Theorem coe1tmmul 22263

Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a term. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1tm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1tm.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
coe1tm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1tm.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1tm.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
coe1tm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1tm.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1tmmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1tmmul.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
coe1tmmul.u	⊢ × = (.r‘𝑅)
coe1tmmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
coe1tmmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1tmmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
coe1tmmul.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1tmmul	⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∙ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐾   𝑥, ↑   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥, ×   𝑥, ∙

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem coe1tmmul

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1tmmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		coe1tmmul.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
3		coe1tmmul.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
4		coe1tm.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		coe1tm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		coe1tm.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
7		coe1tm.m	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
8		coe1tm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
9		coe1tm.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
10		coe1tmmul.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ply1tmcl 22258	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
13		coe1tmmul.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
14		coe1tmmul.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
15		coe1tmmul.u	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
16	5, 14, 15, 10	coe1mul 22256	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (coe1‘((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∙ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))))))
17	1, 12, 13, 16	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∙ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))))))
18		eqeq2 2751	. . . 4 ⊢ ((𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) = if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 ) → ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) ↔ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))
19		eqeq2 2751	. . . 4 ⊢ ( 0 = if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 ) → ((𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = 0 ↔ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))
20		coe1tm.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
21	1	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑅 ∈ Ring)
22		ringmnd 20215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑅 ∈ Mnd)
24		ovexd 7391	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (0...𝑥) ∈ V)
25	3	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ∈ ℕ0)
26		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ≤ 𝑥)
27		fznn0 13564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐷 ∈ (0...𝑥) ↔ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)))
28	27	ad2antlr 733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝐷 ∈ (0...𝑥) ↔ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)))
29	25, 26, 28	mpbir2and 719	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ∈ (0...𝑥))
30	1	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
31		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))) = (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))
32	31, 10, 5, 4	coe1f 22196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐾)
33	12, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐾)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐾)
35		elfznn0 13565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝑥) → 𝑦 ∈ ℕ0)
36		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐾 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) ∈ 𝐾)
37	34, 35, 36	syl2an 602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) ∈ 𝐾)
38		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (coe1‘𝐴) = (coe1‘𝐴)
39	38, 10, 5, 4	coe1f 22196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶𝐾)
40	13, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶𝐾)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶𝐾)
42		fznn0sub 13501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝑥) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0)
43		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coe1‘𝐴):ℕ0⟶𝐾 ∧ (𝑥 − 𝑦) ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ 𝐾)
44	41, 42, 43	syl2an 602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ 𝐾)
45	4, 15	ringcl 20222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) ∈ 𝐾 ∧ ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ 𝐾) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) ∈ 𝐾)
46	30, 37, 44, 45	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) ∈ 𝐾)
47	46	fmpttd 7056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))):(0...𝑥)⟶𝐾)
48	47	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))):(0...𝑥)⟶𝐾)
49	1	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝑅 ∈ Ring)
50	2	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝐶 ∈ 𝐾)
51	3	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝐷 ∈ ℕ0)
52		eldifi 4061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷}) → 𝑦 ∈ (0...𝑥))
53	52, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷}) → 𝑦 ∈ ℕ0)
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝑦 ∈ ℕ0)
55		eldifsni 4723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷}) → 𝑦 ≠ 𝐷)
56	55	necomd 2989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷}) → 𝐷 ≠ 𝑦)
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → 𝐷 ≠ 𝑦)
58	20, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 49, 50, 51, 54, 57	coe1tmfv2 22261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) = 0 )
59	58	oveq1d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))
60	4, 15, 20	ringlz 20265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ 𝐾) → ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
61	30, 44, 60	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
62	52, 61	sylan2 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
63	62	adantlr 721	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
64	59, 63	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ((0...𝑥) ∖ {𝐷})) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
65	64, 24	suppss2 8140	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))) supp 0 ) ⊆ {𝐷})
66	4, 20, 23, 24, 29, 48, 65	gsumpt 19928	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))‘𝐷))
67		fveq2 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) = ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷))
68		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝐷))
69	68	fveq2d 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)) = ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)))
70	67, 69	oveq12d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐷 → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
71		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))
72		ovex 7389	. . . . . . . 8 ⊢ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) ∈ V
73	70, 71, 72	fvmpt 6935	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (0...𝑥) → ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))‘𝐷) = (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
74	29, 73	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))‘𝐷) = (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
75	20, 4, 5, 6, 7, 8, 9	coe1tmfv1 22260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) = 𝐶)
76	1, 2, 3, 75	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) = 𝐶)
77	76	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) = 𝐶)
78	77	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝐷) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) = (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
79	74, 78	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))‘𝐷) = (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
80	66, 79	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))))
81	1	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
82	2	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
83	3	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
84	35	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
85		elfzle2 13473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (0...𝑥) → 𝑦 ≤ 𝑥)
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝑦 ≤ 𝑥)
87		breq1 5075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 = 𝑦 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝑦 ≤ 𝑥))
88	86, 87	syl5ibrcom 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (𝐷 = 𝑦 → 𝐷 ≤ 𝑥))
89	88	necon3bd 2948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (¬ 𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐷 ≠ 𝑦))
90	89	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ≠ 𝑦)
91	90	an32s 658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → 𝐷 ≠ 𝑦)
92	20, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 81, 82, 83, 84, 91	coe1tmfv2 22261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) = 0 )
93	92	oveq1d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))
94	61	adantlr 721	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → ( 0 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
95	93, 94	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (0...𝑥)) → (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))) = 0 )
96	95	mpteq2dva 5165	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))) = (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ 0 ))
97	96	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ 0 )))
98	1, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
99	98	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑅 ∈ Mnd)
100		ovexd 7391	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → (0...𝑥) ∈ V)
101	20	gsumz 18795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0...𝑥) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ 0 )) = 0 )
102	99, 100, 101	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ 0 )) = 0 )
103	97, 102	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = 0 )
104	18, 19, 80, 103	ifbothda 4493	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦))))) = if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 ))
105	104	mpteq2dva 5165	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ (0...𝑥) ↦ (((coe1‘(𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)))‘𝑦) × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝑦)))))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))
106	17, 105	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐶 · (𝐷 ↑ 𝑋)) ∙ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, (𝐶 × ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880  ifcif 4454  {csn 4555   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12428  ...cfz 13452  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693  ._gcmg 19034  mulGrpcmgp 20112  Ringcrg 20205  var₁cv1 22161  Poly₁cpl1 22162  coe₁cco1 22163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-psr 21884  df-mvr 21885  df-mpl 21886  df-opsr 21888  df-psr1 22165  df-vr1 22166  df-ply1 22167  df-coe1 22168

This theorem is referenced by:  coe1pwmul  22265  coe1sclmul  22268