ∈ 𝐾)
4630, 37, 44, 45syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) ∈ 𝐾)
4746fmpttd 7063 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))):(0...π‘₯)⟢𝐾)
4847adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))):(0...π‘₯)⟢𝐾)
491ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
502ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
513ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
52 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷}) β†’ 𝑦 ∈ (0...π‘₯))
5352, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷}) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
5453adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
55 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷}) β†’ 𝑦 β‰  𝐷)
5655necomd 2999 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷}) β†’ 𝐷 β‰  𝑦)
5756adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ 𝐷 β‰  𝑦)
5820, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 49, 50, 51, 54, 57coe1tmfv2 21646 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) = 0 )
5958oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = ( 0 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
604, 15, 20ringlz 20011 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ∈ 𝐾) β†’ ( 0 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = 0 )
6130, 44, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ ( 0 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = 0 )
6252, 61sylan2 593 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ ( 0 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = 0 )
6362adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ ( 0 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = 0 )
6459, 63eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ((0...π‘₯) βˆ– {𝐷})) β†’ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = 0 )
6564, 24suppss2 8131 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))) supp 0 ) βŠ† {𝐷})
664, 20, 23, 24, 29, 48, 65gsumpt 19739 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = ((𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))β€˜π·))
67 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐷 β†’ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) = ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·))
68 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐷 β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) = (π‘₯ βˆ’ 𝐷))
6968fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐷 β†’ ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) = ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷)))
7067, 69oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐷 β†’ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))))
71 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
72 ovex 7390 . . . . . . . 8 (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))) ∈ V
7370, 71, 72fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (0...π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))β€˜π·) = (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))))
7429, 73syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))β€˜π·) = (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))))
7520, 4, 5, 6, 7, 8, 9coe1tmfv1 21645 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·) = 𝐢)
761, 2, 3, 75syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·) = 𝐢)
7776ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·) = 𝐢)
7877oveq1d 7372 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π·) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))) = (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))))
7974, 78eqtrd 2776 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))β€˜π·) = (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))))
8066, 79eqtrd 2776 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))))
811ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
822ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
833ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
8435adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
85 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (0...π‘₯) β†’ 𝑦 ≀ π‘₯)
8685adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ 𝑦 ≀ π‘₯)
87 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 = 𝑦 β†’ (𝐷 ≀ π‘₯ ↔ 𝑦 ≀ π‘₯))
8886, 87syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ (𝐷 = 𝑦 β†’ 𝐷 ≀ π‘₯))
8988necon3bd 2957 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ (Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯ β†’ 𝐷 β‰  𝑦))
9089imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ 𝐷 β‰  𝑦)
9190an32s 650 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ 𝐷 β‰  𝑦)
9220, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 81, 82, 83, 84, 91coe1tmfv2 21646 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ ((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) = 0 )
9392oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = ( 0 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))
9461adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ ( 0 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = 0 )
9593, 94eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ (0...π‘₯)) β†’ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))) = 0 )
9695mpteq2dva 5205 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ 0 ))
9796oveq2d 7373 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ 0 )))
981, 22syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
9998ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
100 ovexd 7392 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (0...π‘₯) ∈ V)
10120gsumz 18646 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0...π‘₯) ∈ V) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ 0 )) = 0 )
10299, 100, 101syl2anc 584 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ 0 )) = 0 )
10397, 102eqtrd 2776 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝐷 ≀ π‘₯) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = 0 )
10418, 19, 80, 103ifbothda 4524 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦))))) = if(𝐷 ≀ π‘₯, (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))), 0 ))
105104mpteq2dva 5205 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ (0...π‘₯) ↦ (((coe1β€˜(𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)))β€˜π‘¦) Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))))) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(𝐷 ≀ π‘₯, (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))), 0 )))
10617, 105eqtrd 2776 1 (πœ‘ β†’ (coe1β€˜((𝐢 Β· (𝐷 ↑ 𝑋)) βˆ™ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(𝐷 ≀ π‘₯, (𝐢 Γ— ((coe1β€˜π΄)β€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐷))), 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2943  Vcvv 3445   βˆ– cdif 3907  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  βŸΆwf 6492  β€˜cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051   ≀ cle 11190   βˆ’ cmin 11385  β„•0cn0 12413  ...cfz 13424  Basecbs 17083  .rcmulr 17134   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321   Ξ£g cgsu 17322  Mndcmnd 18556  .gcmg 18872  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  var1cv1 21547  Poly1cpl1 21548  coe1cco1 21549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554
This theorem is referenced by:  coe1pwmul  21650  coe1sclmul  21653
  Copyright terms: Public domain W3C validator